2022年高考数学第二轮复习三角函数教学案

这是一份2022年高考数学第二轮复习三角函数教学案，共12页。
考纲指要：
主要考察三角函数的图象与性质，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明等三角变换的基本问题。
考点扫描：
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；
2．函数y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象；
3．两角和与差的三角函数，二倍角公式。
考题先知：
例1.不查表求sin220°+cs280°+cs20°cs80°的值
分析：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会
解法一 sin220°+cs280°+sin220°cs80°
= (1－cs40°)+ (1+cs160°)+ sin20°cs80°
=1－cs40°+cs160°+sin20°cs(60°+20°)
=1－cs40°+ (cs120°cs40°－sin120°sin40°)
+sin20°(cs60°cs20°－sin60°sin20°)
=1－cs40°－cs40°－sin40°+sin40°－sin220°
=1－cs40°－(1－cs40°)=
解法二 设x=sin220°+cs280°+sin20°cs80°
y=cs220°+sin280°－cs20°sin80°，则
x+y=1+1－sin60°=，
x－y=－cs40°+cs160°+sin100°
=－2sin100°sin60°+sin100°=0
∴x=y=，
即x=sin220°+cs280°+sin20°cs80°=
点评：题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高
例2．某市环保部门对该市每天环境污染情况进行调查研究后，得出一天中环境污染指数与时间x（小时）的函数关系为，其中a为与气象有关的参数，且。若函数的最大值为当天的综合污染指数，并记作。（1）求函数的表达式；
（2）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问该市目前的综合污染指数是否超标？
解：（1）设，则原函数可化为，当时，
，，由于的图象为线段或折线，故的最大值在端点或折点处取得，又当的图象为折线时，在折点处的t值为，而
，所以的最大值为
=，而,
,由方程组得，
从而
（2）由（1）知：在上是增函数，故，因此该市目前的综合污染指数没有超标。
复习智略：
例3.设关于x的函数y=2cs2x－2acsx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值
分析：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等
解 由y=2(csx－)2－及csx∈［－1，1］得
f(a)＝
∵f(a)=,
∴1－4a=a=［2,+∞
或 －－2a－1=，解得a=－1，
此时，y=2(csx+)2+，
当csx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5
点评：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力
学生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错
检测评估：
1 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈
(－)，则tan的值是( )
A B －2 C D 或－2
2．给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f(x0)，则称函数y=f(x)在D上封闭。若定义域D1=（0，1），则下列函数：f1(x)=2x-1，f2(x)=，f3(x)=2x-1，f4(x)=csx.；其中在D1上封闭的有（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
3 函数y=－x·csx的部分图像是( )
4 函数f(x)=cs2x+sin(+x)是( )
A 非奇非偶函数B 仅有最小值的奇函数
C 仅有最大值的偶函数D 既有最大值又有最小值的偶函数
5、函数的最大值为M，最小值为N，则（ ）
A、； B、； C、； D、
6．函数y=sin（2x+）的图象通过如下变换：
得到y=sinx的图象。
7 函数f(x)=()｜csx｜在［－π，π］上的单调减区间为_________
8 设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－，］上单调递增，则ω的取值范围是_________
9．已知函数f(x)=2csxsin(x+)－sin2x+sinxcsx，则函数f(x)的最小正周期是 。
当x = 时，f(x)取得最小值 ；
10．已知＜β＜α＜,cs(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________
为锐角，且，函数，数列{an}的首项.
⑴ 求函数的表达式；
⑵ 求证：；
⑶ 求证：
，，已知函数
（1）求函数的最值与最小正周期；（2）求使不等式 成立的 的取值范围。
点拨与全解：
1 解析 ∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0 tanα+tanβ=3a+1＞0,
又α、β∈(－,)∴α、β∈(－,θ),则∈(－,0),
又tan(α+β)=,
整理得2tan2=0 解得tan=－2
答案 B
2．解：（1）∵f1()=0(0,1)，∴f(x)在D1上不封闭；
∵f2(x)=-(x+)2+在(0,1)上是减函数，∴0＜f2(1)＜f2(x)＜f2(0)=1，
∴f2(x)(0,1)f2(x)在D1上封闭；
∵f3(x)=2x-1在(0,1)上是增函数，∴0=f3(0)＜f3(x)＜f3(1)=1，
∴f3(x)(0,1)f3(x)在D1上封闭；
∵f4(x)=csx在(0,1)上是减函数，∴cs1=f4(1)＜f4(x)＜f4(0)=1，
∴f4(x)(cs1,1)(0,1)f4(x)在D1上封闭； 综上所述，选C。
3 解 函数y=－xcsx是奇函数，图像不可能是A和C，又当x∈(0, )时，y＜0
答案 D
4 解 f(x)=cs2x+sin(+x)=2cs2x－1+csx=2［(csx+］－1
答案 D
5．解：，其中是奇函数，所以M+N=2，故选D。
=sin（2x+）
7 解 在［－π,π］上，y=｜csx｜的单调递增区间是［－,0］及［,π］ 而f(x)依｜csx｜取值的递增而递减,故［－,0］及［,π］为f(x)的递减区间
8 解 由－≤ωx≤，得f(x)的递增区间为［－,］，由题设得
9．解：f(x)=2sinxcsx+cs2x=2sin(2x+)，∴f(x)的最小正周期T=π
且当2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2
10．解 ∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜ π＜α+β＜,
∴
∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)cs(α+β)+cs(α－β)sin(α+β)
11．解：⑴ 又∵为锐角
∴ ∴
⑵ ∵ ∴都大于0
∴ ∴
⑶
∴
∴

∵, , 又∵
∴ ∴
∴
12、解：


(1)∴的最大值是,的最小值是,
的最小正周期是
(2) 由解知

又∵ ∴的取值范围是
第2课时 解三角形
考纲指要：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
考点扫描：
1．直角三角形中各元素间的关系：（1）三边之间的关系；（2）锐角之间的关系；（3）边角之间的关系。
2．斜三角形中各元素间的关系：（1）三角形内角和；（2）正弦定理；（3）余弦定理；
3．三角形的面积公式。
考题先知：
例1。在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
分析： 主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题
解 (1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=
sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB·cs30°－csACB·sin30°
在△ACD中，据正弦定理得，
∴
答 此时船距岛A为千米
点评： 主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系
例2已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cs，f(x)=csB()
(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；
(2)判断其单调性，并加以证明；
(3)求这个函数的值域
分析： 本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式 在求定义域时要注意||的范围
解 (1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°
∵0°≤||＜60°，∴x=cs∈(，1
又4x2－3≠0，∴x≠，∴定义域为(，)∪(，1］
(2)设x1＜x2，
∴f(x2)－f(x1)==，
若x1，x2∈()，则4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(，1］，则4x12－3＞0
4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(,)和(，1上都是减函数
(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2
故f(x)的值域为(－∞，－)∪［2，+∞
点评：学生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题
复习智略：
例3．已知△ABC中满足( eq \(\s\up8 (),AB))2＝ eq \(\s\up8 (),AB)· eq \(\s\up8 (),AC)＋ eq \(\s\up8 (),BA)· eq \(\s\up8 (),BC)＋ eq \(\s\up8 (),CA)· eq \(\s\up8 (),CB)，a、b、c分别是△ABC的三边．
（Ⅰ）试判断△ABC的形状并求sinA＋sinB的取值范围；
（Ⅱ）若不等式a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，对任意的a、b、c都成立，求k的取值范围．
7解：（Ⅰ）∵( eq \(\s\up8 (),AB))2＝ eq \(\s\up8 (),AB)· eq \(\s\up8 (),AC)＋ eq \(\s\up8 (),BA)· eq \(\s\up8 (),BC)＋ eq \(\s\up8 (),CA)· eq \(\s\up8 (),CB)，
( eq \(\s\up8 (),AB))2＝ eq \(\s\up8 (),AB)·( eq \(\s\up8 (),AC)＋ eq \(\s\up8 (),CB))＋ eq \(\s\up8 (),CA)· eq \(\s\up8 (),CB) 即( eq \(\s\up8 (),AB))2＝ eq \(\s\up8 (),AB)· eq \(\s\up8 (),AB)＋ eq \(\s\up8 (),CA)· eq \(\s\up8 (),CB)，
即 eq \(\s\up8 (),CA)· eq \(\s\up8 (),CB)＝0，△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形，
∴sinA＋sinB＝sinA＋csA＝ eq \r(2)sin(A＋ EQ \F(π,4))，A∈(0， EQ \F(π,2)) ，
∴sinA＋sinB的取值范围为．
（Ⅱ）在直角△ABC中， a＝csinA，b＝ccsA．
若a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，对任意的a、b、c都成立，
则有 eq \f(a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b), abc)≥k，对任意的a、b、c都成立，
∵ eq \f(a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b), abc)
＝ eq \f(1,c3sinAcsA)[c2sin2A(ccsA＋c)＋c2cs2A(csinA＋c)＋c2(csinA＋ccsA)]
＝ eq \f(1, sinAcsA)[ sin2AcsA＋cs2A sinA＋1＋csA＋sinA]
＝csA＋sinA＋ eq \f(1＋csA＋sinA, sinAcsA)
令t＝sinA＋csA，t∈，
设f(t)＝ eq \f(a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b), abc)＝t＋ eq \f(1＋t, eq \f(t2－1,2))＝t＋eq \f(2,t－1)＝t－1＋eq \f(2,t－1)＋1．
f(t)＝t－1＋eq \f(2,t－1)＋1，当t－1∈ 上时 f(t)为单调递减函数，
∴当t＝ eq \r(2)时取得最小值，最小值为2＋3 eq \r(2)，即k≤2＋3 eq \r(2)，
所以k的取值范围为（－∞，2＋3 eq \r(2)）．
点评：本题是平面向量与三角函数相结合的问题，运用平面向量的运算的意义转化为三角函数的边角关系，进而运用三角函数的图象与性质求值域．第Ⅱ小题将不等式恒成立的问题转化为求三角函数的最值，其中运用了换元法．
检测评估：
1 给出四个命题 (1)若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；(2)若sinA=csB，则△ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；(4)若cs(A－B)cs(B－C)cs(C－A)=1，则△ABC为正三角形 以上正确命题的个数是( )
A 1 B 2 C 3 D 4
2．△ABC中，则△ABC的周长为（ ）
A． B．
C． D．
3．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
4．在中，则满足条件的三角形有（ ）
（A）一解 （B）两解 （C）无解 （D）不能确定
5．已知两个向量集合M={︱＝（cs，），∈R}，N＝{︱＝（cs，＋sin）∈R}，若M∩N≠，则的取值范围是（ ）
A.（－3，5） B.[ EQ \F(11,4) ,5] C.[2，5] D.[5，＋∞]
解：由条件得：，故选B。
6 在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为__________
7 在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cs(2A+C)=－，sinB=，则cs2(B+C)=__________
8. 如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k·，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么电灯悬挂的高度h= ，才能使桌子边缘处最亮.
9 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又∠A－∠C=，则∠A、∠B、∠C的值分别为
10.．给出问题：已知中，满足，试判定的形状．某学生
的解答如下：由条件可得，去分母整理可得
，．故是直角三角形．该学生的解答是
否正确？若正确，请将他的解题主要依据填在下面横线上；若不正确，将正确的结果填在
下面横线上．_______________________________________________________________
11．在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风
刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小
船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.问此人能否追上小船.若小
船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
△ABC的面积S满足 , 且 , 与的夹角为.
(I) 求的取值范围;
(II)求函数的最小值.
点拨与全解：
1 解析 其中(3)(4)正确 答案 B
2．解：在中，由正弦定理得：化简得AC=
，化简得AB=，
所以三角形的周长为：3+AC+AB=3++
=3+。故选D。
3．解：的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，
若是锐角三角形，由，得，
那么，，所以是钝角三角形。故选D。
4．由得，故选C。
6 解析 ∵A+B+C=π，A+C=2B，
答案
7 解析 ∵A为最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°
∵cs(2A+C)=－，∴sin(2A+C)=
∵C为最大角，∴B为锐角，又sinB= 故csB=
即sin(A+C)=，cs(A+C)=－
∵cs(B+C)=－csA=－cs［(2A+C)－(A+C)］=－，
∴cs2(B+C)=2cs2(B+C)－1=
答案
8 解 R=rcsθ，由此得 ，
9． 解 由a、b、3c成等比数列，得 b2=3ac
∴sin2B=3sinC·sinA=3(－)［cs(A+C)－cs(A－C)］
∵B=π－(A+C) ∴sin2(A+C)=－［cs(A+C)－cs］
即1－cs2(A+C)=－cs(A+C)，解得cs(A+C)=－
∵0＜A+C＜π，∴A+C=π 又A－C=∴A=π，B=，C=
10．不正确，失掉这一情形，故是等腰三角形或直角三角形。
O
A
B
vt
2(1－k)t
4kt
15°
11． 设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为,人要追上小船,则人船运动的路线满足如图所示的三角形.
由余弦是理得
, 即,
整理得,
要使上式在（0，1）范围内有实数解，
则有且,
解得,
故当船速在内时，人船运动路线可构成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时人可以追上小船.
12.解:(1)由题意知,, ………………①
,…………②
由②÷①, 得, 即
由得, 即.
又为与的夹角, ∴, ∴.
(2)
∵, ∴.
∴, 即时, 的最小值为3.