2025成都外国语学校高二上学期10月月考试题数学含答案

这是一份2025成都外国语学校高二上学期10月月考试题数学含答案，共10页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，下列命题中，正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分第I卷和第II卷两部分；
2．本堂考试120分钟，满分150分；
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂；
4．考试结束后，将答题卡交回．
第I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．
1．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（ ）
A．①随机数法，②抽签法B．①随机数法，②分层抽样
C．①抽签法，②分层抽样D．①抽签法，②随机数法
2．已知向量，，且，那么实数等于（ ）
A．3B．-3C．9D．-9
3．若是两条不相同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
4．如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ）

A． B．
C． D．
5．为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则（ ）
A．58或64B．59或64C．58D．59
6．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
7．现有一段底面周长为厘米和高为12厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到达点，则此时线段长（单位：厘米）为（ ）
A．B．C．6D．12
8．如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）
A． B．C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则
B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则
C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D．直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为
10．小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（ ）
A．娱乐开支比通信开支多5元
B．日常开支比食品中的肉类开支多100元
C．娱乐开支金额为100元
D．肉类开支占储蓄开支的
11．已知四面体的所有棱长都为分别是的中点.是该四面体内切球球面上的两点，是该四面体表面上的动点.则下列选项中正确的是（ ）
A. 的长为
B.到平面的距离为
C.当线段最长时，的最大值为
D.直线与直线所成角的余弦值为
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是 ．
13．已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为 .
14．在正方体中，点是上的动点，是平面内的一点，且满足，则平面与平面所成角余弦值的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（满分13分）15．已知向量，，
(1)求的值；
(2)求；
(3)求的最小值.
（满分15分）16．成都市政府委托市电视台进行“创建文明城市”知识问答活动，市电视台随机对该市岁的人群抽取了n人，绘制出如图所示的频率分布直方图，回答问题的统计结果如表所示．
（1）分别求出的值；
（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人，则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人.
（满分15分）17．如图，在四棱锥中，是边长为2的正方形，平面平面，直线与平面所成的角为，.
（1）若，分别为，的中点，求证：直线平面；
（2）求二面角的正弦值.
（满分17分）18．随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准.根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是至，男性的正常范围是至.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图,如图.

(1)求a；
(2)如果女性体脂率为至属“偏胖”，体脂率超过属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？
(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？（精确到小数点后2位）
（满分17分）19．如图，四面体中，．

(1)求证：平面平面；
(2)若，
①若直线与平面所成角为30°，求的值；
②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第一组
[15，25)
50
0.5
第二组
[25，35)
180
a
第三组
[35，45)
0.9
第四组
[45，55)
90
b
第五组
[55，65)
y
0.6
高二上10月月考数学答案
单选题：C D C C A B A B
多选题：AC; BCD; BC
填空题：10； 5；
解答题：
15: (1) (2) (3)
16:解：（1）依题和图表：由得：，由得：，
由得：，由得：，由得：，故，，，．
由以上知：第二、三、四、五组回答正确的人数分别为：180人，270人，90人，90人用分层抽样抽取7人，则：从第二组回答正确的人中应该抽取：人，从第三组回答正确的人中应该抽取：人，从第四组回答正确的人中应该抽取：人，从第五组回答正确的人中应该抽取：人，故从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取：2人，3人，1人，1人．
17:【详解】（1）证明：∵平面平面，平面平面，，平面，
∴平面，则为直线与平面所成的角，为，∴，而平面，
∴又，为的中点，∴，平面，
则平面，而平面∴，又，分别为，的中点，
则，正方形中，，∴，又平面，，
∴直线平面；
（2）解：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，过作的平行线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，得；设平面的法向量为，则，即，取，得.
∴.
∴二面角的正弦值为.
18:（1）由频率直方图可得，，所以.
（2）由频率分布直方图可得样本中女性“偏胖”的频率为，样本中女性“过胖”的频率为，所以全市女性“偏胖”的人数约为，全市女性 “过胖”的人数约为，
（3）调查所得数据的平均数为，设调查所得数据的中位数为，因为，，所以，所以，所以，所以调查所得数据的中位数约为，所以小王的体脂率约为，小张的体脂率为，所以小张的体脂率更低.
19:【详解】（1）取的中点，连接，因为，则，
所以，所以，所以，又因为所以，
则，又因为，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；
（2）①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，设，因为，
所以由可得：，所以，
，设平面的法向量为n=x,y,z，则，取，可得，所以，
因为直线与平面所成角为30°，所以
则，化简可得：，解得：或（舍去）.
②由（1）知，平面，又平面
所以，在上，因为，所以，
，所以，即，所以，
所以，三棱锥体积为：
，
因为，当时，三棱锥体积最大为，此时分别为，的中点，所以，设，设，
因为，所以，所以，
因为在平面上，所以设，所以，所以，解得：，所以，所以.