拔高点突破01 三角函数与解三角形背景下的新定义问题（十大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc171429215" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc171429215 \h 2
\l "_Tc171429216" 02题型归纳与总结 PAGEREF _Tc171429216 \h 3
\l "_Tc171429217" 题型一：托勒密问题 PAGEREF _Tc171429217 \h 3
\l "_Tc171429218" 题型二：与三角有关的新定义函数 PAGEREF _Tc171429218 \h 5
\l "_Tc171429219" 题型三：n倍角模型与倍角三角形 PAGEREF _Tc171429219 \h 7
\l "_Tc171429220" 题型四：双曲正余弦函数 PAGEREF _Tc171429220 \h 9
\l "_Tc171429221" 题型五：射影几何问题 PAGEREF _Tc171429221 \h 10
\l "_Tc171429222" 题型六：正余弦方差 PAGEREF _Tc171429222 \h 12
\l "_Tc171429223" 题型七：曼哈顿距离和余弦距离 PAGEREF _Tc171429223 \h 13
\l "_Tc171429224" 题型八：费马问题 PAGEREF _Tc171429224 \h 14
\l "_Tc171429225" 题型九：布洛卡点问题 PAGEREF _Tc171429225 \h 15
\l "_Tc171429226" 题型十：勒洛三角形、莱洛三角形、拿破仑三角形 PAGEREF _Tc171429226 \h 17
\l "_Tc171429227" 03过关测试 PAGEREF _Tc171429227 \h 20
在三角函数与解三角形背景下的新定义问题中，解题方法通常涉及对三角函数性质、解三角形方法的深入理解以及灵活应用。以下是一些常用的解题方法：
1、理解新定义：
首先，需要仔细阅读题目中的新定义，理解其含义和所涉及的数学概念。
将新定义与已知的三角函数或解三角形的方法联系起来，找出其中的关联点。
2、利用三角函数性质：
应用三角函数的定义、诱导公式、同角关系式、和差化积公式等，将问题转化为已知的三角函数问题。
利用三角函数的图像和性质，如周期性、奇偶性、单调性等，来分析和解决问题。
3、应用解三角形的方法：
使用正弦定理、余弦定理等解三角形的基本方法，将三角形的边和角联系起来。
通过作辅助线、构造特殊三角形等方式，将复杂问题转化为简单问题。
4、结合图形分析：
在解题过程中，结合图形进行分析，可以更直观地理解问题。
利用图形的对称性、相似性等性质，简化计算过程。
5、注意特殊值和极端情况：
在解题时，要注意考虑特殊值和极端情况，如角度为0°、90°、180°等。
这些特殊值往往能提供更简单的解题路径或用于验证答案的正确性。
6、综合应用多种方法：
在解题过程中，可能需要综合运用多种方法，如代数法、几何法、三角法等。
灵活转换不同的解题方法，以适应不同的问题情境。
可以使用不同的方法或代入特殊值进行验证，以确保答案的正确性。
解决三角函数与解三角形背景下的新定义问题，需要深入理解相关概念和方法，并灵活应用多种解题策略。通过不断的练习和反思，可以提高解决这类问题的能力。
题型一：托勒密问题
【典例1-1】古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，

(1)若，，，（图1），求线段长度的最大值；
(2)若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；
(3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值.
【典例1-2】（1）四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系：
如图，，，，四点共圆，为外接圆直径，，，，求与的长度；
（2）古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：
①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，解决以下问题：
（i）见图1，若，，，，求线段长度的最大值；
（ii）见图2，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出此时四边形的面积．
【变式1-1】克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.他一生有很多发明和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸四边形中，两组对边乘积的和大于等于两对角线的乘积，即，当四点共圆时等号成立.已知凸四边形中，.
(1)当为等边三角形时，求线段长度的最大值及取得最大值时的边长；
(2)当时，求线段长度的最大值.
【变式1-2】已知半圆O的半径为1，A为直径延长线上的点，且，B为半圆上任意一点，以为一边作等边，设.
(1)当时，求四边形的周长；
(2)托勒密所著《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积不大于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.据以上材料，当线段的长取最大值时，求；
(3)当为何值时，四边形的面积最大，并求此时面积的最大值.
题型二：与三角有关的新定义函数
【典例2-1】对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.
(1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
(2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值；
(3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数.
【典例2-2】知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，．顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
(1)的值为（ ）
A． B． C． D．
(2)对于，的正对值的取值范围是______．
(3)已知，其中为锐角，试求的值．
【变式2-1】已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数.
(1)设，求的特征向量；
(2)设向量的特征函数为，求当且时，的值；
(3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值.
【变式2-2】定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：
(1)求“余正弦”函数的定义域；
(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；
(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.
题型三：n倍角模型与倍角三角形
【典例3-1】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有
可见也可以表示成的三次多项式．
(1)利用上述结论，求的值；
(2)化简；并利用此结果求的值；
(3)已知方程在上有三个根，记为，求证：.
【典例3-2】（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.
(1)证明：是倍角三角形；
(2)若，当取最大值时，求.
【变式3-1】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式，对于，我们有
．
可见可以表示为的三次多项式．
(1)对照上述方法，将可以表示为的三次多项式；
(2)若，解关于x的方程．
【变式3-2】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有，可见也可以表示成的三次多项式.以上推理过程体现了数学中的逻辑推理和数学运算等核心素养，同时也蕴含了转化和化归思想.
(1)试用以上素养和思想方法将表示成的三次多项式；
(2)化简，并利用此结果求的值.
【变式3-3】由倍角公式，可知可以表示为仅含的二次多项式.
（1）类比公式的推导方法，试用仅含有的多项式表示 ；
（2）已知，试结合第（1）问的结论，求出的值.

题型四：双曲正余弦函数
【典例4-1】（2024·福建泉州·模拟预测）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；
(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【典例4-2】在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.双曲函数的定义域是实数集，其自变量的值叫做双曲角，双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程.
(1)计算的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；
(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.
【变式4-1】（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围；
(3)无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
题型五：射影几何问题
【典例5-1】射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．

(1)证明：；
(2)已知，点为线段的中点，，求．
【典例5-2】射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.

(1)若点分别是线段的中点，求；
(2)证明：；
(3)已知，点为线段的中点，，，求.
【变式5-1】射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.
(1)当时，称为调和点列，若，求的值；
(2)①证明：；
②已知，点为线段的中点，，，求，.

题型六：正余弦方差
【典例6-1】定义:为实数对的“正弦方差”.
(1)若，则实数对的“正弦方差”的值是否是与无关的定值，并证明你的结论
(2)若，若实数对的“正弦方差”的值是与无关的定值，求值.
【典例6-2】对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”.
(1)若集合，求集合A相对的“余弦方差”；
(2)若集合，是否存在，使得相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值？若存在，求出的值：若不存在，则说明理由.
题型七：曼哈顿距离和余弦距离
【典例7-1】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值
【典例7-2】人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.已知二维空间两个点、，则其曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离：.
(1)若、，求、之间的余弦距离；
(2)已知，、,，若,，求、之间的曼哈顿距离.
【变式7-1】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值
(3)已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离.

题型八：费马问题
【典例8-1】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知，，分别是三个内角，，的对边
(1)若，
①求；
②若，设点为的费马点，求的值；
(2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
【典例8-2】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且设点为的费马点．
(1)若，．
①求角；
②求．
(2)若，，求实数的最小值．
【变式8-1】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知分别是三个内角的对边，点为的费马点，且.
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若，求实数的最小值.

题型九：布洛卡点问题
【典例9-1】三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对边长分别为，，，记的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为
(1)若．求证：
①；
②为等边三角形．
(2)若，求证：．
【典例9-2】三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对边长分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为．
(1)若．求证：
①（为的面积）；
②为等边三角形．
(2)若，求证：．
【变式9-1】若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．
(1)若，且满足，
①求的大小；
②若，求布洛卡角的正切值；
(2)若平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由．

题型十：勒洛三角形、莱洛三角形、拿破仑三角形
【典例10-1】勒洛三角形是由19世纪德国工程师勒洛在研究机械分类时发现的．如图1，以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形ABC．受此启发，某数学兴趣小组绘制了勒洛五边形．如图2，分别以正五边形ABCDE的顶点为圆心、对角线长为半径，在距离该顶点较远的另外两个顶点间画一段圆弧，五段圆弧围成的曲边五边形就是勒洛五边形ABCDE．设正五边形ABCDE的边长为1．
(1)求勒洛五边形ABCDE的周长；
(2)设正五边形ABCDE外接圆周长为，试比较与大小，并说明理由．（注：）
【典例10-2】数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.如图所示，已知，点分别在弧，弧上，且.
(1)若时，求的值.
(2)若时，求的值.
【变式10-1】（2024·高三·江苏镇江·期中）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形，再分别以点，，为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.如图所示，已知，为中点，点，分别在弧，弧上，设.
(1)当时，求；
(2)求的取值范围.
【变式10-2】（2024·高三·江苏南京·期中）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”．如图，在中，内角A，B，C的对边分别为，且．以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为．
(1)求角；
(2)若的面积为，求的面积．
【变式10-3】法国著名军事家拿破仑・波拿巴提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在非直角中，内角，，的对边分别为，，，已知．分别以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，．

(1)求；
(2)若，的面积分别为，，且，求的面积．
1．克罗狄斯·托勒密（Ptlemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号. 如图，半圆的直径为2cm，为直径延长线上的点，2 cm，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形.
(1)当时，求四边形的周长；
(2)当在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；
(3)若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求的值.
2．由倍角公式cs2x＝2cs2x－1，可知cs2x可以表示为csx的二次多项式，对于cs3x，我们有cs3x＝cs(2x＋x)
＝cs2xcsx－sin2xsinx
＝(2cs2x－1)csx－2(sinxcsx)sinx
＝2cs3x－csx－2(1－cs2x)csx
＝4cs3x－3csx
可见cs3x可以表示为csx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得csnx＝Pn(csx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式．
(1)求证：sin3x＝3sinx－4sin3x；
(2)请求出P4(t)，即用一个csx的四次多项式来表示cs4x；
(3)利用结论cs3x＝4cs3x－3csx，求出sin18°的值．
3．（2024·高三·上海杨浦·期中）若实数，，且满足，则称x､y是“余弦相关”的.
(1)若，求出所有与之“余弦相关”的实数；
(2)若实数x､y是“余弦相关”的，求x的取值范围；
(3)若不相等的两个实数x､y是“余弦相关”的，求证：存在实数z，使得x､z为“余弦相关”的，y､z也为“余弦相关”的.
4．已知正弦三倍角公式：①
（1）试用公式①推导余弦三倍角公式（仅用表示）；
（2）若角满足，求的值.
5．定义三边长分别为，，，则称三元无序数组为三角形数．记为三角形数的全集，即．
(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；
(2)若锐角内接于圆O，且，设．
①若，求；
②证明：．
6．已知函数，.
(1)求，的值并直接写出的最小正周期；
(2)求的最大值并写出取得最大值时x的集合；
(3)定义，，求函数的最小值.
7．在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Cversed或cversedsine），记作．
(1)设函数，求函数的单调递减区间；
(2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则：
①求实数的取值范围；
②求的取值范围．
8．（2024·山东菏泽·二模）定义二元函数，同时满足：①；②；③三个条件．
(1)求的值；
(2)求的解析式；
(3)若．比较与0的大小关系，并说明理由．
附：参考公式
9．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.
10．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间两个点，，曼哈顿距离.
余弦相似度：.
余弦距离：.
(1)若，，求A，B之间的和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值.
11．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点. 试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若，设点为的费马点，求；
(3)设点为的费马点，，求实数的最小值.
12．（2024·湖南长沙·一模）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知的内角，，所对的边分别为，，，且
(1)求；
(2)若，设点为的费马点，求.
13．（2024·安徽合肥·模拟预测）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，且.以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为.

(1)求角；
(2)若的面积为，求的周长.
14．法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知.以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
15．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若．
(1)求角A的大小；
(2)分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，求平面区域D的“直径”的取值范围．