安徽省芜湖市2022-2023学年高一上学期期末教学质量统测数学试题

这是一份安徽省芜湖市2022-2023学年高一上学期期末教学质量统测数学试题，共16页。

1．本试卷满分为100分，考试时间为120分钟.
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页.
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的.
4．考试结束后，请将“答题卷”交回.
一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集，可得答案.
【详解】由题意，.
故选：A.
2. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；
【详解】由，解得，即原不等式的解集为；
故选：B.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式化简后得结论．
【详解】．
故选：C．
4. 已知命题，则命题为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】给定命题是全称量词命题，由全称量词命题的否定的意义即可得解.
【详解】因是全称量词命题，则命题为存在量词命题，由全称量词命题的否定意义得，
命题：.
故选：C
5. 若，，则下列不等式成立是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质可判断A，取特值可判断B，C，D.
【详解】对于A，因为，，所以，故A正确；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，故C不正确；
对于D，若，则，故D不正确.
故选：A.
6. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由扇形面积公式计算（大扇形面积减去小扇形面积）．
【详解】由已知，，
扇面面积为
故选：B．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的既不充分也不必要条件
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 若，则“”是“”的必要不充分条件
D. 在中，角，均为锐角，则“”是“是钝角三角形”的充要条件
【答案】D
【解析】
【分析】利用充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件定义进行逐项判定.
【详解】对于A，因为能够得到，反之不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，A错误；
对于B，因为时，，而当时，，
所以“”是“”的必要不充分条件，B错误；
对于C，当时，，无法得出；当，，所以，C错误；
对于D，因为角，均为锐角，当时，，
由于所以，即，所以是钝角三角形；反之依然成立，D正确.
故选：D.
8. 已知实数，，，那么实数，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用作差法，结合对数的运算，以及对数函数的性质，可得答案.
【详解】，由，则，即，可得；
，由，则，即，可得；
，由，则，即，可得；
综上，.
故选：A.
二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下图为幂函数的大致图象，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，以及幂函数的性质，可得答案.
【详解】对于A、C，，，显然为奇函数，且指数在0到1之间，在第一象限是越增越慢的，故A、C正确；
对于B、D，，，显然为偶函数，故B、D错误.
故选：AC.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在上单调递增
B. 与的图象相同
C. 不等式的解集为
D. 的图象对称中心为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质可判断A，根据诱导公式及余弦函数的性质可判断B，根据辅助角公式及正弦函数的图象函数性质可判断C，根据正切函数的性质可判断D.
【详解】对于A：因为的单调增区间为，
所以函数在上单调递增，故A正确；
对于B：因为，，所以与的图象相同，故B正确；
对于C：由，可得，则，即，
所以不等式的解集为，故C正确；
对于D：对于函数的图象对称中心为，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知，，则下列选项一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用等量代换整理函数解析式，利用二次函数的性质，可得答案；
对于B，利用基本不等式，可得答案；对于C，利用反例，可得答案；
对于D，利用等量代换整理函数解析式，利用导数研究其最值，可得答案.
【详解】对于A，由，则，由，则，
，，故A正确；
对于B，由，即，则，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，当时，，而，故C错误；
对于D，由，则，由，则，
，令，，
令，解得，当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，故D正确；
故选：ABD.
12. 已知函数图象关于轴对称，且，都有．若不等式，对恒成立，则的取值可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由题可得的图象关于对称，且在上单调递增，进而将不等式转化为，对恒成立，然后利用换元法结合二次函数的性质可得的取值范围，即得.
【详解】因函数图象关于轴对称，
所以的图象关于对称，又，都有，
所以函数在上单调递增，
因为不等式，对恒成立，
所以，对恒成立，
令，则，则，
所以，对恒成立，
因为，，，
故，所以BC正确，AD错误.
故选；BC.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
三、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
13. 已知为第三象限角，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同角三角函数商式关系以及平方和关系，可得答案.
【详解】由，则，，由，则，
由为第三象限角，，，则.
故答案为：.
14. 函数为偶函数，当时，，则时，___________．
【答案】
【解析】
【分析】由偶函数的定义求解．
【详解】时，，是偶函数，
∴，
故答案为：．
15. 科学家通过生物标本中某种放射性元素的存量来估算该生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为1620年（即：每经过1620年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该元素的初始存量为，经检测生物中该元素现在的存量为，（参考数据：）请推算该生物距今大约___________年．
【答案】3780
【解析】
【分析】由指数函数模型求解．
【详解】设放射性元素的存量模型为，由已知，
所以，，，
设题中所求时间为，则，，，，
∴，．
故答案为：3780.
16. 定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为___________．
【答案】
【解析】
【分析】画出函数与图象，根据对称性以及对数函数的运算得出零点之和.
【详解】令，即，故函数的零点就是函数与图象交点的横坐标，
当时，，函数与在上图象如图所示：
设与图象交点的横坐标分别为，
由对称性可知，，.
由，结合奇偶性得出，即
解得，即.
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，共44分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】根据对数运算与指数运算，可得答案.
【小问1详解】
原式．
【小问2详解】
原式
18. 小明家院子中有块不规则空地，如图所示．小明测量并计算得出空地边缘曲线拟合函数，小明的爸爸打算改造空地，用家中现有的8米长的栅栏如图围一面靠墙矩形空地用来铺设草皮，请问小明的爸爸需要购买多少平方米的草皮才能铺满矩形草地？（不考虑材料的损耗）
【答案】.
【解析】
【分析】设，进而可得，根据条件可得方程，然后结合条件即得.
【详解】设，因为，则，
所以，解得，即，，
此时矩形的面积为，
即小明的爸爸需要购买6平方米的草皮才能铺满矩形草地．
19. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解分式不等式可得集合，后根据并集的定义运算即可；
（2）由题可得，然后分类讨论，结合子集的定义即得.
【小问1详解】
因为，
故；
【小问2详解】
若，则，，
，，符合；
②，，不符合，舍去；
③，，则；
综上，实数的取值范围为.
20. 已知函数．
（1）判断函数奇偶性并证明；
（2）设函数，若函数与的图象没有公共点，求实数的取值范围．
【答案】（1）偶函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义，可得答案；
（2）根据函数与方程的关系，利用二次函数的性质，可得答案.
【小问1详解】
函数定义域为，，
，是偶函数.
【小问2详解】
等价于方程没有实数根．
令，则没有大于的根，令．
①时，符合；
②时，对称轴，，无正根符合；
③时，对称轴，，有一根大于，不符合．
综上，．
21. 三角函数变形化简中常用“切割化弦”的技巧．其中“弦”指正弦函数与余弦函数，“切”指正切函数与余切函数，“割”指正割函数与余割函数．设是一个任意角，如图所示它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，与原点的距离为，则的正割函数定义为．
（1）已知函数，写出的定义域和单调区间；
（2）方程在所有根的和为，求的值．
【答案】（1）详见解析；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）利用正割函数的定义可得函数的定义域及函数的单调区间；或使用转化思想，将对正割函数的研究转化为已学的余弦函数，进而即得；
（2）根据函数的奇偶性可得，进而即得.
【小问1详解】
解法一：根据正割函数定义，是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，
因为，显然，因此角的终边不能落在轴上，结合终边相同的角的表示，
正割函数的定义域为，且因为，是该函数的一个周期．
为大于0的定值，当时，此时越大即弧度制下的角越大，
因此角终边上的点的横坐标越小，与横坐标的比值就越大，
所以为函数的一个单调增区间，结合该函数的周期，为函数的单调增区间，
同理为函数的单调增区间， 和为的单调减区间；
解法二： ，，，
，，定义域为，
当时，在区间和单调递减，
所以的单调增区间为和；
在区间和单调递增，
所以的单调减区间为和；
【小问2详解】
因为，，，，故两函数均为偶函数，
所以它们函数图象的交点关于轴对称，
因此方程的根的和为0，也即，
所以．
22. 已知函数，在区间上有最大值8，有最小值0，设．
（1）求，值；
（2）不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数性质结合条件可得关于的方程，进而即得；
（2）由题可得存在,使得成立，然后根据参变分离结合二次函数的性质即得；
（3）根据条件结合函数的图象可得方程有两个不同的实数根，然后根据二次函数根的分布问题，列出不等式解出即可.
【小问1详解】
由题可得，
所以，
；
【小问2详解】
由题可得，，
因为在上有解,
即存在,使得成立,
因为，所以有成立,
令,因为,所以,
即,使得成立,
只需即可,
因为,得,
所以k的取值范围是；
【小问3详解】
令，则，
化简得：，
根据的图象可知，方程要有三个不同的实数解，
则方程有两个不同的实数根，
令，由题意：函数的两个零点，，
①时，代入，，不成立；
②，，由零点存在性定理
，
，
由①②可知：.