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2024-2025学年内蒙古名校联盟高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）
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这是一份2024-2025学年内蒙古名校联盟高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.命题“∀x>y,1|x|+1<1|y|+1”的否定为( )
A. ∀x>y,1|x|+1≥1|y|+1B. ∀x≤y,1|x|+1≥1|y|+1
C. ∃x>y,1|x|+1≥1|y|+1D. ∃x≤y,1|x|+1≥1|y|+1
2.下列关系式正确的是( )
A. 3∈QB. −1∈NC. Z⊆ND. Q⊆R
3.已知集合A={x|−2xA. {x|−14.已知函数f(x)满足f(x+2)=3x+4，则f(2)=( )
A. −2B. 1C. 4D. 7
5.已知集合A={(x,y)|y=x2−2x+1}，B={(x,y)|y=2x−3}，C=A∩B，则C的真子集的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
6.已知正数a，b满足1a+2b=1，则a+2b的最小值为( )
A. 9B. 6C. 4D. 3
7.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为( )
A. 25元B. 20元C. 15元D. 10元
8.学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组中的函数f(x)与g(t)是同一个函数的有( )
A. f(x)=|x|+2，g(t)=t+2,t≥0−t+2,t<0 B. f(x)=x2−1，g(t)=t4−1t2+1
C. f(x)=x，g(t)=( t)2 D. f(x)=x3+2x2−1，g(t)=t3+2t2+1
10.已知a>b>0，则使得a+ca>b+cb成立的充分条件可以是( )
A. c=−2B. c=−1C. c=1D. c=2
11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则( )
A. a+b>0
B. abc>0
C. 13a+b+2c>0
D. 不等式bx2−ax−c>0的解集为{x|−2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)= x+1x−2的定义域为______．
13.已知a= 10− 6，b= 6− 2，则a ______b.(填“>”或“<”)
14.已知m四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知0(1)求3a+2b的取值范围；
(2)求2a−3b的取值范围．
16.(本小题15分)
给出下列两个结论：①关于x的方程x2+mx−m+3=0无实数根；②存在0≤x≤2，使(m+1)x−3=0．
(1)若结论①正确，求m的取值范围；
(2)若结论①，②中恰有一个正确，求m的取值范围．
17.(本小题15分)
已知正数a，b满足ab=1．
(1)求2a+3b的最小值；
(2)求a2+b2+16(a+b)2的最小值．
18.(本小题17分)
已知a∈R，函数y=(ax−2)(x+a)+1．
(1)当a=1时，函数y=(ax−2)(x+a)+1的图象与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，求x12+x22值；
(2)求关于x的不等式y≥1的解集．
19.(本小题17分)
设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，c∈A，使得a−b=b−c，则称A为“等差集”．
(1)若集合A={1,3,5,9}，B⊆A，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；
(2)若集合A={1,m,m2−1}是“等差集”，求m的值；
(3)已知正整数n≥3，证明：{x,x2,x2,…,xn}不是“等差集”．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.C
5.B
6.A
7.D
8.D
9.AB
10.AB
11.BCD
12.[−1,2)∪(2,+∞)
13.<
14.−1
15.解：(1)0故0−4<3a+2b<6+6，即−4<3a+2b<12，
故3a+2b的取值范围为(−4,12)；
(2)0所以0−9<2a−3b<4+6，即−9<2a−3b<10，
故2a−3b的范围为(−9,10)．
16.解：(1)若关于x的方程x2+mx−m+3=0无实数根，
则有Δ=m2−4(−m+3)<0，
即m2+4m−12=(m−2)(m+6)<0，
解得−6所以m的取值范围为(−6,2)；
(2)若存在0≤x≤2，使(m+1)x−3=0，
由x=0时，(m+1)x−3=−3≠0，
故m+1=3x在0即有m+1≥32，即m≥12，
由(1)知，若结论①正确，则−6故结论①，②中恰有一个正确时，−6解得−6即m的取值范围(−6,12)∪[2，+∞)．
17.解：(1)因为ab=1，a>0，b>0，
所以a=1b，
则2a+3b=2a+3a≥2 6，
当且仅当3a=2a，即a= 63,b= 62时等号成立，
故2a+3b的最小值为2 6．
(2)因为ab=1，所以a2+b2=(a+b)2−2ab=(a+b)2−2．
则a2+b2+16(a+b)2=(a+b)2+16(a+b)2−2≥2 (a+b)2⋅16(a+b)2−2=6，
当且仅当a+b=4a+b且ab=1，即a=b=1时等号成立，
故a2+b2+16(a+b)2的最小值为6．
18.解：(1)当a=1时，y=(x−2)(x+1)+1=x2−x−1，
由题可知x1，x2是方程x2−x−1=0的两个实数根，
由根与系数的关系可得：x1+x2=1，x1x2=−1，
故x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=1−2×(−1)=3；
(2)由y≥1，由题意可得(ax−2)(x+a)≥0，
当a=0时，不等式整理为−2x≥0，解得x≤0，
可得原不等式的解集为{x|x≤0}；
当a≠0时，令(ax−2)(x+a)=0，得x=2a或x=−a；
当a>0时，2a>0，−a<0，所以2a>−a，则原不等式的解集为{x|x≤−a或x≥2a}；
当a<0时，2a<0，−a>0，所以2a<−a，则原不等式的解集为{x|2a≤x≤−a}．
综上，当a=0时，解集为{x|x≤0}；
当a>0时，则原不等式的解集为{x|x≤−a或x≥2a}；
当a<0时，则原不等式的解集为{x|2a≤x≤−a}．
19.解：(1)因为集合A={1,3,5,9}，B⊆A，存在3个不同的元素a，b，c∈B，使得a−b=b−c，
则B={1,3,5,9}或B={1,3,5}或B={1,5,9}．
(2)因为集合A={1,m,m2−1}是“等差集”，
所以2=m+m2−1或2m=1+m2−1或2+m=2(m2−1)，
计算可得m=−1± 132或m=0或m=2或m=1± 334，
又因为m正整数，所以m=2．
(3)假设{x,x2,x2,⋯,xn}是“等差集”，
则存在m，n，q∈{1,2,3,…,n}，m化简可得2=xm+n+xq−n，xm−n>0，
因为x∈N∗，q−n≥1，所以2>xq−n≥x≥1，
所以x=1与{x,x2,x2,⋯,xn}集合的互异性矛盾，
所以{x,x2,x2,⋯,xn}不是“等差集”．
1.命题“∀x>y,1|x|+1<1|y|+1”的否定为( )
A. ∀x>y,1|x|+1≥1|y|+1B. ∀x≤y,1|x|+1≥1|y|+1
C. ∃x>y,1|x|+1≥1|y|+1D. ∃x≤y,1|x|+1≥1|y|+1
2.下列关系式正确的是( )
A. 3∈QB. −1∈NC. Z⊆ND. Q⊆R
3.已知集合A={x|−2x
A. −2B. 1C. 4D. 7
5.已知集合A={(x,y)|y=x2−2x+1}，B={(x,y)|y=2x−3}，C=A∩B，则C的真子集的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
6.已知正数a，b满足1a+2b=1，则a+2b的最小值为( )
A. 9B. 6C. 4D. 3
7.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为( )
A. 25元B. 20元C. 15元D. 10元
8.学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组中的函数f(x)与g(t)是同一个函数的有( )
A. f(x)=|x|+2，g(t)=t+2,t≥0−t+2,t<0 B. f(x)=x2−1，g(t)=t4−1t2+1
C. f(x)=x，g(t)=( t)2 D. f(x)=x3+2x2−1，g(t)=t3+2t2+1
10.已知a>b>0，则使得a+ca>b+cb成立的充分条件可以是( )
A. c=−2B. c=−1C. c=1D. c=2
11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则( )
A. a+b>0
B. abc>0
C. 13a+b+2c>0
D. 不等式bx2−ax−c>0的解集为{x|−2
12.函数f(x)= x+1x−2的定义域为______．
13.已知a= 10− 6，b= 6− 2，则a ______b.(填“>”或“<”)
14.已知m
15.(本小题13分)
已知0
(2)求2a−3b的取值范围．
16.(本小题15分)
给出下列两个结论：①关于x的方程x2+mx−m+3=0无实数根；②存在0≤x≤2，使(m+1)x−3=0．
(1)若结论①正确，求m的取值范围；
(2)若结论①，②中恰有一个正确，求m的取值范围．
17.(本小题15分)
已知正数a，b满足ab=1．
(1)求2a+3b的最小值；
(2)求a2+b2+16(a+b)2的最小值．
18.(本小题17分)
已知a∈R，函数y=(ax−2)(x+a)+1．
(1)当a=1时，函数y=(ax−2)(x+a)+1的图象与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，求x12+x22值；
(2)求关于x的不等式y≥1的解集．
19.(本小题17分)
设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，c∈A，使得a−b=b−c，则称A为“等差集”．
(1)若集合A={1,3,5,9}，B⊆A，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；
(2)若集合A={1,m,m2−1}是“等差集”，求m的值；
(3)已知正整数n≥3，证明：{x,x2,x2,…,xn}不是“等差集”．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.C
5.B
6.A
7.D
8.D
9.AB
10.AB
11.BCD
12.[−1,2)∪(2,+∞)
13.<
14.−1
15.解：(1)0
故3a+2b的取值范围为(−4,12)；
(2)0
故2a−3b的范围为(−9,10)．
16.解：(1)若关于x的方程x2+mx−m+3=0无实数根，
则有Δ=m2−4(−m+3)<0，
即m2+4m−12=(m−2)(m+6)<0，
解得−6
(2)若存在0≤x≤2，使(m+1)x−3=0，
由x=0时，(m+1)x−3=−3≠0，
故m+1=3x在0
由(1)知，若结论①正确，则−6
17.解：(1)因为ab=1，a>0，b>0，
所以a=1b，
则2a+3b=2a+3a≥2 6，
当且仅当3a=2a，即a= 63,b= 62时等号成立，
故2a+3b的最小值为2 6．
(2)因为ab=1，所以a2+b2=(a+b)2−2ab=(a+b)2−2．
则a2+b2+16(a+b)2=(a+b)2+16(a+b)2−2≥2 (a+b)2⋅16(a+b)2−2=6，
当且仅当a+b=4a+b且ab=1，即a=b=1时等号成立，
故a2+b2+16(a+b)2的最小值为6．
18.解：(1)当a=1时，y=(x−2)(x+1)+1=x2−x−1，
由题可知x1，x2是方程x2−x−1=0的两个实数根，
由根与系数的关系可得：x1+x2=1，x1x2=−1，
故x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=1−2×(−1)=3；
(2)由y≥1，由题意可得(ax−2)(x+a)≥0，
当a=0时，不等式整理为−2x≥0，解得x≤0，
可得原不等式的解集为{x|x≤0}；
当a≠0时，令(ax−2)(x+a)=0，得x=2a或x=−a；
当a>0时，2a>0，−a<0，所以2a>−a，则原不等式的解集为{x|x≤−a或x≥2a}；
当a<0时，2a<0，−a>0，所以2a<−a，则原不等式的解集为{x|2a≤x≤−a}．
综上，当a=0时，解集为{x|x≤0}；
当a>0时，则原不等式的解集为{x|x≤−a或x≥2a}；
当a<0时，则原不等式的解集为{x|2a≤x≤−a}．
19.解：(1)因为集合A={1,3,5,9}，B⊆A，存在3个不同的元素a，b，c∈B，使得a−b=b−c，
则B={1,3,5,9}或B={1,3,5}或B={1,5,9}．
(2)因为集合A={1,m,m2−1}是“等差集”，
所以2=m+m2−1或2m=1+m2−1或2+m=2(m2−1)，
计算可得m=−1± 132或m=0或m=2或m=1± 334，
又因为m正整数，所以m=2．
(3)假设{x,x2,x2,⋯,xn}是“等差集”，
则存在m，n，q∈{1,2,3,…,n}，m
因为x∈N∗，q−n≥1，所以2>xq−n≥x≥1，
所以x=1与{x,x2,x2,⋯,xn}集合的互异性矛盾，
所以{x,x2,x2,⋯,xn}不是“等差集”．
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