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    广东省广州市第八十九中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

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    广东省广州市第八十九中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

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    这是一份广东省广州市第八十九中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷,共14页。试卷主要包含了答卷前,考生务必将自己的姓名等内容,欢迎下载使用。
    注意事项:
    1、答卷前,考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上.
    2、答案必须填写在答题纸的相应位置上,答案写在试题卷上无效.
    一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.设全集,则( )
    A.B.C.D.
    2.对于实数下列说法正确的是( )
    A.若,则B.若,则
    C若,则D.若,则
    3.函数的零点为1,2,则不等式的解集为( )
    A.B.或C.D.或
    4.用篱笆围一个面积为的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是( )
    A.30B.36C.40D.50
    5.下列函数中,既是其定义域上的单调递减函数,又是奇函数的是( )
    A.B.C.D.
    6.函数,若对,都存在,使成立,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    7.已知奇函数满足时,则的解集是( )
    A.B.C.D.
    8.已知函数,有如下四个结论:
    ①函数在其定义域内单调递减;
    ②函数的值域为;
    ③函数的图象是中心对称图形;
    ④方程有且只有一个实根.
    其中所有正确结论的序号是( )
    A.①②B.②③C.①③D.③④
    二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.(有2个正确选项答对一个得3分,答错0分;有3个正确选项答对一个得2分,答错0分.)
    9.已知集合,则下列表示方法正确的是( )
    A.B.C.D.
    10.下列说法正确的是( )
    A.函数,且的图象过定点.
    B.函数与是同一函数
    C.是的充分不必要条件
    D.命题p:的否定为
    11.下列说法错误的是( )
    A.
    B.若不等式的解集为R,则实数m的取值范围是
    C.已知函数在R上是增函数,则的取值范围是
    D.设正实数,满足,则的最小值为2
    三、填空题:本大题共3小题,每题5分,共计15分
    12.已知幂函数的图象过点,则_____________.
    13.函数的定义域为_____________.
    14.若,且,则_____________.
    四、解答题:解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.共77分.
    15.(13分)已知集合.
    (1)时求;
    (2)是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
    16.(15分)已知函数是定义在上的奇函数,且当时,
    (1)求函数的解析式;
    (2)画出在轴右侧的图象,并写出函数的单调区间;
    (3)解不等式.
    17.(15分)随着我国经济发展,医疗消费需求增长,人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响,医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗公司为了进一步增加市场竞争力,计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元,最大产能为80台.每生产台,需另投入成本万元,且,由市场调研知,该产品的售价为200万元,且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
    (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式(利润=销售收入-成本);
    (2)当该产品的年产量为多少时,公司所获利润最大?最大利润是多少?
    18.(17分)函数是定义在上的奇函数.
    (1)求的解析式;
    (2)判断在上的单调性,并证明你的结论;
    (3)解关于的不等式.
    19.(17分)对于函数,存在实数,使成立,则称为关于参数的不动点.
    (1)当时,求关于参数1的不动点;
    (2)当时,函数在上存在两个关于参数的相异的不动点,试求参数的取值范围;
    (3)对于任意的,总存在,使得函数有关于参数(其中的两个相异的不动点,试求的取值范围.
    2024学年第一学期广州市第八十九中学
    高一数学期中考
    命题:刘雨审核:欧阳圣命题时间:
    注意事项:
    1、答卷前,考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上.
    2、答案必须填写在答题纸的相应位置上,答案写在试题卷上无效.
    一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.【答案】B
    解析:选B.因为,,所以.
    故选B.
    2.【答案】C
    【详解】若,则,故A错误;
    若,则,故B错误;
    因为,所以,即,故C正确;
    因为,所以,所以,故D错误.
    故选:C.
    3.【答案】D
    因为函数的零点为1,2所以
    不等式等价于
    所以或不等式的解集为或
    4.【答案】C
    【详解】:设矩形菜园的相邻两条边的长分别为,篱笆的长度为y)m.
    由已知得.
    由,可得,
    所以,
    当且仅当时,上式等号成立.
    5.【答案】D
    【详解】对于,则是偶函数,故A错误;
    对于B:,则为奇函数,在单调递减,但在定义域上不单调,故B错误;
    对于定义域为,在定义域上单调递增,但定义域不关于原点对称,即为非奇非偶函数,故C错误;
    对于在定义域R上单调递增,且,即为奇函数,故D正确;故选:D.
    6.【分析】原问题转化为,再根据二次函数的最值和指数函数的值域建立不等式,解之可得选项.
    【详解】若对,都存在,使成立,则需,
    又,所以,
    令,因为,所以,所以,
    所以,解得,则的取值范围是,
    故选:B.
    7.【答案】B
    【分析】根据函数的奇偶性得到,又在上单调递减,推出在上单调递减,故和时,满足要求,得到答案.
    【解析】为奇函数,故,,
    又在上单调递减,
    故当时,,此时不合要求,
    当时,,此时,满足要求,
    由对称性可知在上单调递减,
    故当时,,此时满足要求,
    当时,,此时,不合要求,
    综上,的解集为.
    故选:B
    8.【答案】D
    【解析】
    【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案.
    【详解】的定义域为,
    所以在R上递增,①错误.
    由于,
    所以的值域为.
    由于,
    所以是奇函数,图象关于原点对称,③正确.
    由得
    构造函数在R上单调递增,

    所以在R上存在唯一零点,也即方程有且只有一个实根,④正确.所以正确结论的序号是③④.
    故选:D
    二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.(有2个正确选项答对一个得3分,答错0分;有3个正确选项答对一个得2分,答错0分.)
    9.解析:选AC.因为集合,则,即正确;集合A中元素都是正整数,则,即C正确;“”只能表示元素与集合之间的关系,故B错误;“”只能表示集合之间的关系,故D错误.故选AC.
    10.【答案】ABC
    解:对于A,因为指数函数,且的图象过定点,所以在函数中,令,得,即函数的图象过定点,故A正确;
    对于B,定义域为R,定义域与对应关系和相同,为同一函数,故B正确;
    对于C,当时,显然成立,
    符合却不满足且
    所以是的充分不必要条件,故C正确;
    对于D,因为命题p:是全称量词命题,
    所以其否定为存在量词命题,即,故D错误
    11.【答案】BD
    对于A选项,
    ,A正确
    对于B选项因为不等式的解集为R,
    当时,,符合题意;
    当时,,综上:.B错误
    对于C选项由题意可知,且,即
    解得.故C正确.
    对于D故D错误选项D,由,当且仅当,即时等号成立,故选项D正确
    三、填空题:本大题共3小题,每题5分,共计15分
    12.解:设,则,即,
    13.解:由题得且.
    所以函数的定义域为或
    14.【解析】,且,
    ,.
    四、解答题:解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.共77分.
    15.解:(1)因为或

    或(2)由是的必要不充分条件得,P
    ①当,即时,,符合题意;
    ②当,即时,需得;
    综上得,即实数m的取值范围为.
    16.【答案】(1)
    (2)答案见解析
    (3)不等式的解集为或
    【知识点】由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象、解不等式
    【分析】(1)利用关于原点中心对称作出图象,由图象得单调区间;
    (2)根据奇函数定义求解析式;
    (3)用分类讨论即可解不等式求得.
    【详解】(1)根据题意,
    令,则,则,
    又因为函数是定义在R上的奇函数,
    所以,
    即……………………3分
    所以.
    (2)函数是定义在R上的奇函数,即函数的图象关于原点对称,则函数图象如图所示.
    …………………………6分
    故函数的单调递减区间为,单调递增区间为;
    (3)当时,,
    则或,
    当时,
    综上或
    17.【答案】(1)
    (2)年产量为60台时,公司所获利润最大,最大利润为1600万元
    【解析】
    【分析】(1)分和两种情况下,结合投入成本的解析式求出的解析式;
    (2)在第一问的基础上,分与,结合函数单调性,基本不等式,求出两种情况下的最大值,得到答案.
    【小问1详解】
    由该产品的年固定成本为300万元,投入成本万元,
    且,
    当时,,
    当时,
    所以利润万元关于年产量台的函数解析式为
    【小问2详解】
    当时,,
    故当时,最大,最大值为1500;
    当时,,
    当且仅当时,即时等号成立,
    综上可得,年产量为60台时,公司所获利润最大,最大利润为1600万元
    18.【答案】(1);
    (2)在上是增函数,证明见解析;
    (3).
    【解析】
    【分析】(1)由奇函数的性质及已知函数值列方程组求解;
    (2)根据单调性定义证明;
    (3)由奇偶性化简不等式,再由单调性求解.
    【小问1详解】
    因为函数的定义为
    的定义域为
    又因为是奇函数,
    (也可以用特殊值来求)
    法二:
    函数的定义域为(-2,2)
    此时,满足,
    (经检验为奇函数)
    所以;
    【小问2详解】
    在(上是增函数,证明如下:
    设任意的且,

    又,则,
    所以,即,
    所以在上是增函数;
    【小问3详解】
    不等式化为,
    又是奇函数,则,再由(2)得,
    解得.即解集为.
    19.【答案】(1)-1和3
    (2)
    (3)
    【小问1详解】
    当时,,
    令,可得即,
    解得或,
    所以当时,关于参数1的不动点为-1和3.
    【小问2详解】
    由已知得在上有两个不同解,
    即在上有两个不同解,
    令,则在上有两个不同的零点,
    所以,解得:.
    【小问3详解】
    由题意知,函数有关于参数的两个相异的不动点,
    所以方程,即恒有两个不等实根,
    则,
    所以对于任意的,总存在,使成立,
    即存在,
    所以存在,
    即:存在,
    即:,
    令,
    对称轴为,
    ①当即时,,
    所以,解得或,故不符合题意;
    ②当即时,,
    所以,解得或,
    所以.
    综上所述.

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