2024年天一名校高考数学经典模拟试卷九

这是一份2024年天一名校高考数学经典模拟试卷九，共25页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．[2024届·辽宁丹东·模拟考试]样本数据24,13,14,18,12,14,20,16的75%分位数为( )
A.17B.18C.19D.20
1．答案：C
解析：数据从小到大排序为12,13,14,14,16,18,20,24,则,
所以75%分位数为
2．[2024秋·高三·四川·开学考试]已知等差数列满足,,则( )
A.B.1C.0D.
2．答案：C
解析：由,可得:,
所以,
故选:C
3．[2024秋·高三·山东烟台·开学考试校考]已知椭圆的左､右顶点分别为，，上顶点为B，离心率为.若，则( )
A.5B.7C.21D.25
3．答案：B
解析：因为离心率，解得
因为，分别为C的左､右顶点，B为上顶点，
则，，.
所以，，
因为.，
所以，
将代入
解得，.
故选：B.
4．[2024届·四川广安·二模]如图，菱形的对角线与交于点O，是的中位线，与交于点G，已知是绕旋转过程中的一个图形﹐且平面.给出下列结论：
①平面；
②平面平面；
③"直线直线"始终不成立.
其中所有正确结论的序号为( )
A.①②③B.①②C.①③D.②③
4．答案：B
解析：菱形的对角线与交于点O，是的中位线，则，
而平面，平面，因此平面，①正确；
连接，由，得，，而，平面，
则平面，又平面，因此平面平面，②正确；
显然是二面角的平面角，由绕旋转过程中，从逐渐减小到（不包含和），当时，，，平面，则平面，而平面，于是，③错误，
所以所有正确结论的序号为①②.
故选：B.
5．在科学研究中，常用高德纳箭头来表示很大的数，对正整数a、b、c，把记作，并规定，.则的数量级为( )
参考数据：，.
A.B.C.D.
5．答案：C
解析：因为，则，
同理可得，
因为，则，则，所以，，
因为，即，
即，即的数量级为.
故选：C.
6．[2024春·高一·重庆九龙坡·期中校考]如图，设，是平面内相交成的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.若，，，，则的值为( )
A.B.C.D.
6．答案：B
解析：由平面向量数量积的定义可得，
由题意可得，，
，
，
所以，
，
设，
因为，所以，
，，
由
可得，
解得（舍去），，
由，
因为，所以
故选：B.
7．[2024届·四川广安·二模]已知函数，则下列说法中，正确的是( )
A．的最小值为-1
B．在区间上单调递增
C．的图象关于点对称
D．的图象可由的图象向右平移个单位得到
7．答案：D
解析：，
的最小值为，故A错误，
时，，所以函数在不单调，故B错误；
，故的图象关于对称，C错误，
将函数的图象向右平移个单位得，
故D正确．
故选：D．
8．[2024秋·高三·四川·开学考试]已知O为坐标原点,抛物线的焦点F到准线l的距离为1,过点F的直线与C交于M,N两点,过点M作C的切线与x,y轴分别交于P,Q两点,则( )
A.B.C.D.
8．答案：C
解析：依题意,抛物线,即,则,设,,
直线,联立得,则.
而直线,即,
令,则,即,令,则,故,
则,故.
故选：C.
9．[2023春·高二·河南南阳·月考校考]设数集，，且M，N都是集合的子集.如果把称为集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是( )
A.B.C.D.
9．答案：C
解析：，，，当，时，“长度”的最小值为.
10．[2024秋·高三·广东惠州·月考联考]已知函数是R上的单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
10．答案：B
解析：根据题意,当时,,可得在上递增,
要使得函数是R上的单调函数,
则满足,且,解可得,
所以实数a的取值范围为.
故选:B.
11．曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.B.C.D.
11．答案：B
解析：由，得，所以切线的斜率为，
因为，所以曲线在处的切线方程为，
即，
令，得，令，得，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
故选：B.
12．[2024秋·高二·吉林通化·开学考试校考]已知函数，若对任意的实数t，在区间上的值域均为，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
12．答案：D
解析：由$
函数值域为，又对任意的实数t，在区间上的值域均为，
则，
解得.
故选：D.
13．[2024届·山东济宁·一模]已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,则面积的最大值为( )
A.B.C.D.
13．答案：A
解析：因为,由正弦定理可得：,
即,,
又,,故;由,解得;
由余弦定理,结合,可得,
即,解得,当且仅当时取得等号;
故的面积,当且仅当时取得等号.
即的面积的最大值为.
故选：A.
14．[2024秋·高二·河南焦作·开学考试校考]已知直线l和平面，且，l的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为( )
A.B.2C.D.4
14．答案：C
解析：依题意，，即，
所以，
又，，所以，，所以，
当且仅当时，即，时，取到等号，
所以，故A，B，D错误.
故选:C.
15．[2023秋·高二·山东·月考校考]设,则“”是“直线与直线平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
15．答案：A
解析：因为直线与直线平行的充要条件是且,
解得或.
所以由充分必要条件的概念判断可知：“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件,
故选：A.
二、多项选择题
16．[2024秋·高三·四川·开学考试]已知函数,则( )
A.的最小正周期为
B.与有相同的最小值
C.直线为图象的一条对称轴
D.将的图象向左平移个单位长度后得到的图像
16．答案：ABD
解析：因为,
对于选项A:的最小正周期,故A正确;
对于选项B:与的最小值均为,故B正确;
对于选项C:因为,
可知直线不为图象的对称轴,故C错误;
对于选项D:将的图象向左平移个单位长度后,
得到,故D正确.
故选:ABD.
17．[2024届·辽宁丹东·模拟考试]己知复数的虚部与的实部均为2,则下列说法正确的是( )
A.是虚数
B.若,则
C.若,则与对应的点关于x轴对称
D.若是纯虚数,则
17．答案：ABD
解析：可设复数,
A选项:根据虚数定义可知A正确.
B选项:,所以,则,所以,,
所以,故B不正确.
C选项:若,所以,所以,,所以,对应的点分别为和,则关于x轴对称,故C正确.
D选项:因为,且是纯虚数,所以,
所以,,则,所以,故D正确.
18．[2024秋·高二·河北衡水·开学考试校考]设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是( )
A.B.点是函数的一个对称中心
C.在上为增函数D.方程仅有6个实数根
18．答案：BCD
解析：为奇函数，，即，
关于点对称，
为偶函数，，即，
关于对称，
由，得：，
，即是周期为8的周期函数，
对于A，，A错误；
对于B，，即，
关于点成中心对称，B正确；
对于CD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，
由图象可知：在上单调递增，C错误；
方程的解的个数，等价于与的交点个数，
，，
结合图象可知：与共有6个交点，
即有6个实数解，D正确.
故选：BCD.
19．已知函数,其中实数,,点,则下列结论正确的是( )
A.必有两个极值点
B.当时,点是曲线的对称中心
C.当时,过点可以作曲线的2条切线
D.当时,过点可以作曲线的3条切线
19．答案：ABD
解析：对于A,,
令,解得：或,
因为,所以令,得或,
令,得,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得极大值,在处取得极小值.
所以A正确;
对于B,当时,,
,
,所以点是曲线的对称中心,所以B正确;
对于C,当时,,令,
,设切点为,
所以在点处的切线方程为：,
又因为切线过点,所以,
化简得：,,
所以过点不可以作曲线的切线,所以C不正确;
对于D,,设切点为,
所以在C点处的切线方程为：,
又因为切线过点,所以,
解得：,令,,
所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数.
,
则在,上单调递增,在上单调递减,
,,如下图所示,
当时,过点可以作曲线的3条切线.
故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
20．[2024秋·高三·湖南衡阳·开学考试校考]已知多项式，则___________.
20．答案：74
解析：多项式
的值，即中展开式中x的系数.故.
故答案为:74.
21．[2024秋·高二·江西鹰潭·开学考试校考]已知圆锥的顶点S和底面圆周都在球O的球面上，且母线长为2，A，B为其底面圆周上的两点，若面积的最大值为，则球O的表面积为______.
21．答案：/
解析：如图所示，因为，
所以当为轴截面时，最大，
因为的面积最大值为，
则，所以，
即圆锥的轴截面为等边三角形.
解法一：因为圆锥的母线长为2，所以在中，，
设球O的半径为R，则，，，
在中，，
即，解得，
解法二：因为O为的外心，所以外接球直径，即，
所以外接球表面积.
故答案为：.
22．[2024秋·高二·四川内江·开学考试校考]如图,在棱长为2的正方体中,点M为线段上的动点,则取得最小值___________.当M为线段中点时,平面截正方体所得的截面面积为___________.
22．答案：;,.
解析：将侧面绕着旋转,使得侧面和侧面在同一平面内,如图,
易知,当D,M,三点共线时,取得最小值.
当M为线段中点时,记的中点为,的中点为,
由正方体性质可知,,,
所以为平行四边形,所以,
易知,,所以为平行四边形,所以,
所以四点N,,B,M共面,即平面截正方体所得的截面为四边形,
因为,所以四边形为菱形,
所以.
故答案为:;.
23．[2024秋·高三·甘肃兰州·开学考试校考]若圆与圆有且仅有一条公切线，则_________.
23．答案：36
解析：由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，
由可得，
即该圆以为圆心，1为半径，
圆，圆心为，
故有且，
解得.
故答案为：36.
24．[2024秋·高一·甘肃定西·开学考试校考]某市2022年和2023年5月1日至5日每日的最高气温（单位：℃）如表：则这五天的最高气温更稳定的是________年.（选填“2022”或“2023”）
24．答案：2023
解析：2022年的平均气温为，
则其方差为，
2023年的平均气温为，
则其方差为，
因为，所以这五天的最高气温更稳定的是2023年；
故答案为：2023
25．[2024春·高二·新疆石河子·月考校考]ChatGPT爆火以来,各种人工智能平台如雨后春笋般层出不穷.某人工智能服务商提供了A,B两种会员服务套餐,购买会员服务的既有个人用户也有公司用户.后台随机调取m名会员的基本信息,统计发现购买B套餐的用户数占总用户数的,购买B套餐的用户中公司用户数是个人用户数的倍,购买A套餐的用户中公司用户数是个人用户数的一半.根据独立性检验,有的把握认为购买的套餐类型与用户类型有关系,则m的最小值为____________.
附：.
25．答案：170
解析：由题意可得用户类型与购买的套餐类型列联表如下：
,
解得,又因为m必须是10的倍数,所以m的最小值为170.
故答案为：170.
四、解答题
26．[2024届·四川广安·二模]某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据：
（1）通过计算判断，有没有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？
（2）为收集学生对课外活动建议，在参加文化艺术类活动的学生中按性别用分层抽样的方法抽取了6名同学.若在这6名同学中随机抽取2名，求所抽取的2名同学中至少有1名女生的概率.
附表及公式：
其中，.
26．答案：（1）有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关
（2）
解析：（1）由表格数据可得：，
有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关.
（2）抽取的6名同学中，男生有人，女生有人，
记事件A为“抽取的2名同学中至少有1名女生”，
则，，
即抽取的2名同学中至少有1名女生的概率为.
27．[2024届·江苏苏州·模拟考试]如图,在多面体中,底面为平行四边形,,,矩形所在平面与底面垂直,M为的中点.
（1）求证：平面平面;
（2）若平面与平面夹角的余弦值为,求与平面所成角的正弦值.
27．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图,连接交于点G,连接.
因为底面为平行四边形,
所以G为的中点.
因为M为的中点,所以.
又因为平面,平面,
所以平面.
因为为矩形,所以,平面,平面,
所以平面.
因为,平面,平面,
所以平面平面.
（2）因为,,,所以,.
因为平面平面,平面平面,,
所以平面.
分别以,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
设,则,,,,,
所以,,,,
设平面的法向量为,则
即,令,则,
设平面的法向量为,则
即,令,则,
所以,解得,
所以,.
设与平面所成的角为,
则.
所以与平面所成的角的正弦值为.
28．[2024秋·高三·江西九江·开学考试]已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)记(1)中切线方程为,比较,的大小关系,并说明理由;
(3)若时,,求a的取值范围.
28．答案：(1)
(2),理由见解析
(3)
解析：(1)依题意,,
而,
故
故所求切线方程为,即.
(2)由(1)知,结论;,下面给出证明：
令,则,
当时,在上单调递减,
当时,在上单调递增,
故,即.
(3)依题意得,
则在上恒成立,
令,则,令,得,
故当时,,当时,,
故在区间上单调递减,在区间上单调递增,则,
当时,,此时;
当时,令,显然在区间上单调递增,
又,
故存在,使得,则,
而,不合题意,舍去.
综上所述,a的取值范围为.
29．[2024届·安徽·模拟考试]已知双曲线C的离心率为2,右焦点与抛物线的焦点重合,双曲线C的左、右顶点分别为,,点为第二象限内的动点,过点M作双曲线C左支的两条切线,分别与双曲线C的左支相切于两点P,Q,已知MA,MB的斜率之比为.
（1）求双曲线C的方程;
（2）直线PQ是否过定点?若过定点请求出定点坐标,若不过定点请说明理由.
（3）设和的面积分别为和,求的取值范围.
参考结论:点为双曲线上一点,则过点的双曲线的切线方程为.
29．答案：（1）
（2）过定点,定点坐标为
（3）
解析：（1）由已知双曲线C为焦点在轴上,中心为原点的双曲线,
设其方程为,
因为双曲线C的离心率为2,
所以,,
又双曲线C的右焦点与抛物线的焦点重合,抛物线的焦点坐标为,
所以,所以,
双曲线C的标准方程为;
（2）知,,设,
所以,,
因为MA,MB的斜率之比为,即,
解得,所以点在直线上,
设,,,
则切线MP方程为:,
则切线MQ方程为:,
因为点M既在直线MP上又在直线MQ上,
即:,,
所以直线PQ的方程为:,化简可得,
所以直线PQ过定点;
（3）由（2）得直线PQ过定点,所以,,,
所以,点到直线PQ的距离为点到直线PQ的距离的3倍,所以,,
因为,所以,,
若直线PQ的斜率为,则直线PQ与双曲线的左支的交点为与已知矛盾,
若直线PQ的斜率不存在,则直线PQ的方程为,
直线与双曲线的交点坐标为,
故切线MP的方程为,切线MQ的方程为,
此时点M的坐标为,与点M在第二象限矛盾,
设,
将代入双曲线中得
,由已知,
方程的判别式,
所以,,,
由已知,
所以,,
所以,,
化简可得,又,
所以或,
所以t的取值范围为
所以
令,则,
所以
函数在上单调递增,
所以,
所以,的取值范围为.
30．[2024届·四川广安·二模]已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C；
（2）若是的角平分线，，的面积为，求c的值.
30．答案：（1）
（2）
解析：（1）由及正弦定理得，，
所以，因为，
所以，又，所以.
（2）由，得，
又，
，所以，
由余弦定理得，
所以.
1日
2日
3日
4日
5日
2022年
26
27
30
33
31
2023年
22
25
24
24
22
0.050
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
A
B
总计
个人用户
公司用户
总计
m
文化艺术类
体育锻炼类
合计
男
女
合计