甘肃省张掖市2024-2025学年高二上学期开学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份甘肃省张掖市2024-2025学年高二上学期开学质量检测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，分别为AB，AC的中点，所以.
设Ex,y，又，所以，即解得
即点的坐标为.
故选：A.
2. 盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球.则恰好摸出一个红球一个白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记1个白球为，2个红球分别为，，现从中不放回地依次随机摸出2个球，
则可能结果有，共6个，
其中恰好摸出一个红球一个白球的有，共4个，
所以恰好摸出一个红球一个白球的概率，故C正确.
故选：C.
3. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，平方可得:
，
解得.
故选：C.
4. 在等差数列中，若，则（ ）
A. 10B. 5C. D.
【答案】B
【解析】因为为等差数列，所以，
因为，所以，解得：.选B.
5. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（ ）
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺
【答案】B
【解析】从冬至日起，依次构成等差数列，设为，
由题意得： ，
解得，
又冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺：，
所以，
所以，
所以，
故选：B.
6. 从1，2，3，4中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至少1个数为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A. 与是互斥事件B. 与是互斥但不对立事件
C. 与是互斥事件D. 与是对立事件
【答案】A
【解析】根据题意样本空间，
，
，
，
，
则，所以与是互斥事件，正确；
，，所以与是互斥且对立事件，错误；
，所以与不是互斥事件，C错误；
，所以与不是对立事件，D错误.
故选：A.
7. 已知三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在三棱锥中，平面，，，，
设底面的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，
由正弦定理得，可得，
所以，
则外接球的表面积为.
故选：D.
8. 在中，点是线段上一点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，且点是线段上一点，即，，三点共线，
所以，解得.
故选：C.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数，则（ ）
A. 的虚部是B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限D. 是纯虚数
【答案】BC
【解析】由，易知的虚部是3，故A错误；
，故B正确；
在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；
，是实数不是纯虚数，故D错误.
故选：BC.
10. 下列各式的值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD.
11. 如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积是定值
B. 过，，三点平面截正方体所得的截面是六边形
C. 存在唯一的点，使得
D. 与平面所成的角为定值
【答案】AC
【解析】因为是线段上的动点，而且，
所以的面积为定值，又点到平面的距离为定值，
，所以三棱锥的体积是定值，A正确；
过作分别交，的延长线于，，连接，，如图，
为，的交点，为，的交点，所以截面为五边形，B错误；
在上运动，当时，，而为中点，
所以当为中点时，，故存在唯一的点使得，C正确；
由，平面，平面，则平面，
所以到平面的距离一定，而长度随运动会变化，
故与平面所成的角不为定值，D错误.
故选：AC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为____.
【答案】
【解析】设圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，
半圆的弧长为：，即圆锥的底面周长为：，
设圆锥的底面半径是r，高为，
则得到，解得：，
这个圆锥的底面半径是1，所以圆锥的高.
所以圆锥的体积为：.
13. 在中，点为线段的中点，若，，，则______.
【答案】
【解析】由是线段的中点，得.
在中，由余弦定理得，
从而，
所以
所以，
即.
14. ______．
【答案】
【解析】由
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在等差数列中，，．
（1）求数列的首项和公差；
（2）设数列的前n项和为，求的最小值及取最小值时n的值．
解：（1）设等差数列an公差为，
因为，，可得，记得，
所以数列an的首项为，公差为．
（2）由（1）知，可得，
因为，所以或时，取得最小值．
16. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间50,60，60,70，…，90,100分成5组，得到下图所示的频率分布直方图．

（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？
解：（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得．
则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以，该苹果日销售量的平均值为:
（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．
方法1：依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，设为，
则，解得．
所以，每天应该进苹果．
方法2：依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为．
所以，每天应该进苹果．
17. 某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
解：（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，
所以表示“甲赢得比赛”，，
表示“乙赢得比赛”，，
因为，所以派乙参赛赢得比赛概率更大；
（2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”,
由（1）知，，
所以表示“两人中至少有一个赢得比赛”，
所以，
所以两人至少一人赢得比赛的概率为.
18. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面.，是中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的正切值.
解：（1）连接，交于点，连接，
因为四边形为正方形，所以为中点.
又因为是中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
因为是中点，且平面，
所以点到平面的距离为.
因为平面，平面，所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，
.
设点到平面的距离为，
则，
即，
代入得，
所以点到平面的距离为.
（3）连接，为的中点，
又是中点，
所以，因为平面，
所以平面，又平面，
所以，，
连接，，为的中点，则，
由已知，
所以，
又平面，，
所以平面，平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，，
所以，
所以二面角正切值为.
19. 记的内角的对边分别为.已知.
（1）求，的值
（2）若是线段上的一点，，，且内角，求的最小值.
解：（1）由余弦定理，，得.
又，所以，即.
由正弦定理，得，
整理得，
所以.
因为，所以.
因为，所以.
所以.
（2）由题意，得，

所以，
所以，则，
所以，即①，
又由余弦定理得②，
①②得，
令，又，所以，所以，
所以，所以，所以.
令，
因为，令，则，
令，
当时，，
当时，（且），
由对勾函数性质可得
当时，单调递减，故，所以，
故，
同理当时，，所以，故，
综上，，所以，所以，
即当，取最小值，此时，
又，所以，
所以当为等边三角形时，最小，最小值为.