重庆市荣昌初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

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(全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟)
注意事项：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成.
参考公式：抛物线 (a≠0)的顶点坐标为（，） ，对称轴为.
一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分).
1. 下列四个图形分别是重庆航空、山东航空、海南航空和春秋航空公司标志的部分图案，其中属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3. 抛物线y=2x+12−1的对称轴是（ ）
A. x=−1 B. y=−1 C. x=1 D. y=1
【答案】A
4. 已知点Mm,−1与点N3,n关于原点对称，则m+n的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. −2 D. −3
【答案】C
5. 若m是方程x2+x−1=0的一个根，则2024－2m2－2m的值为（ ）
A. 2 025 B. 2 024 C. 2 023 D. 2 022
【答案】D
6. 估计的值应在（ ）
A. 2到3之间B. 3到4之间C. 4到5之间D. 5到6之间
【答案】B
7. 用边长为1的小等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形有6个边长为1的小三角形，第②个图形有10个边长为1的小三角形，第③个图形有14个边长为1的小三角形，第④个图形有18个边长为1的小三角形，…，按照这个规律排列下去，第⑩个图形中边长为1的小三角形的个数为（ ）

A. 34 B. 38 C. 42D. 46 8题图
【答案】C
8. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD、BD，若AC＝6，BD＝5，则BC的长为（ ）
A．12B．C．10D．8

【答案】D
【解析】
【详解】解：如图，连接,
∵AB是的直径，，是的弦，
∴∠ADB＝，
∵CD是∠ACB的平分线
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵∠BAD＝∠BCD＝45°，
∴，
∴；
故选：．
9. 在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接BE，
并延长至点，使，连接DF，则的度数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：四边形是正方形，
AB=BC=CD=AD，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，，
，
，
10. 已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（ ）
①若，则； ②；
③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】B
【解析】
【详解】解：由题意得：，，，，，，，，，，
若，则，故①正确；
，故②正确；
推理得：奇，偶，奇，三个为一个周期，故前2024个式子中，，则a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误．
故选B．
二、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 .
11. 方程xx−3=0的解是 ．
【答案】x1=0,x2=3
12. 若抛物线y=x2+8x+m的顶点在x 轴上，则m=______________．
【答案】m=16.
13. 已知一元二次方程kx2－4x＋2＝0有实数解，则k的取值范围是 ______________．
【答案】k≤2且k≠0.
【详解】解：一元二次方程kx2－4x＋2＝0有实数解，
∴k≠0且，即△＝16－8k≥0
解得k≤2，
的取值范围为k≤2且k≠0.．
14. 某工业园区今年六月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位2500个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
【答案】15002500
15. 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠AOC=130°，则∠ABC=______°．
【答案】115.
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角的性质．
【详解】四边形是⊙O内接四边形，∠ADC=65°，
∴∠ABC=180°−65°=115°，
16. 若关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______．
【答案】12
【解析】
【详解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组有解且最多有3个整数解，
∴，
∴；
解得：，
∵分式方程有整数解，
∴是整数，且y≠1，即a≠－2且a为偶数.
∴，a＝2，4，6
∴所有满足条件的整数的值之和是2+4+6=12.
故答案为：12．
17.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD边上的点，AF与DE
17题图
交于点M，N为AE的中点，连接MN，若，CE=DF，CF=3DF，
则MN的长度为________．
18. 一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，称这样的四位数为“对称数”，则最小的“对称数”是___________；将“对称数”M的千位数字与百位数字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新数记为，记，若“对称数”A，满足能被7整除，则A的最大值为______________．
【答案】 ①. 1221 ②. 9229
【解析】
【详解】解：“对称数”，
则，
∴
∵能被7整除，A最小，各数位上的数字不完全相同且均不为0，
∴是7的倍数且，，
∵的最大值为7，
∴当时，A的最大值为9229.
三、解答题：(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19. （1）解方程： 2x2−4x−6=0； （2）计算：．
(1)解：(x−3)(2x+2)=0
x-3=0, 2x+2=0
解得x1=3, x2=−1.
【小问2详解】
解：
=
．
20. 在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规，过点E作AD的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）．
（2）已知：在四边形ABCD中，，∠B=90°，AE平分，DE平分．
求证：AB+CD=AD．
证明：∵AE平分，
∴① ，
∵，
∴，
∴∠B=90°，
∴，
在△ABE和中，
②____________
∴，
∴③ ，
同理可得：，
∴．
小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么④
．
21. 重庆被誉为“最食烟火的人间8D魔幻城市”．为更全面的了解“十一”期间游客对重庆热门景点的游玩满意度，工作人员从多维度设计了满分为100分的问卷，在洪崖洞和磁器口随机采访游客并记录结果．假期结束，工作人员从洪崖洞和磁器口的采访结果中各随机抽取10个数据，并进行整理描述和分析（结果用x表示，共分为四个等级：不满意，比较满意，满意，很满意），下面给出了部分信息：
10名洪崖洞游客的评分结果：76，84，85，87，88，88，88，89，96，99
10名磁器口游客中“满意”等级包含的所有数据为：86，88，88，89，89
抽取的洪崖洞和磁器口游客的游玩满意度统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为“十一”当天游客对洪崖洞和磁器口这两个景点的游玩满意度哪一个更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若“十一”当天洪崖洞和磁器口的游客分别为3万人和5万人，请你估计“五一”当天有多少万人对这两个景点的满意度为“很满意”．
【答案】（1）88.5，88，30；
（2）磁器口，理由：磁器口的评分中位数较大（不唯一） （3）2.1 万人.
【解析】
【小问1详解】
解：10名洪崖洞游客的评分结果：76，84，85，87，88，88，88，89，96，99，
出现次数最多的是88，出现了三次，
∴众数，
10名磁器口游客中“不满意”和“比较满意”等级均占，
∴（人）
即10名磁器口游客中“不满意”和“比较满意”等级的人数均为1人，
则磁器口游客中“很满意”等级的人数为（人），
将10名磁器口游客的评分按照从小到大的顺序排列，则中位数为第5和第6位的平均数，
第5和第6位评分分别是88，89，
∴a=88.5，
，即，
故答案为：88.5，88，30；
【小问2详解】
磁器口，理由：磁器口的评分中位数89大于洪崖洞的评分中位数88（不唯一）；
【小问3详解】
解：洪崖洞游客中“很满意”等级的人数所占的百分比为：，
磁器口游客中“很满意”等级的人数所占的百分比为：，
（万人），（万人）
（万人）
答：“五一”当天有2.1万人对这两个景点的满意度为“很满意”．
22. 如图，四边形中，，，，，CD ＝2．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿的路径运动，到点C停止．设点的运动时间为秒，的面积为．
（1）请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出面积小于8时x的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2）
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了一次函数在动点面积问题中的应用，一次函数的性质，能画出图象，根据图象写出性质，解题的关键是分类讨论．
（1）分类讨论：①当在边上时，②当在边上时，由三角形的面积分别求解即可；
（2）画出图象，根据图象写出性质即可求解；
（3）根据图象即可求解；
【小问1详解】
解：过点作于点，
，
四边形为矩形，
，
①当点在上时，即，则，
，
②当点在上时，即，
则，，
，
综上， ；
【小问2详解】图象如图：
该函数的一条性质：当0＜x＜4时，随的增大而增大；
当4＜x＜10时，随的增大而减小；
【小问3详解】
解：面积小于8，即y＜8，
根据图象，可得0≤x＜2.7或8＜x≤10．
大华水果店各花费5400元购进一批樱桃和枇杷，已知每千克樱桃的进价是每千克枇杷进价的倍，且购进的枇杷比樱桃多100千克．
（1）求每千克樱桃的进价是多少元？
（2）枇杷的售价为30元/千克，在销售过程中，因水果不易储存，水果店及时调整了销售策略：枇杷在售出后进行打折促销．问剩下的枇杷最低打几折销售，才能使得这批枇杷全部售出后获利不低于3000元？
【小问1详解】
解：设每千克枇杷的进价为x元，则每千克樱桃的进价是元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解且符合题意，
∴，
答：每千克樱桃的进价是元；
【小问2详解】
解：由（1）知，这批枇杷的数量为千克，
设剩下的枇杷打m折销售，由题意得，
3000，
解得，
答：剩下的枇杷最多打八折销售，才能使得这批枇杷全部售出获利不低于3000元．
24. 五边形是围绕河修建的步道，小依和爸爸从A前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：）
（1）求的长度（结果精确到1米）；
（2）小依选择线路①，爸爸选择线路②，小依步行速度是80米/分钟，爸爸步行速度是100米/分钟，小依和爸爸同时从A处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小依和爸爸谁先到达D处？
【答案】（1）424米
（2）爸爸先到达D处
【解析】
【小问1详解】
解：如图，过点A作于点H；
则；
由题意知，，
即，
故四边形是矩形，
米，；
，
即是等腰直角三角形，
米，
由勾股定理得：（米）；
【小问2详解】
解：由（1）知，四边形是矩形，
米，
米；
点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向，
；
在中，，∠D=30°
∴DC=2CE=900米，米；
∵①（米），
②（米），
∴小依到达终点的时间为：（分），
小依爸爸到达终点的时间为：1350÷100=13.5（分）；
综上，小依爸爸先到达D处．
25. 如图， 抛物线经过A， B两点，与x轴的另外一个交点为C，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点 D，点E是y轴上点B下方一点，若DE=DB，点A（4，0），点B（0，3）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）求的最大值及此时点P的坐标；
（3）在点P运动过程中，连接，当的中点恰好落在y轴上时，连接，在抛物线 上是否存在点Q，使得，如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
的最大值为，
（3）存在，所有符合条件的点Q的坐标为或
【解析】
小问1详解】
解：将，代入得，，
解得，，
∴抛物线的表达式为； ′
【小问2详解】
解：设直线AB的解析式为y=kx+n，将，代入，得 解得
∴直线AB的解析式为 ′
如图1，作轴于，
∵DE=DB
∴ ′
设，则，，
∴

∴，′
∵，
∴当时， 的值最大，最大值为，； ′
【小问3详解】
解：令，解得，或，
∴，
∵的中点恰好落在y轴上，
∴，解得，，
∴；
如图2，作，交抛物线于，
∴，
设的解析式为，
将代入得，，解得，，
∴的解析式为，
联立，解得，或，
∴；
如图2，在上取点，连接，交抛物线于，使，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，，
∴，
同理，直线的解析式为，
联立，解得，或，
∴；
综上所述，存在，所有符合条件的点Q的坐标为或．′
△ABC为等腰直角三角形，，， 线段CA 绕点旋转至线段CF，点对应点为，连接．
（1）如图1，若CF在△ABC外部，且，交 于点，若．求 AB 的长度；
（2）如图2，若CF在△ABC内部，延长 交 于点，延长CF交 AB 于点，，将线段 绕点 逆时针旋转60°得到线段，为CE中点，连接并延长交 于点，求证：；
（3）如图3，若CF在△ABC内部，将线段绕点逆时针旋转60°到线段，连接 、．为直 线 AB上一点，将△BCK沿 翻 折，点对应点为，，直接写出的最小值．
【答案】（1）的长度为；（2）见解析；（3）的最小值为
【解析】
【小问1详解】
解：如图，过点作于点
∵为等腰直角三角形，，，
∴
∴是等腰直角三角形，
∵
∴2
又∵线段CA 绕点旋转至线段CF，，
则是等边三角形，
∴
∴
∴
∴′
【小问2详解】
证明：如图，连接
∵，，
∴∠ACB＝
∵，
∴∠FAC＝180°－∠ADC－∠ACB＝75°，
∵线段CA 绕点旋转至线段CF，
∴
∴
∴，∠AEC＝60°
在中，，为CE中点，
∴=EH
∴是等边三角形，
∴， AE=AH
∵
∴
又∵，AF=AG
∴
∴，
∵
∴∠AMH＝90°
∴
∵AH=EH=FH+EF=FH+HG
∴； ′
【小问3详解】
解：∵为等腰直角三角形，，，
∴
∴是等腰直角三角形，
∵为直 线 AB上一点，将沿 翻 折 ，点对应点为，
∴在上，，
∴BK/∥AC
∵
∴是等边三角形，
∵
∴
∴
以为斜边作等边三角形，如图所示，
∵
∴在上运动，
∴当三点共线，且时，最小，
设交于点，此时
在中，，，
∴
∴ ′
【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
景点满意度
平均数
中位数
众数
洪崖洞
88
88
b
磁器口
88
a
89