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重难点突破09 导数中的“距离”问题（八大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
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这是一份重难点突破09 导数中的“距离”问题（八大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含重难点突破09导数中的“距离”问题八大题型原卷版docx、重难点突破09导数中的“距离”问题八大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc169253981" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc169253981 \h 2
\l "_Tc169253982" 题型一：曲线与直线的距离 PAGEREF _Tc169253982 \h 2
\l "_Tc169253983" 题型二：曲线与点的距离 PAGEREF _Tc169253983 \h 3
\l "_Tc169253984" 题型三：曲线与圆的距离 PAGEREF _Tc169253984 \h 3
\l "_Tc169253985" 题型四：曲线与抛物线的距离 PAGEREF _Tc169253985 \h 4
\l "_Tc169253986" 题型五：曲线与曲线的距离 PAGEREF _Tc169253986 \h 4
\l "_Tc169253987" 题型六：横向距离 PAGEREF _Tc169253987 \h 5
\l "_Tc169253988" 题型七：纵向距离 PAGEREF _Tc169253988 \h 6
\l "_Tc169253989" 题型八：直线与两曲线交点的距离 PAGEREF _Tc169253989 \h 7
\l "_Tc169253990" 03 过关测试 PAGEREF _Tc169253990 \h 8
导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方 法 之 一 是 转 化 化 归，将 动 点 间 的 距 离 问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．
题型一：曲线与直线的距离
【典例1-1】（2024·广西桂林·二模）已知函数的最小值为，则正实数（ ）
A．3B．C．D．3或
【典例1-2】若函数，函数，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2024·陕西西安·二模）若，，则的最小值为（ ）
A．B．6C．8D．12
【变式1-4】已知函数，，点与分别在函数与的图象上，若的最小值为，则（ ）
A．B．3C．或3D．1或3
【变式1-5】若实数满足，则的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式1-6】已知实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．8C．4D．16
题型二：曲线与点的距离
【典例2-1】若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2024·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2024·高三·广东汕头·开学考试）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为 .
题型三：曲线与圆的距离
【典例3-1】（2024·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ．
【典例3-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．8
【变式3-1】若x、a、b为任意实数，若，则最小值为( )
A．B．9C．D．
【变式3-2】若，分别是函数与圆上的点，则的最小值为 ．
【变式3-3】已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
题型四：曲线与抛物线的距离
【典例4-1】设，当a，b变化时，的最小值为_______.
【典例4-2】设.，则的最小值为
A．B．1C．D．2
【变式4-1】（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型五：曲线与曲线的距离
【典例5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为___________.
【典例5-2】设，，则的最小值为 ．
【变式5-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为 .
【变式5-2】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 .
【变式5-3】已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 .
【变式5-4】（2024·高三·辽宁·期中）如图所示，动点P，Q分别在函数，上运动，则的最小值为 ．
【变式5-5】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-6】已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-7】（2024·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知动点分别是曲线和曲线上的任意一点，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型六：横向距离
【典例6-1】（多选题）（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，的图象与直线y=m分别交于A、B两点，则（ ）.
A．
B．，曲线在A处的切线总与曲线在B处的切线相交
C．的最小值为1
D．∃，使得曲线在点A处的切线也是曲线的切线
【典例6-2】（2024·江苏苏州·一模）已知直线y＝a分别与直线，曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为 ．
【变式6-1】已知直线，分别与直线和曲线交于点M，N两点，则线段MN长度的最小值是 ．
【变式6-2】直线 分别与曲线， 直线 交于 两点， 则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】（2024·陕西铜川·一模）直线分别与直线、曲线交于点A，B，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-4】已知直线分别与曲线和曲线交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【变式6-5】已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
题型七：纵向距离
【典例7-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：
①，使得；②当时，取得最小值；
③的最小值为2；④最小值小于．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例7-2】直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为
A．B．2C．D．
【变式7-1】动直线（）与函数，的图象分别交于点A，B，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型八：直线与两曲线交点的距离
【典例8-1】已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．e
【典例8-2】（2024·陕西安康·三模）已知直线分别与直线、曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
【变式8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直线分别与直线及曲线交于A,B两点，则A,B两点间距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
1．已知直线与曲线和直线分别交于P，Q两点，则的最小值为 ．
2．（2024·高三·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．曲线上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
4．已知点P是曲线上任意一点，点Q是直线上任一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
5．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
6．若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
8．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·四川·一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．若点，，则、两点间距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
11．已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．已知实数a，b，c，d满足：，其中e是自然对数的底数，则的最小值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
14．（2024·新疆·二模）若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·全国·模拟预测）已知，，的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
16．在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．
17．（2024·山东·模拟预测）若，，，求的最小值为（ ）
A．B．C．D．
18．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
19．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 .
20．（2024·河北石家庄·一模）若实数满足，则的最小值为 ．
21．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为 ．
22．（2024·江西·一模）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为 ．
23．（2024·高三·山东淄博·期末）已知实数x，y满足，则的最小值为 ．
24．（2024·广东佛山·一模）若分别是曲线与圆上的点，则的最小值为 .
25．已知函数的最小值是，则的值是
\l "_Tc169253981" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc169253981 \h 2
\l "_Tc169253982" 题型一：曲线与直线的距离 PAGEREF _Tc169253982 \h 2
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导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方 法 之 一 是 转 化 化 归，将 动 点 间 的 距 离 问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．
题型一：曲线与直线的距离
【典例1-1】（2024·广西桂林·二模）已知函数的最小值为，则正实数（ ）
A．3B．C．D．3或
【典例1-2】若函数，函数，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2024·陕西西安·二模）若，，则的最小值为（ ）
A．B．6C．8D．12
【变式1-4】已知函数，，点与分别在函数与的图象上，若的最小值为，则（ ）
A．B．3C．或3D．1或3
【变式1-5】若实数满足，则的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式1-6】已知实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．8C．4D．16
题型二：曲线与点的距离
【典例2-1】若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2024·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2024·高三·广东汕头·开学考试）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为 .
题型三：曲线与圆的距离
【典例3-1】（2024·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ．
【典例3-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．8
【变式3-1】若x、a、b为任意实数，若，则最小值为( )
A．B．9C．D．
【变式3-2】若，分别是函数与圆上的点，则的最小值为 ．
【变式3-3】已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
题型四：曲线与抛物线的距离
【典例4-1】设，当a，b变化时，的最小值为_______.
【典例4-2】设.，则的最小值为
A．B．1C．D．2
【变式4-1】（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型五：曲线与曲线的距离
【典例5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为___________.
【典例5-2】设，，则的最小值为 ．
【变式5-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为 .
【变式5-2】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 .
【变式5-3】已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 .
【变式5-4】（2024·高三·辽宁·期中）如图所示，动点P，Q分别在函数，上运动，则的最小值为 ．
【变式5-5】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-6】已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-7】（2024·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知动点分别是曲线和曲线上的任意一点，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型六：横向距离
【典例6-1】（多选题）（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，的图象与直线y=m分别交于A、B两点，则（ ）.
A．
B．，曲线在A处的切线总与曲线在B处的切线相交
C．的最小值为1
D．∃，使得曲线在点A处的切线也是曲线的切线
【典例6-2】（2024·江苏苏州·一模）已知直线y＝a分别与直线，曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为 ．
【变式6-1】已知直线，分别与直线和曲线交于点M，N两点，则线段MN长度的最小值是 ．
【变式6-2】直线 分别与曲线， 直线 交于 两点， 则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】（2024·陕西铜川·一模）直线分别与直线、曲线交于点A，B，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-4】已知直线分别与曲线和曲线交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【变式6-5】已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
题型七：纵向距离
【典例7-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：
①，使得；②当时，取得最小值；
③的最小值为2；④最小值小于．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例7-2】直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为
A．B．2C．D．
【变式7-1】动直线（）与函数，的图象分别交于点A，B，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型八：直线与两曲线交点的距离
【典例8-1】已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．e
【典例8-2】（2024·陕西安康·三模）已知直线分别与直线、曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
【变式8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直线分别与直线及曲线交于A,B两点，则A,B两点间距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
1．已知直线与曲线和直线分别交于P，Q两点，则的最小值为 ．
2．（2024·高三·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．曲线上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
4．已知点P是曲线上任意一点，点Q是直线上任一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
5．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
6．若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
8．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·四川·一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．若点，，则、两点间距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
11．已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．已知实数a，b，c，d满足：，其中e是自然对数的底数，则的最小值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
14．（2024·新疆·二模）若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·全国·模拟预测）已知，，的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
16．在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．
17．（2024·山东·模拟预测）若，，，求的最小值为（ ）
A．B．C．D．
18．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
19．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 .
20．（2024·河北石家庄·一模）若实数满足，则的最小值为 ．
21．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为 ．
22．（2024·江西·一模）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为 ．
23．（2024·高三·山东淄博·期末）已知实数x，y满足，则的最小值为 ．
24．（2024·广东佛山·一模）若分别是曲线与圆上的点，则的最小值为 .
25．已知函数的最小值是，则的值是
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