2024年天一名校高考数学经典模拟试卷四

这是一份2024年天一名校高考数学经典模拟试卷四，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设点A,B,C不共线,则“”是“与的夹角为钝角”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
1．答案：C
解析：设与的夹角为,当时, , ,, ,即,所以,因为点A,B,C不共线,所以与的夹角为钝角；当与的夹角为钝角时,,所以.所以,即.所以“”是“与的夹角为钝角”的充分必要条件.故选:C.
2．已知定义在R上的奇函数满足,则以下说法错误的是( )
A.B.是周期函数
C.D.
2．答案：C
解析：对A：由为定义在R上的奇函数,故,即,故A正确;
对B：由,则,即有,
故是以4为周期的周期函数,故B正确;
对C：由,,故C错误;
对D：由,故,又,
故,故D正确.
故选：C.
3．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过的( )
A.外心B.内心C.重心D.垂心
3．答案：C
解析：取线段BC的中点E，则.
动点P满足：，，
则
则.
则直线AP一定通过的重心.
故选：C.
4．[2024春·高二·大同一中·月考]“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示,去除所有为1的项,依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,...,则此数列的前45项的和为( )
A.2026B.2025C.2024D.2023
4．答案：A
解析:由题意可知,n次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行
则“杨辉三角”第行各项之和为:
第行去掉所有为1的项的各项之和为:
从第行开始每一行去掉所有为1的项的数字个数为:
则:,即至第行结束,数列共有45项
第45项为第11行最后1个不为1的数,即为:
前45项的和为:
故选:A
5．[2023春·高一·四川资阳·期中校考]函数,,将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则在区间上的最小值为( )
A.B.C.D.
5．答案：C
解析：由函数,
将函数的图象向右平移个单位长度,可得,
因为,可得,
所以当时,即时,函数取得最小值,最小值为,
即函数在区间上的最小值为.
故选:C.
6．[2023秋·高三·宁夏石嘴山·期末校考]已知等差数列与等差数列的前n项和分别为与,且,则( )
A.B.C.D.
6．答案：D
解析：因为数列,都是等差数列,所以,
又,,
故,,即有,
在中,令,得,
故.
故选:D.
7．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等”．例如,可以用祖暅原理推导半球的体积公式,如图,底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上,然后在圆柱内挖去一个半径为R,高为R的圆锥后得到一个新的几何体,用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时,所截得的截面面积总相等,由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面去截半径为R的半球,且球心到平面的距离为,则平面与半球底面之间的几何体的体积是( )
A.B.C.D.
7．答案：C
解析：平面截圆柱所得截面圆半径,
平面截圆锥时所得小圆锥的体积,
又平面与圆柱下底面之间的部分的体积为
根据祖暅原理可知：平面与半球底面之间的几何体体积.
故选：C.
8．[2023届·浙江·模拟考试联考]已知在上恒成立,则的最小值是( )
A.0B.C.D.
8．答案：D
解析：在上恒成立,等价于在上恒成立,
等价于在上恒成立,
令,,
当时,则在上单调递增,则若时,,不符合题意;
当时,则,
若时,,此时单调递增;
若时,,此时单调递减,所以,
则,即,
令,,则,
当时,,此时单调递减;
当时,,此时单调递增,
所以,所以,
所以的最小值是.
故选:D.
9．[2023秋·高一·辽源五中·期中]已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则等于( )
A.－2B.2C.－98D.98
9．答案：A
解析：由，可得是以4为周期的周期函数，
可得，
因为在R上是奇函数，则，
又因为当时，，则.
故选：A.
10．[2024春·高二·福建泉州·月考校考]拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
10．答案：B
解析：因为，所以.
令为在上的“拉格朗日中值点”，则.
令，，则在上单调递增.
因为，，所以在内只有一个根，
所以在上的“拉格朗日中值点”的个数为1.
11．[2023秋·高三·平罗中学·期末]英国数学家泰勒1712年提出了泰勒公式,这个公式是高等数学中非常重要的内容之一.其正弦展开的形式如下:,(其中,),则的值约为(1弧度)( )
A.B.C.D.
11．答案：B
解析：又,则,
当时,则有,
又,则.
故选:B.
12．[2023春·高二·湖南长沙·期末校考]已知是函数的零点,是函数的零点,且满足,则实数a的最小值是( )
A.B.C.D.
12．答案：A
解析：,,当时,单调递减,当时,单调递增,为方程的根,即﹒故,即为,解得﹒是函数的零点,方程在上有解﹒即在上有解﹒,在上有解﹒令,,,设,则,易知h(t)在上单调递增,在上单调递减﹒又,,﹒﹒故实数a的最小值是﹒
13．[2024春·高二·河南·月考联考]如图,在直三棱柱中,D为侧棱的中点;,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
13．答案：D
解析：不妨设,,故,
所以,即,在直三棱柱中,平面,,平面,所以,.以A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,所以,,
所以,
故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
14．首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆,它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素,建筑外形优美流畅,飘逸灵动,被形象地称为雪飞天.雪飞天的助滑道可以看成一条线段PQ和一段圆弧组成,如图所示.在适当的坐标系下圆弧所在圆C的方程为.若某运动员在起跳点M以倾斜角为45°且与圆C相切的直线方向起跳,起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分,则该抛物线的方程为( )
A.B.C.D.
14．答案：A
解析：由题意知,又,
直线CM的方程为,即.
由,得或
即或.又M为靠近y轴的切点, .
设飞行轨迹的抛物线方程为,
则,
在点M处的切线斜率为1,
,解得,
,解得,
,
即抛物线方程为.
故选：A.
15．[2024届·福建泉州·模拟考试校考]中国灯笼又统称为灯彩,是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展,形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平,从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排,要求吊灯挂两端,同一类型的灯笼至多2盏相邻挂,则不同挂法种数为( )
A.216B.228C.384D.486
15．答案：A
解析：先挂2盏吊灯有种挂法,再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法,
最后将宫灯插空挂.
当4盏宫灯分成2,2两份插空时有种挂法;
当4盏宫灯分成1,1,2三份插空时有种挂法;
当4盏宫灯分成1,1,1,1四份插空时有1种挂法,
所以共有种不同的挂法.
故选：A.
16．已知函数,若恰有两个零点,（）,则有( )
A.B.
C.D.
16．答案：D
解析：,
当时,;当时,;作图如下：
因此,,,,
,由,则,,
综上,,
故选：D.
二、多项选择题
17．[2024春·高三·新疆伊犁哈萨克自治州·月考校考]已知一组个数据：，，，满足：，平均值为M，中位数为N，方差为，则( )
A.
B.
C.函数的最小值为
D.若，，，成等差数列，则
17．答案：BCD
解析：A：当时.一组数据1，2，4，17，则不在2，4之间，故A错误；
B：由中位数定义知：B正确；
C：，当时，取最小值为，C正确；
D：若，，，，成等差数列，则，故D正确.故选BCD.
18．[2024春·高一·江西宜春·开学考试校考]已知，则( )
A.B.C.D.
18．答案：ABD
解析：因，即，，则a，b分别为函数，与图象交点的横坐标，而函数，互为反函数，它们的图象关于直线对称，在同一坐标系中画出，，的图象，如图，由图知，点与关于直线对称，于是得，，，，，A正确；，则，B正确；，C错误；，D正确.故选：ABD.
19．[2023春·高一·广东梅州·期中联考]在中,已知,下列结论中正确的是( )
A. 这个三角形被唯一确定B.一定是钝角三角形
C.D.若,则的面积是
19．答案：BC
解析：依题意可设,则
对于A,当取不同的值时,三角形显然不同,故A错误;
对于B,因为,
所以,则三角形为钝角三角形,故B正确;
对于C,由正弦定理可知,,故C正确;
对于D,因为,即,即,
又因为,所以
则,故D错误.
故选:BC.
20．[2024春·高二·湖北·月考]数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念,公式符号,推理论证,思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.平面直角坐标系中,曲线就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,下面结论正确的是:( )
A.直线与曲线C一定有交点
B.曲线C围成的图形的周长是
C.曲线C围成的图形的面积是
D.曲线C上的任意两点间的距离不超过2
20．答案：AC
解析：已知曲线,
当,时,,
可化为,
其图象为以为圆心,为半径的圆在第一象限的图形,
又方程对应的图象关于x轴对称,关于y轴对称,关于原点对称,则曲线C的图象如图所示,
对于选项A,直线,
可化为,
令,
即,
即直线恒过定点,
即线与曲线C一定有交点,
即选项A正确;
对于选项B,曲线C围成的图形的周长是,
即选项B错误;
对于选项C,曲线
围成的图形的面积是,
即选项C正确;
对于选项D,曲线上的任意两点间的距离的最大值为,
即选项D错误.
故选:AC.
三、填空题
21．[2023春·高一·黑龙江鸡西·期中校考]已知复数z的虚部为,在复平面内它对应的向量的模为2,且相应的点在第一象限,则这个复数为____________.
21．答案：
解析：依题意,设复数,,
则,解得,而,则,
所以.
故答案为：.
22．[2024春·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试校考]在数学史上,平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线. 在平面直角坐标系中,动点到两个定点的距离之积等于1,化简得曲线.则的最大值为_________________.
22．答案：
解析：因为,所以,
,两边平方得,即,
解得,
故,
则,的最大值为.
故答案为：
23．[2023春·高二·辽宁·期中联考]已知数列的前n项和为，且满足，则______________.
23．答案：
解析：由数列的前n项和，且满足，
当时，，
两式相减，可得，即，
令，可得，解得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，
则，所以，
所以
.
故答案为：.
24．[2023秋·高三·海南·学业水平联考]已知函数（），写出一个同时满足下列性质①②的的值：___________.
①当时，；②在上单调递减.
24．答案：（负奇数均可）
解析：由①：当时，，则为奇数，由②：在上单调递减，则，所以可以取任意负奇数，不妨取.
故答案为：（负奇数均可）.
25．[2023春·高三·河北秦皇岛·月考校考]下列关于回归分析的说法正确的是___________（填上所有正确说法的序号）
①相关系数越小，两个变量的相关程度越弱；
②残差平方和越大的模型，拟合效果越好；
③用相关指数来刻画回归效果时，越小，说明模型的拟合效果越好；
④用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使取最小值时的a、b的值；
⑤在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高.
25．答案：④⑤
解析：对于①，对于相关系数，越接近于0，两个变量的相关程度越弱，①错；
对于②，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，②错；
对于③，用相关指数来刻画回归效果时，越大，说明模型的拟合效果越好，③错；
对于④，用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使取最小值时的a、b的值，④对；
对于⑤，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，⑤对.
故答案为：④⑤.
26．已知直线与圆交于A,B两点,则的最小值为__________．
26．答案：
解析：由,得,
由,解得,则直线l过定点,
又,所以该定点在圆内,
由圆可得圆心,半径,
当圆心与定点的连线垂直于时,取得最小值,
圆心与定点的距离为,
则的最小值为.
故答案为：.
27．[2023届·河北张家口·模拟考试校考]如图，在正方体中，，若F为棱上动点，E为线段上的点，且.若AE与平面所成角的正切值为，则三棱锥的外接球表面积为__________.
27．答案：
解析：由题，连接，即为AE与平面所成角，且，当时，得，设，，即，解得，所以，易知三棱锥的外接球即为分别以3，4，4为棱长的长方体的外接球，设其半径为R，则，所以三棱锥的外接球表面积.
四、解答题
28．[2023秋·高一·山西大同·期末]设函数．
(1)求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标;
(2)求在上的最值．
28．答案：(1),
(2)的最大值为,最小值为
解析：(1) QUOTE (1)∵f(x)=2 3cs2x-sin2x= 3(1+cs2x)-sin2x=2cs(2x+π6)+ 3 Errr! Digit expected.,
令,,
则,,
的图象的对称轴方程为,;
令,,
则,,
的图象的对称中心的坐标为,;
(2),
,
,
的最大值为,最小值为．
29．已知椭圆的离心率为,右焦点为F,圆,过F且垂直于x轴的直线被圆O所截得的弦长为.
（1）求C的标准方程;
（2）若直线与曲线C交于A,B两点,求面积的最大值.
29．答案：（1）
（2）
解析：（1）设椭圆C的半焦距为,过F且垂直于x轴的直线被圆O所截得的弦长为,
则.
又,,
解得
所以C的标准方程为.
（2）设,,
联立直线l与椭圆C的方程可得,
所以,,,得.
又原点到直线的距离,
所以,
所以.
令,则,
所以,当且仅当时,等号成立,
即当时,的面积取得最大值.
30．[2024届·江西·模拟考试联考]三棱柱中,,,侧面为矩形,,三棱锥的体积为.
（1）求侧棱的长;
（2）侧棱上是否存在点E,使得直线AE与平面所成角的正弦值为?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
30．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）过A在平面内作,垂足为D,
侧面为矩形,,又,
平面,平面ABC,平面平面,
平面,平面ABC,
三棱锥的体积为,,
,,
,,;
（2）存在E满足题意,.
理由如下:如图,以AB,AC,AD分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
设,,则,
,,.
设平面的一个法向量为,
则,即,
令,则,平面的一个法向量为,
设直线AE与平面所成角为,
则,
解得,存在满足题意,.