河南省周口市2024届高三二模数学试卷(解析版)

这是一份河南省周口市2024届高三二模数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 已知全集，集合A满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，，可得或
则，，，，故B项正确，A,C,D项均是错误的.
故选：B.
2. 数据的第百分位数为（ ）
A. 8.5B. 8.6C. 8.7D. 8.8
【答案】D
【解析】因为，
所以这组数据的第百分位数为从小到大排列的第、两数的平均数，即为.
故选：D
3. 已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. －36或36B. －36C. 36D. 18
【答案】C
【解析】数列为等比数列，设公比为q，且，，
则，则，
则，
则，
故选：C.
4. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，（）为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ）
A. 2018B. 2020C. 2022D. 2024
【答案】B
【解析】因为，
所以
，
所以，
即被除得的余数为，结合选项可知只有被除得的余数为.故选：B.
5.声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数,但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的一个周期为B. 的最大值为
C. 的图象关于点对称D. 在区间上有2个零点
【答案】D
【解析】对于A,因为的周期为，的周期为，所以的周期为，故A错误；
对于B,因为函数的最大值为1,的最大值为，
故两个函数同时取最大值时，的最大值为，
此时需满足且，不能同时成立，
故最大值不能同时取到，故的最大值不为，则B错误；
对于C，，则，
故的图象不关于点对称，C错误；
对于D,因为时，，又，
所以或者；或者，此时，又，
所以，综上可知，在区间上有2个零点，故D正确，
故选：D.
6. 在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5，0.6和0.7，且三人的测试结果相互独立，测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分别记甲、乙、丙三人获得优秀等级为事件，
记甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件，
记乙达到优秀等级为事件.
由题知，，
所以
，
.
所以.故选：C.
7. 在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则，，
则，即，
化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，
又，所以三点共线，
显然当直线与此圆相切时，的值最大.
又,
则,
则.
故选：C.
8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在双曲线上的点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，则，而，所以，
所以点到的距离为，
又，所以，
解得，即，从而，
又因为，
所以，
在中，由余弦定理有，
所以，即，
解得，双曲线C的渐近线方程为.故选：A.
二、选择题
9. 在复平面内，复数对应的点为A，复数对应的点为，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 向量对应复数是1D.
【答案】AD
【解析】因为，所以，
所以，
，A正确；
，B错误；
由上可得，对应复数为，C错误；
，，
D正确.故选：AD
10. 如图，在矩形中，，点与点分别是线段与的四等分点．若把矩形卷成以为母线的圆柱的侧面，使线段与重合，则以下说法正确的是（ ）

A. 直线与异面
B. 平面
C. 直线与平面垂直
D. 点到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】A选项：由图可知，平面，是平面内不过D的直线，
所以，直线与异面，A正确；

B选项：由题知，是底面圆的直径，且，
所以四边形为正方形，所以，
又平面，平面，
所以平面，B正确；

C选项：由题知，劣弧的长为1，，
所以，所以长方形的对角线不垂直，
所以直线与平面不垂直，C错误；

D选项：同上可得为正方向，所以，
由圆柱性质可知，，
又，平面，
所以平面，
所以即为点到平面的距离，
记圆的半径为，则，得，
所以，D正确.故选：ABD

11. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ）
A. B. 为偶函数
C. D.
【答案】ACD
【解析】令，得，即，A正确；
令，得，
又，所以对任意恒成立，
因为，所以不恒为0，
所以，即，B错误；
将的图象向左平移1个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象，
因为的图象关于对称，所以的图象关于对称，
所以，
又为奇函数，
所以，
所以，所以4为的周期.
由可得，C正确；
因为，，，
所以，D正确.故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
12. 抛物线的准线方程为，则实数a的值为______.
【答案】
【解析】依题可知，则，故答案为：.
13. 在中，的对边分别为，已知，，，则边______，点在线段上，且，则______．
【答案】
【解析】由余弦定理得：，即，
，解得：（舍）或；
在中，由余弦定理得：，
，
在中，由正弦定理得：.
故答案为：；.
14. 已知不等式对任意的实数x恒成立，则的最大值为______.
【答案】
【解析】令，则，不等式可化为：对任意的实数x恒成立，
即对任意的实数x恒成立.
设，则，
当时，，在R上单调递增，，不合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则当时，.
因对任意的实数x恒成立，故恒成立，即，则.
令，则
当时，，单调递增，当时，，单调递减.
故，
即,故的最大值为.故答案为：.
四、解答题
15. 荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.
（1）求前3局比赛甲都取胜的概率；
（2）用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.
解：（1）因各局比赛的结果相互独立，前3局比赛甲都获胜，
则前3局甲都取胜的概率为.
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.
其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；
表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，
则；
表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则；
表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，则；
所以X的分布列为
故X的数学期望为.
16. 已知函数.
（1）若是函数的极值点，求a的值；
（2）求函数的单调区间.
解：（1）函数定义域为，，
因为是函数的极值点，所以，解得或，因为，所以.此时，
令得，令得，
∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.
所以.
（2）.
因为，所以，令得；令得；
∴所以时，函数的增区间为,
时函数的单调减区间为，单调增区间为.
17. 如图，在多面体DABCE中，是等边三角形，，.
（1）求证：；
（2）若二面角为30°，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值.
（1）证明：取BC中点O，连接AO，EO.
∵是等边三角形，O为BC中点，∴，
又，∴，
∵，平面,
∴平面，
又平面AEO，∴.
（2）解：连接DO，则，
由，
得，，
又，∴，∴，
又，平面,
∴平面.
如图，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
设平面ACD的法向量为，
则即
取，则.
∵是二面角的平面角，∴，
又，∴，，
则，
∴直线DE与平面ACD所成角正弦值为.
18. 已知椭圆E：过点，且焦距为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.
①证明：直线MN必过定点；
②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.
（1）解：依题意有，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）①证明：设：，，，则：，
联立，故，，，
故，由代替m，得，
当，即时，：，过点.
当，即时，，：，
令，，直线MN恒过点.
当，经验证直线MN过点.综上，直线MN恒过点.
②解：，
令，，
∵在上单调递减，
∴，当且仅当，时取等号.
故面积的最大值为.
19. 已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.
（1）写出所有4的1增数列；
（2）当时，若存在m的6增数列，求m的最小值；
（3）若存在100的k增数列，求k的最大值.
解：（1）由题意得，
且对于，使得的正整数对有1个，
由于或，
故所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3.
（2）当时，存在m的6增数列，
即，且对于，使得的正整数对有6个，
所以数列的各项中必有不同的项，所以且.
若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以，不符合题意，所以.
若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，
此时数列为，满足要求的正整数对分别为，
符合m的6增数列，
所以当时，若存在m的6增数列，m的最小值为7.
（3）若数列中的每一项都相等，则，
若，所以数列中存在大于1的项，
若首项，将拆分成个1后k变大，
所以此时k不最大值，所以.
当时，若，交换，的顺序后k变为，
所以此时k不是最大值，所以.
若，所以，
所以将改为，并在数列首位前添加一项1，所以k的值变大，
所以此时k不是最大值，所以.
若数列中存在相邻的两项，，设此时中有x项为2，
将改为2，并在数列首位前添加个1后，k的值至少变为，
所以此时k不是最大值，
所以数列的各项只能为1或2，所以数列为1，1，…，1，2，2，…，2的形式.
设其中有x项为1，有y项为2，
因为存在100的k增数列，所以，
所以，
所以，当且仅当，时，k取最大值为1250.
X
0
1
2
3
P