2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第01讲导数的概念及运算(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第01讲导数的概念及运算(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，多选题等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏·阶段练习）若某质点的运动方程是（单位：），则在时的瞬时速度为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）设函数在处存在导数为2，则（ ）
A．1B．2C．D．3
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）下列函数求导正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·山西·期末）若函数，则（ ）
A．0B．C．D．
5．（2024高二下·全国·专题练习）函数的导函数，满足关系式，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（21-22高二下·北京房山·期中）函数的图象如图所示，则 与的大小关系是（ ）
C． D．
三、填空题
11．（23-24高三下·天津·开学考试）函数的图象在处切线的斜率为 .
12．（23-24高三下·广西南宁·开学考试）已知，则曲线在点处的切线方程为 .
四、解答题
13．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知曲线，设点坐标为，
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程．
(3)若曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标
14．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知点和点是曲线上的两点，且点的横坐标是，点的纵坐标是，求：
(1)割线的斜率；
(2)在点处的切线方程.
15．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知函数与函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线与曲线在公共点处的公切线方程．
B能力提升
1．（2024·河北·一模）函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数．若，则（ ）
A．B．50C．49D．
2．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东·一模）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知，，若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
C新定义题
1．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
第01讲 导数的概念及运算(分层精练）
A夯实基础B能力提升C新定义题
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏·阶段练习）若某质点的运动方程是（单位：），则在时的瞬时速度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用物理上“质点在时的瞬时速度即质点的位移的导函数在时的函数值”即可求得.
【详解】由求导得，则在时的瞬时速度为.
故选：B.
2．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）设函数在处存在导数为2，则（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】C
【分析】
利用导数的定义即可得解.
【详解】由依题意，知，
则.
故选：C.
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）下列函数求导正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据基本初等函数的导数公式判断即可.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：D
4．（23-24高二上·山西·期末）若函数，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】
求导，再令即可得解.
【详解】，
所以.
故选：A.
5．（2024高二下·全国·专题练习）函数的导函数，满足关系式，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求导后，代入，求出答案.
【详解】
由进行求导得：，
当时，可得：，解得：.
故选：A.
6．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
求出点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】函数，由，得，则点，
由，求导得，则，于是，
所以该曲线在点处的切线方程为.
故选：B
7．（21-22高二下·北京房山·期中）函数的图象如图所示，则 与的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由导数的几何意义和函数的图象可得答案.
【详解】
与分别表示在和处切线的斜率，
由图象得，且在处切线的斜率比处切线斜率小，
所以；
故选：A
8．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
求出导函数后计算出切线斜率，然后写出切线方程．
【详解】
由题意知，
所以，又，
所以的图象在处的切线方程为，即.
故选：A.
二、多选题
9．（23-24高二下·湖北·阶段练习）下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．
C．已知函数，若，则
D．设函数的导函数为，且，则
【答案】CD
【分析】
根据导数的定义可判断A的正误，根据导数的四则运算可判断BD的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断C的正误.
【详解】对于A，，故A错误.
对于B，，故B错误.
对于C，，若，则即，故C正确.
对于D，，故，故，故D正确.
故选：CD.
10．（2024高二下·全国·专题练习）各地房产部门为尽快稳定房价，提出多种房产供应方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处的导数的几何意义可得结果.
【详解】当单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，
故曲线是上升的，且越来越陡峭，
所以函数的图象应一直是下凹的，则选项B满足条件，
所以在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有ACD选项．
故选：ACD．
三、填空题
11．（23-24高三下·天津·开学考试）函数的图象在处切线的斜率为 .
【答案】/
【分析】
首先求函数的导数，再根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意可知，，，
根据导数的几何意义可知，函数的图象在处切线的斜率为.
故答案为：
12．（23-24高三下·广西南宁·开学考试）已知，则曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据导数的运算性质，结合导数的几何意义进行求解即可.
【详解】，
所以曲线在点处的切线方程为，
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知曲线，设点坐标为，
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程．
(3)若曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标
【答案】(1)
(2)或
(3)或.
【分析】
（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；
（2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，再将点代入切线方程中，求出，即可求出切线方程；
（3）设，表示出曲线在点处的切线，联立直线与，根据求出，即可求出点的坐标.
【详解】（1）由，可得，
所以，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）设切点为，则，
所以切线方程为，即，
又切线过点，所以，即，
即，即，
即，即，解得或，
则切线方程为或，
所以过点的切线方程为或.
（3）设，则，，
所以曲线在点处的切线为，
又曲线在点处的切线与曲线相切，
由，可得，
则，解得或，
则或，
所以或.
14．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知点和点是曲线上的两点，且点的横坐标是，点的纵坐标是，求：
(1)割线的斜率；
(2)在点处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出点、的坐标，利用斜率公式可求得割线的斜率；
（2）求出切线的斜率，再利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】（1）解：当时，，即点，
令，可得，解得，即点，
因此，割线的斜率为.
（2）解：对函数求导得，
所以，曲线在点处切线的斜率为，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
15．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知函数与函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线与曲线在公共点处的公切线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，然后根据导数的几何意义结合条件即得；
（2）设曲线与曲线的公切点为，然后根据导数的几何意义可得切点，进而即得.
【详解】（1），，.
在点处的切线方程为：；
（2）设曲线与曲线的公切点为，
，，
令，即，
或（舍），
，
∴所求公切线方程：，即.
B能力提升
1．（2024·河北·一模）函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数．若，则（ ）
A．B．50C．49D．
【答案】A
【分析】
根据条件，列举的前几项，根据规律，写出，代入，即可求解.
【详解】由，，
，，
依此类推，，
所以.
故选：A
2．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出切线方程，再对分和讨论即可.
【详解】由得，
所以切线方程是，
①若，则曲线为，显然切线与该曲线只有一个公共点，
②若，则，
【详解】令，得，代入曲线，
所以的最小值即为点到直线的距离.
故选：B.
5．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知，，若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】设出切点坐标，利用导数求得切线方程的斜率，即为直线方程得，再利用基本不等式即可.
【详解】设切点为，由题得，
所以切线的斜率，且
所以切线方程为，
即，与直线相同，
所以，整理得，
所以，
当且仅当，时，取得最小值9．
故选：C
C新定义题
1．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
【答案】(1)不是区间上的2阶无穷递降函数；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；
（2）通过构造，再结合即可得到结果；
（3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论.
【详解】（1）设，
由于，
所以不成立，
故不是区间上的2阶无穷递降函数.
（2）设，则，
设，
则，
所以，得.
（3）令，则原不等式等价于，
即证，
记，则，
所以，
即有对任意，均有，
所以，
因为，
所以，
所以，证毕!
【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化.