宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）
A.B.C.D.
2.已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程（ ）
A.B.C.D.
3.下列各组向量，不能构成空间基底的是（ ）
A.，，B.，，
C.，，D.，，
4.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（ ）
A.B.C.D.
5.已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A.3B.2C.4D.5
6.在平行六面体中，为与的交点，若，，.则下列向量中与相等的向量是（ ）
A.B.C.D.
7.已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A.B.C.D.
8.在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（ ）
A.B.C.D.
二.多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.若向量，，则下列结论正确的为（ ）
A.B.C.D.
10.下列说法正确的有（ ）
A.直线过定点
B.若两直线与平行，则实数的值为1
C.若，，则直线不经过第二象限
D.点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是
11.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ）
A.点的轨迹是以为圆心，为半径的圆
B.轨迹上的点到直线的最小距离为
C.若点在轨迹上，则的最小值是
D.圆与轨迹有公共点，则的取值范围是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12.已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为________.
13.已知圆与圆的交点为，，则直线的方程为________.
14.已知，，动点在直线上.则的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15题.（13分）已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）若的中点为，求边的垂直平分线的方程；
（3）求的外接圆的方程.
16题.（15分）如图，为正方体.
（1）证明：平面
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
17题.（15分）已知关于，的方程.
（1）若方程表示圆，求的取值范围；
（2）若圆与圆外切，求的值；
（3）若圆与直线相交于，两点，且，求的值.
18题.（17分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小.
19题.（17分）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，
（1）求点的轨迹方程；
（2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于，两点，曲线的中心记为点，求面积的最大值，并求此时直线1的方程.
参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
二.选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12题 13题 14题
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）【详解】（1）由，，由两点式可得边所在直线的方程为，
即边所在直线的方程；
（2）由，，可得的中点为，
又，所以边的垂直平分线的斜率为，
所以由点斜式可得边的垂直平分线的方程为，即.
（3）设的外接圆的方程为，
则，解得
所以的外接圆的方程为
16.（15分）【解答过程】（1）解：如图，以为坐标原点，
，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则，，，，，，
因为，，，
且，，
所以，，
又，，平面，
所以平面；
（2）由（1）可知，为平面的一个法向量，
又，
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为，
故直线与平面所成角的余弦值为.
17.（15分）【详解】（1）由方程，整理得，
因为方程表示圆，可得，解得，所以实数的取值范围为.
（2）由圆，可得，
可得圆心为，半径为，
又由圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆相外切，可得，即，
解得.
（3）由（2）知，圆圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
因为圆与直线相交于，两点，且，
根据圆的弦长公式，可得，
可得，即，解得.
18.（17分）【详解】（1）在四棱锥中，底面，，底面，
则，，由底面是正方形，得，
以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，设平面的法向量为，
则，令，得，则，
而平面，所以平面.
（2）由（1）知，，由，得，
又，且，，平面，
所以平面.
（3）由（1）知，，且，，
设平面的法向量为，则，取，得，
，，而，则，，
即，，则的一个法向量为，
因此，而，则，
所以平面与平面的夹角为.
19.（17分）【解析】（1）设点，，由点的坐标为，且是线段的中点，
则，可得，即，
因为点在圆上运动，所以点点坐标满足圆的方程，
即，整理得，
所以点的轨迹方程为.
（2）过点定点的直线与曲线交于，两点，则直线的斜率一定存在且不为0，
设直线，即，
则圆心到直线的距离为，
又因为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以时，取得最大值2，此时，解得或，
所以取得最大值2，此时直线的方程为或.1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
B
A
B
D
C
D
9
10
11
AB
AC
ACD