四川省德阳外国语学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试时间：120分钟；命题人：高二数学组
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用交集性质即可得.
【详解】由，，则.
故选：C.
2. 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.
【详解】，
则在复平面内对应的点位于第二象限，
故选：B.
3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（ ）
A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、16
【答案】B
【解析】
【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.
【详解】抽取的高级职称人数为，中级职称人数为，一般职员的人数为，
故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.
故选：B
4. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）
A 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
分析】借助百分位数定义计算即可得.
【详解】由，故这组数据的中位数为.
故选：C.
5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.
【详解】任取2个不同数可能有、、、、、、、、、，共10种情况，
其中和为偶数的情况有、、、，共4种情况，
所以取到的2个数之和为偶数的概率为.
故选：D
6. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的模长公式即可求解.
【详解】因为
，所以．
故选:C
7. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.
【详解】∵，且空间向量满足，
∴可设，
又，∴，得．
∴，故A正确.
故选：A.
8. 已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，运用线面角的向量求解方法可得答案．
【详解】如图，连接交于点，过点作于，
则平面，则，
设，
则，
则根据三角形面积得，
代入解得．
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，
设平面的法向量为，，，
则，即，令，得．
，
所以直线与平面所成的角的余弦值为，
故选：．

二、多选题
9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）
A. 若A和互斥，则A和一定相互独立
B. 若事件，则
C. 若A和相互独立，则A和一定不互斥
D. 不一定成立
【答案】BC
【解析】
【分析】对于AC：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B：根据事件间关系分析判断即可；对于D：举反例说明即可.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：若A和互斥，则，
显然，所以A和一定不相互独立，故A错误；
对于选项B：若事件，则，故B正确；
对于选项C：若A和相互独立，则，
所以A和一定不互斥，故C正确；
对于选项D：因为，
若A和互斥，则，则，故D错误；
故选：BC.
10. 如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.
【详解】对A：如图：

连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以，
平面，平面，所以平面.故A正确；
对B：如图：

因为是正方体棱的中点，所以，，，
所以，
同理：，.
所以5点共面，所以平面不成立.故B错误；
对C：如图：

因为是正方体棱的中点，所以，，所以.
平面，平面，所以平面.故C正确；
对D：如图：

因为为正方体棱的中点，连接交于，连接，
则为的中位线，所以，
平面，平面，所以平面.故D正确.
故选：ACD
11. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，沿对角线BD将△ABD折起到△PBD的位置，使得平面PBD⊥平面BCD，连接PC，下列说法正确的是（ ）
A. 平面PCD⊥平面PBD
B. 三棱锥外接球的表面积为
C. PD与平面PBC所成角的正弦值为
D. 若点M在线段PD上（包含端点），则△BCM面积的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验．
【详解】中，，，，
所以，故，所以，
因为平面平面,且平面平面，又，平面
所以平面，平面,所以平面平面，故A正确；
取的中点为,中点为,过作,由平面平面,且平面平面，又,平面,故平面,因此平面,由于为直角三角形，且为斜边中点，所以,又,所以,因此,因此为三棱锥外接球的球心，且半径为,故球的表面积为，故B错误，
以为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，1，，，0，，
因为，0，，，1，，,
设平面的法向量为，
所以，取，则
所以，故PD与平面PBC所成角的正弦值为，故C正确，
因为在线段上，设，0，，则，0，，
所以点到的距离，
当时，取得最小值，此时面积取得最小值，D正确．
故选：ACD．
第Ⅱ卷（选择题）
三、填空题
12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．
【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，
现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率．
故答案为：．
13. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A到直线的距离是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量公式可得.
【详解】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
则，
所以，
记与同向的单位向量为，则，
所以，点A到直线BE的距离.
故答案为：
14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），若平面，则点的轨迹的长度为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建立空间直角坐标系，利用垂直于平面，的法向量确定点的位置，利用向量即可得解.
【详解】由题知，两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
记的中点为，连接，
因为为正方形，为中点，所以，且，
所以为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
记点的轨迹与交于点，由题知平面，
因为是平面内的相交直线，所以平面平面，
所以即为点的轨迹，
因为，
所以，
设，
则，
设为平面的法向量，
则，令得，
因为，所以，
解得，则，又
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点的轨迹与的交点位置，然后利用向量运算求解即可.
四、解答题
15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；
（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求.
【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；
（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于和的人数，按照古典概型计算即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知测试成绩的平均数
.
测试成绩落在区间的频率为，
落在区间的频率为，
所以设第57百分位数为a，有，
解得；
【小问2详解】
由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，
所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间中2人，用，表示，
从这5人中抽取2人的所有可能情况有：
，，，，，，，，，，共10种，
其中“分别落在区间和”有6种，
所以.
16. 在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．

（1）证明：B1D⊥平面ABD；
（2）证明：平面EGF∥平面ABD.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.
（2）利用向量法证得平面平面.
【小问1详解】
以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，
所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，
·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.
【小问2详解】
由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，
·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.
又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF. 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.
17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．
（1）甲乙两人同时命中目标的概率；
（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．
【答案】（1）0.72
（2）0.98
【解析】
【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.
（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.
【小问1详解】
因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，
设事件A表示甲命中，事件B表示乙命中，
则,
所以甲、乙两人同时命中目标的概率,
【小问2详解】
甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，
甲、乙都没击中目标的概率,
所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：
18. 如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点在底面圆周上，为垂足.
（1）求证：.
（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，
①求平面与平面夹角的余弦值；
②求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直得到平面，进而证明即可.
（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.
②利用点到平面的距离公式求解即可.
【小问1详解】
由题意可知底面平面，故，
又平面，
故平面，由平面，得，
又平面，
故平面，由平面，可得.
【小问2详解】
①由题意，以为原点，
分别以AB，AD所在直线为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
并设AD的长度为2，则，
因为平面，所以就是直线DE与平面所成的角，
所以，所以，
所以
由以上可得，
设平面的法向量为，
则即
取，得.
又是平面的一个法向量，设平面与平面夹角的大小为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
②因为，
所以点到平面的距离.
19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.

（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值；
（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE，⊥BE，且，由勾股定理逆定理求出AF⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P的坐标，
（3）根据（2）可得，利用空间向量求线面夹角
小问1详解】
取BE的中点F，连接AF，，

因为四边形ABCE是边长为4的菱形，并且，
所以均为等边三角形，
故⊥BE，⊥BE，且，
因为，所以，
由勾股定理逆定理得：AF⊥，
又因为，平面ABE，
所以⊥平面ABED，
因为平面，
所以平面平面ABED；
【小问2详解】
以F为坐标原点，FA所在直线为x轴，FB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，
设，，，
即，解得：，
故，
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，故，
其中
则，
解得：或（舍去），
所以否存在点，使得到平面的距离为，此时.
【小问3详解】
由（2）可得：，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.