广东省汕头市澄海中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

这是一份广东省汕头市澄海中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题，共15页。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上．
2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上.
4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管．
第一部分（选择题，共58分）
一、单项选择题：每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（ ）
A．1B．2C．3D．
3．椭圆的两个焦点为，且是椭圆上的一点，则三角形的周长是（ ）
A．1B．C．D．
4．在中，是边上一点，且，若，则的值为（ ）
A．B． C．D．
5．点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ）
A．5B．C．4D．
6．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是所在平面外一点，，，且面，，则与平面的夹角为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是（ ）
A．2B．3C．D．8
二、多项选择题：每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点P是圆上一点，，，则以下说法正确的是（ ）
A．若直线AB与圆C相切，则 B．若以A，B为直径的圆与圆C相切，则
C．若，则 D．当时，的最小值为34
11．如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为
B．存在点P，使得平面平面
C．的最小值为
D．三棱锥外接球表面积最大值为
第二部分（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共有3个小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卷相应横线上.
12．经过点，且与圆相切的直线的方程为 ．
13．已知椭圆C：的离心率为，则椭圆的短轴长为 .
14．已知直线过点，且交轴正半轴于点，交轴正半轴于点.则当的值最小时，直线的方程为_______________.
解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
温馨提示: 考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答,超出指定区域答题不给分.
15．（13分）已知圆的方程为.
(1)求的取值范围；
(2)若直线与圆交于，两点，且，求的值.
16. （15分） 如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接.
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17. （15分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
18．（17分）已知椭圆，由C的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．
(1)求C的方程；
(2)直线l过椭圆C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求直线l的方程．
19．（17分）对于定义在D上的函数，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数的一个不动点. 已知f(x)＝ax2＋1.
(1)当a＝－2时，求的不动点；
(2)若函数有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2.
①求实数a的取值范围；
②设g(x)＝，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点.
澄海中学2024-2025学年度第一学期
高二数学期中考试卷
本试卷共19小题，满分150分．考试用时120分钟．
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上．
2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上.
4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管．
第一部分（选择题，共58分）
一、单项选择题：每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
1.【答案】B
【解析】由集合，利用集合的并集运算，即可求解．
【详解】由题意，集合，，
则，即，
故选B．
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（ ）
A．1B．2C．3D．
2．【答案】A
【详解】复数z对应的点的坐标是，∴，则.
故选：A
3．椭圆的两个焦点为，且是椭圆上的一点，则三角形的周长是（ ）
A．1B．C．D．
3．【答案】D
【详解】
故选：D
4．在中，是边上一点，且，若，则的值为（ ）
A．B． C．D．
4．【答案】C
【详解】中，是边上一点，且，如图所示，

则，
所以的值为.
故选：C
5．点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ）
A．5B．C．4D．
5．【答案】B
【详解】将直线方程变形为，
令，解得，由此可得直线恒过点，
所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于．
又，
所以到直线的距离的最大值为．
故选：B
6．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．【答案】C
【详解】可得的定义域为，
和都是增函数，是定义在的增函数，
，是奇函数，
则不等式化为，
，解得，.
故选：C.
7．如图，是所在平面外一点，，，且面，，则与平面的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7．【答案】A
【详解】法1：坐标法（略）
法2：，，，；
平面，平面，，，
又，，
，，
，
，，
设点到平面的距离为，与平面的夹角为，
，解得：，
，又，，即直线与平面的夹角为.
故选：A.
8．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是（ ）
A．2B．3C．D．8
8．【答案】D
【详解】 函数的图象，如图所示，
关于的不等式，
当时，，由于关于的不等式恰有1个整数解，
因此其整数解为，又，
所以，，
则，所以实数的最大值为，故选D.
二、多项选择题：每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．【答案】ABC
【详解】在两边同除以负数得，即，与A项矛盾.
由，，得，与B项矛盾.
由，，又，
故，故C不正确.
由得，又，两式相乘得，
两边同除以负数，可得，故D正确.
故选：ABC.
10．已知点P是圆上一点，，，则以下说法正确的是（ ）
A．若直线AB与圆C相切，则 B．若以A，B为直径的圆与圆C相切，则
C．若，则 D．当时，的最小值为34
10．【答案】ACD
【详解】对于A，由，，则直线AB的方程为，
所以圆的圆心到直线AB的距离为，
又直线AB与圆C相切，所以，故A正确；
对于B，由，，则以A，B为直径的圆方程为：，
所以圆的圆心到圆的圆心的距离为5，
当圆与外切时，有，得，
当圆与内切时，有，得，故B不正确；
对于C，设P点的坐标为，
则，，
所以，即，
所以圆C与有交点，所以结合选项B可得，故C正确；
对于D，设P点的坐标为(为参数)，
则，，
所以，其中，
所以当时，取得最小值，且最小值为34，故D正确．
故选：ACD．
11．如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为
B．存在点P，使得平面平面
C．的最小值为
D．三棱锥外接球表面积最大值为
11．【答案】AD
【详解】A选项：连接，由三角形中位线性质和正方体性质可知，，且，所以过D，P，Q三点的截面为梯形，
易知，
作，则，，
所以梯形的面积，A正确；

B选项：若存在点P，使得平面平面，则由平面平面，平面平面可知，显然不平行，故B错误；

C选项：将侧面展开如图，显然当Q、P、D三点共线时，取得最小值，最小值为，C错误；

D选项：由题知，两两垂直，所以三棱锥外接球，即为以为共顶点的三条棱的长方体的外接球，记其半径为R，
则，
显然，当点P与C重合时，取得最大值，此时外接球表面积取得最大值，D正确.
故选：AD
三、填空题：本大题共有3个小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卷相应横线上.
12．经过点，且与圆相切的直线的方程为 ．
12．【答案】
【分析】先求出切线的斜率，再运用点斜式直线方程求解.
【详解】因为，所以点M在圆上，
由题意可知圆心C的坐标为，则直线CM的斜率；
因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直线，所以所求切线的斜率，()，
故经过点M的切线方程为，整理得；
故答案为：.
13．已知椭圆C：的离心率为，则椭圆的短轴长为 .
13．【答案】
【详解】根据题意可得离心率，解得，
所以椭圆的短轴长为.
故答案为：.
14．已知直线过点，且交轴正半轴于点，交轴正半轴于点.则当的值最小时，直线的方程为_______________.
14．【答案】．
【详解】因为直线，
所以，，
，
所以，
当且仅当时取等号，此时直线的方程为．
解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
温馨提示: 考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答,超出指定区域答题不给分.
15．（13分）已知圆的方程为.
(1)求的取值范围；
(2)若直线与圆交于，两点，且，求的值.
15．【详解】（1）方程为圆的方程，
∴，
解得.
（2）由（1）可知圆，则圆心，半径，
圆心到直线的距离，
故，则，
解得.
16. （15分） 如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接.
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
16．【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以；
因为，所以；
因为，面，所以面；
又因为平面，所以.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系如下所示：
则，，，，，，
，，，，.
设平面的法向量为，
则，所以，不妨取；
设平面的法向量为，
则，所以，不妨取；
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
17. （15分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
17. 【详解】（1），
由正弦定理可得,
，
，
，
，
,
又易知，
，
，
；
因为，，，
所以；
（2）
，，

，
为锐角三角形，
，解得，
，
，
，
所以周长的取值范围为
18．（17分）已知椭圆，由C的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．
(1)求C的方程；
(2)直线l过椭圆C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求直线l的方程．
18．【详解】（1）由已知，，，
所以C的方程为
（2），
①若l斜率不存在，易知；
②若l斜率存在，设，，和C的方程联立得：
，
所以，，
所以

点O到直线l的距离为，
所以，
解之得，，
所以l的方程为或，
19．（17分）对于定义在D上的函数，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数的一个不动点. 已知f(x)＝ax2＋1.
(1)当a＝－2时，求的不动点；
(2)若函数有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2.
①求实数a的取值范围；
②设g(x)＝，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点.
19．【详解】（1）当a＝－2时，f(x)＝－2x2＋1.方程f(x)＝x可化为2x2＋x－1＝0，
解得x＝－1或x＝，
所以f(x)的不动点为－1和.
（2）①因为函数f(x)有两个不动点x1，x2，
所以方程f(x)＝x，即ax2－x＋1＝0的两个实数根为x1，x2，
记p(x)＝ax2－x＋1，则p(x)的零点为x1和x2，
因为x1＜2＜x2，所以a·p(2)＜0，
即a(4a－1)＜0，解得0＜a＜.
所以实数a的取值范围为
②因为g(x)＝lga[f(x)－x]＝lga(ax2－x＋1).
方程g(x)＝x可化为lga(ax2－x＋1)＝x，即
因为0＜a＜，△＝1－4a＞0，设p(x)＝ax2－x＋1，所以p(x)＝0有两个不相等的实数根.
设p(x)＝ax2－x＋1＝0的两个实数根为m，n，不妨设m＜n.
因为函数p(x)＝ax2－x＋1图象的对称轴为直线x＝，p(1)＝a＞0，＞1，p()＝1＞0，
所以1＜m＜＜n＜.
记h(x)＝ax－(ax2－x＋1)，因为h(1)＝0，且p(1)＝a＞0，所以x＝1是方程g(x)＝x的实数根，
所以1是g(x)的一个不动点，
h(n)＝an－(an2－n＋1)＝an＞0，因为0＜a＜，所以＞4，h()＝－1＜a4－1＜0，
且h(x)的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，所以x0∈(n，)，使得h(x0)＝0，
又因为p(x)在(n，)上单调递增，所以p(x0)＞p(n)＝0，所以x0是g(x)的一个不动点，
综上，g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点.