高考数学微专题23 奇偶性及应用13种常考题型总结（原卷及解析版）

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题型1 函数奇偶性的定义及判断
题型2 利用奇偶性求值
题型3 已知f（x）=奇函数+M
题型4 利用奇偶性求解析式
题型5 由函数的奇偶性求参数
题型6 利用函数的奇偶性求最值
题型7 应用函数的奇偶性画函数图象
题型8 利用函数的奇偶性识别图象
题型9 抽象函数的奇偶性问题
题型10 函数的单调性和奇偶性的综合应用
题型11 函数的奇偶性和周期性的综合应用
题型12 奇偶性与对称性的综合运用
题型13 基于奇偶(对称性)的凸凹反转
1、函数的奇偶性
注：
①奇函数图像关于原点对称f(－x)＝－f(x)
②偶函数图像关于轴对称f(－x)＝f(x)
③对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便：
(i)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
④奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要）
⑤利用性质法来判断奇偶性（以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数）：
奇函数奇函数奇函数；（2）偶函数偶函数偶函数；（3）偶函数奇函数=非奇非偶函数
记忆口诀：加减看自身
（3）奇函数奇函数偶函数；（4）偶函数偶函数偶函数；（5）奇函数偶函数奇函数
（7）
记忆口诀：乘除看正负
（注：在记忆的时候可将偶函数看成“+”号，将奇函数看成“-”号）
⑥奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；
⑦奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数．
⑧若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
⑨复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
2、奇偶函数的图象特征（几何意义）
①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
注：奇、偶函数图象对称性的应用
①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
3、函数奇偶性的判断
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．
4、与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略
（1）已知函数的奇偶性求函数值
利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．
注：已知奇函数+M，，则
（1）
（2）
（2）已知函数的奇偶性求解析式
利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
（3）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值
①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.
（4）应用奇偶性画图象和判断函数单调性
①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数．
②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
（5）利用函数的奇偶性求最值
①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则
②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。
（6）奇偶性与对称性的综合运用在函数性质探讨中至关重要。技巧与方法包括：
定义法：直接利用奇偶性定义及对称性定义来判断。
图象法：通过绘制函数图像，观察图像是否关于原点或y轴对称来判断奇偶性和对称性。
性质法：利用奇偶性、对称性的性质进行推导，如奇±奇=奇，偶±偶=偶，以及函数图像的轴对称和中心对称性质。
结合法：在解题时，常将奇偶性与单调性、周期性结合使用，通过性质转换和变量替换简化问题。
5、常见函数的奇偶性及增减性
（1）幂函数= 非零常数可看成偶函数
（2） 是偶函数
（如偶 先减后增 偶 先减后增）
（3） 是奇函数（或）
（如奇 增 奇 增）
（4） 是奇函数
（5）是奇函数
（如奇 减 奇 减
奇 增 奇 增）
（6） 是奇函数
（7） 是奇函数
（如奇 增 奇 减 偶 增）
（8）与（）都是奇函数
（如：奇 增 奇 增 ）
偶函数值域 还是偶函数 单调性与内层偶函数相同
（如 偶函数 先减后增 偶函数 先减后增
偶函数 先增后减 偶函数 先减后增
奇函数 增函数 奇函数 增函数）
（10）与都是偶函数
（11）是奇函数；是偶函数；是奇函数
（12）为偶函数；是奇函数。
题型1 函数奇偶性的定义及判断
【例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】（1）函数的定义域为R，关于原点对称，
又，
∴为偶函数．
（2）函数的定义域为，关于原点对称，且，
又f−x=−fx，f−x=fx，
∴既是奇函数又是偶函数．
（3）函数的定义域为，不关于原点对称，
∴是非奇非偶函数．
（4）函数的定义域为，
∵，都有，
且，
∴是奇函数．
【变式1】下列函数中的奇函数是（ ）
A．y=3x2B．y=πx3−5xC．y=|x|D．y=x(x−1)x−1
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，即可求解.
【解析】对于A中，函数fx=3x2的定义域为R，且f−x=3(−x)2=3x2=fx，
所以函数fx=3x2为偶函数，不符合题意；
对于B中，函数fx=πx3−5x的定义域为R，
且f−x=π(−x)3−5(−x)=−(πx3−5x)=−fx，所以函数为奇函数，符合题意；
对于B中，函数fx=|x|的定义域为R，且f−x=|−x|=|x|=fx，
所以函数fx=|x|为偶函数，不符合题意；
对于B中，函数fx=x(x−1)x−1=x(x≠1)，所以函数fx=x(x−1)x−1为非奇非偶函数函数，不符合题意.
故选：B.
【变式2】函数的奇偶性为
A．奇函数B．偶函数C．即奇又偶函数D．非奇非偶函数
【答案】A
【解析】按照判定函数奇偶性的步骤，先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，求，与对比，即可得出结论.
【详解】的定义域为，
，
所以是奇函数.
故选:A.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判定，不要忘记定义域满足的条件，属于基础题.
【变式3】若函数，则以下函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】判断函数为奇函数，一是定义域必须关于原点对称，二是满足，然后分别检验各个函数即可. 对选项，均满足；对选项，不满足；对选项和，均不满足定义域必须关于原点对称.
【详解】对选项，，定义域为，且满足，函数为奇函数，故选项正确；
对选项，，定义域为，但不满足，函数不是奇函数，故选项错误；
对选项，，定义域为，故不是奇函数，故选项错误；
对选项，，定义域为，故不是奇函数，故选项错误；
故选：
【变式4】【多选】已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】因为的定义域为，又因为，所以是偶函数；故A是偶函数；
令，则，所以是偶函数，故B是偶函数；
令，则，所以是偶函数，故C是偶函数；
令，则，所以是奇函数，故D是奇函数．
故选：ABC.
【变式5】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数和增函数的定义逐一判断即可.
【详解】A：设，显然该函数的定义域为全体实数，
因为，
所以该函数是奇函数，
当时，，显然此时该函数是增函数，
又因为该函数是实数集上的奇函数，所以该函数是实数集上的增函数，
因此本选项函数符合题意；
B：设，该函数是定义域为全体非零实数集，
因为，所以该函数一定不是增函数，
因此本选项函数不符合题意；
C：该函数定义域为全体实数，因为当时，，所以该函数不是奇函数，
因此本选项函数不符合题意；
D：设，该函数是定义域为全体非零实数集，
因为，所以该函数一定不是增函数，
因此本选项函数不符合题意，
故选：A
【变式6】下列函数中，既是奇函数，又在区间0,+∞上是减函数的是（ ）
A．y=xB．y=x3C．y=x2D．y=−3x
【分析】利用基本初等函数的奇偶性和单调性逐项判断，可得出合适的选项.
【解析】对于A选项，设fx=x，该函数的定义域为R，f−x=−x=fx，
所以，函数y=x为偶函数，且当x>0时，y=x，即函数y=x在0,+∞上是增函数，A不满足要求；
对于B选项，函数y=x3为奇函数，且该函数在0,+∞上为增函数，B不满足要求；
对于C选项，函数y=x2为偶函数，且该函数在0,+∞上为增函数，C不满足要求；
对于D选项，函数y=−3x为奇函数，且该函数在0,+∞上为减函数，D满足要求.
故选：D.
【变式7】函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】C
【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.
【详解】令，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则,且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
题型2 利用奇偶性求值
【例2】已知fx为R上奇函数，当x≥0时，fx=x2+2x，则f−2=（ ）
A．8B．−8C．0D．2
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】解：因为fx为R上奇函数，
所以f−x=−fx，
又因为当x≥0时，fx=x2+2x，
所以f−2=−f(2)=−(22+2×2)=−8.
故选：B.
【变式1】已知函数fx是定义城为R的奇函数，当x≤0时，fx=3x2+2x+2，则f32的值为（ ）.
A．474B．−474C．234D．−234
【答案】D
【分析】由f32=−f−32即可求解.
【详解】因为函数fx是定义城为R的奇函数，
f32=−f−32=−3−322+2−32+2=−234
故选：D
【变式2】设是定义在R上的奇函数，当时，，则 .
【答案】
【解析】是奇函数，则，即时，，所以，从而．
故答案为：．
【变式3】已知是定义域为的奇函数，当时，，则 ．
【答案】
【分析】由奇函数的性质可得，由此可求，再由，结合所给解析式求.
【详解】因为是定义域为的奇函数，
所以，
所以， ，
又当时，，
所以，，
所以,
故答案为：.
题型3 已知f（x）=奇函数+M
【例3】已知函数，其中，且，则 ．
【答案】
【解析】，得
构造函数，定义域为R．
因为．
所以函数是偶函数，
所以，所以，从而，
又，因此.
故答案为：．
【变式1】已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先判断函数是奇函数，再利用奇函数的性质求值.
【详解】对于函数，，即是奇函数，
所以，则.
故选A.
【点睛】本题考查奇函数的判断与应用，是一道基础题.
【变式2】已知函数f(x)=ax5+bx3+cx−4，f(10)=6，则f(−10)= .
【答案】−14
【分析】根据函数的奇偶性求函数值.
【详解】设g(x)=ax5+bx3+cx，则f(x)=gx−4，且g(x)为奇函数，即g(−x)=−g(x).
又f(10)=g10−4=6 ⇒ g10=10；
所以g−10=−g10=−10，
所以f(−10)=g−10−4=−10−4=−14.
故答案为：−14
【变式3】已知函数和均为上的奇函数，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【分析】代入，和，利用奇函数的性质，两式相加求值.
【详解】,①,
和 都是奇函数，

即 ②
①+②可得
.
故选A.
【点睛】本题考查了奇函数的性质求值，属于基础题型.
题型4 利用奇偶性求解析式
【例4】已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，
因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3，
所以x0时，fx的解析式为（ ）
A．fx=−x2+xB．fx=−x2−x
C．fx=x2−xD．fx=x2+x
【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.
【解析】fx是定义域为R的奇函数，
当x>0时，−x