江苏省徐州市丰县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（含答案解析）

这是一份江苏省徐州市丰县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．用配方法解方程x2-2x-8=0，下列配方正确的是（ ）
A．（x-1）2=8B．（x-1）2=9C．（x-1）2=82D．（x-1）2=12
2．已知⊙O的半径为2，点P在⊙O外，则OP的长不可能是（ ）
A．1B．2.5C．3.5D．4
3．关于x的一元二次方程x2+mx=3x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0B．±3C．3D．-3
4．给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以2cm长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．②④B．①③C．①③④D．①②③④
5．关于二次函数y=2(x-1)2+3，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线x=-1B．图象与x轴有两个交点
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大D．当x=1时，y取得最大值，且最大值为3
6．一种微波炉每台成本价原来是500元，经过两次技术改进后，成本降为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．500（1-x）2=256 B．256（1+x）2=500 C．256（1+x2）=500 D．500（1-2x）=400
7．以正六边形的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．二次函数的图像如图所示，若关于x的一元二次方程（t为实数）的解满足，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
9．抛物线与y轴的交点坐标是．
10．如图，⊙O的半径是5，∠AOB＝60°，则AB＝_____．
11．若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值是__．
12．已知一元二次方程的两个根为、，则的值为__．
13．如图，在⊙中，直径与弦交于点．，连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则__°．
14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为9cm，圆锥的底面圆的半径r为3cm，则扇形的圆心角为__°．
15．二次函数的部分对应值列表如下：
则一元二次方程的解为__．
16．已知二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，则k的取值范围是__．
17．如图，已知抛物线经过点A、B，且轴，，则__．
18．如图，点A是半圆上的三等分点，B是弧的中点，P是直径上一动点．的半径为2，写出的最小值__．
三、解答题（本大题共8小题，共76分）
19．解方程：
（1）；（2）．
20．下表是二次函数的部分取值情况：
根据表中信息，回答下列问题：
（1）二次函数图象的顶点坐标是 ， ；
（2）在图中的平面直角坐标系内描点画出该二次函数的图象，观察图象，写出时x的取值范围 ；
（3）该二次函数的图象经过怎样平移可以得到的图象？
（4）若抛物线上两点的横坐标满足，则 0(填“＞”“＜”或“＝”) ．
21．（1）教材重现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从图2，图3中任选一种情况证明；
（2）知识应用：如图4，点C在上，连接、，点P为外一点，平分，交于点D，连接，若，，求证：为的切线．
22．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．商家想尽快销售完该款商品，采取降价措施增加销量．
（1）若日利润保持不变，每件售价应定为多少元？
（2）每件商品降价多少元时日利润最大？
23．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部4米．如图1，桥孔与水面交于A、B两点，以点A为坐标原点，所在水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）请求出此抛物线对应的二次函数表达式；
（2）因降暴雨水位上升米，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为，宽为（横截面如图2），暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．
24．如图，是的直径，点A和点E是上位于的两侧的点，，，垂足为D，、的延长线交于点G，的延长线交于点F．
（1）判断的形状并说明理由；
（2）若，，求的直径的长．
25．【问题提出】
学习过扇形面积的计算方法后，小明、小丽和小宇开展以下学习讨论：
小明：三角形的中线可以把三角形的面积二等分，那么能不能画一条线把扇形的面积二等分呢？
小丽：可以，这是一条过圆心的直线……
小明：可能是一条弧线吗？
小宇：根据扇形面积计算公式，扇形的圆心角和半径决定扇形面积的大小，把问题转化成，在原来扇形内部作一个小扇形，它们的圆心角相等且面积比是，推算出此时两个扇形的半径比为a．
小丽：我们以前遇到过一类特殊三角形两边的比值恰好也是a！
……
【尝试解决】
已知扇形，
（1）请你用圆规和无刻度的直尺在图1中，作出符合小丽所说方案的直线；
（2）①小宇谈话中提到的a的值为 ；
②参考三位同学的谈话，请你在图2中用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（提醒：以上所有作图均不写作法，需保留作图痕迹）
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B．
（1） ， ；
（2）若点M是第三象限内抛物线上的一动点，过点M作垂直于x轴，垂足为点C，交直线于点D，连接，当时：
①求点M的坐标；
②直线上是否存在点E，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（不与点A、B重合），使得O、A、B、N四点共圆，如果存在求出点N的坐标，如果不存在，请说明理由．
x
…
0
1
3
5
…
y
…
6
6
…
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
c
4
3
n
…
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．B
【解析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．先移项，再配方，最后得出选项即可．
【详解】解：x2-2x-8=0，移项，得x2-2x=8，配方得：x2-2x+1=8+1，（x-1）2=9．故选：B．
2．A
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点与圆心的距离d大于半径r时，点在圆外；当点与圆心的距离d等于半径r时，点在圆上；当点与圆心的距离d小于半径r时，点在圆内，由此可解．
【详解】解：A，时，，点P在内，与已知矛盾，符合题意；
B，时，，点P在外；
C，时，，点P在外；
D，时，，点P在外；
故选：A．
3．C
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程定义，解题关键是理解一元二次方程的一般形式，将一元二次方程化为一般式，根据不含一次项可得一次项系数为0，求解即可．
【详解】解：方程化为一般形式为：
由题意可得：
解得
故选：C
4．B
【解析】
【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．
【详解】解：①半径相等的圆是等圆，故①正确；
②同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故②不正确；
③以长为半径的圆有无数个，没有指定圆心，故③正确；
④平面上不共线的三点能确定一个圆，故④不正确；
故选：B．
5．C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次项系数大于0，以及解析式为顶点式可得二次函数开口向上，对称轴为直线，由此可得当时，y的值随x值的增大而增大且当时，y取得最小值，且最小值为3，则二次函数的函数值恒大于等于3，即二次函数与x轴没有交点，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，故A说法错误，不符合题意；
∴当时，y的值随x值的增大而减小，当时，y的值随x值的增大而增大，故C说法正确，符合题意；
∴当时，y取得最小值，且最小值为3，故D说法错误，不符合题意；
∴，
∴二次函数与x轴没有交点，故B说法错误，不符合题意；
故选C．
6．A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
由题意知，第一次降价后成本为，第二次降价后成本为，然后根据题意列方程即可．
【详解】解：由题意知，第一次降价后成本为，第二次降价后成本为，
依题意得，，
故选：A．
7．B
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质应用，熟练掌握多边形内角和及外角和的计算方法是解题的关键，连接，根据正六边形的外角为，可得，，再根据，可得，进而得到正六边形至少旋转的度数．
【详解】解：连接，
∵正六边形的每个外角，
∴正六边形的每个内角，
∴，，
∵
∴
∴
∴正六边形至少旋转的度数为
故选：B．
8．D
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，学会利用图像法解决问题，画出图象是解决问题的关键．如图，关于x的一元二次方的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，然后利用图像法即可解决问题．
【详解】解：如图：关于x的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为，且最大值为4，
当时，
由图像可知关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，
∴解满足，则t的取值范围是．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
9．
【解析】
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，把代入抛物线中，求y的值，即可求出答案．知道抛物线与y轴交点的横坐标等于0是解此题的关键．
【详解】解：把代入抛物线，得：，
∴抛物线与y轴的交点坐标是，
故答案为．
10．5
【解析】
【分析】由OA=OB，得△OAB为等边三角形进行解答．
【详解】解：∵OA=OB=5，∠AOB=60°，
∴△OAB等边三角形，
故AB=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了圆的认识；等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．2
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．根据一元二次方程解的定义把代入到得出，然后进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
12．##
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式化简，然后整体代入即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟悉圆的切线垂直于过切点的半径和弧之间的关系．由得出，根据，，即可求出的度数，从而可求出，由是⊙的切线可得，在四边形中，利用四边形的内角和即可求解．
【详解】，
，
是的外角，
，
，
，
是⊙的切线，
，
四边形的内角和为，
，
故答案为：．
14．120
【解析】
【分析】本题考查圆锥侧面展开图的圆心角，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长，列出等式，求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：120．
15．0或2
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．先求出对称轴，由表格中的数据可知：当时，，利用二次函数的对称性即可即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
【详解】解：由抛物线的对称性质知，对称轴是直线．
根据表格可知：当时，，
根据二次函数的对称性可知：当时，，
所以一元二次方程的解为或．
故答案为：0或2．
16．且
【解析】
【分析】本题考查二次函数与轴的交点，根据，且解出的范围即可求出答案．解题的关键是正确列出进行计算．
【详解】解：由题意可知：且，
解得：且，
故答案为：且．
17．##0.25
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
如图，记与轴的交点为，图象对称轴为轴，则，，设，则，解得，，或（舍去），则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，记与轴的交点为，
∵，
∴对称轴轴，
∵轴，，
∴，
∴，
设，
将代入得，，
解得，，或（舍去），
∴，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
18．
【解析】
【分析】作点A关于的对称点，由，得到当点，，三点共线时，取得最小值，即的长度，连接交圆于P，根据题意得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】作点A关于的对称点，
∴
∴
∴当点，，三点共线时，取得最小值，即的长度，
∴连接交圆于P，则点P即是所求作的点，
∵A是半圆上一个三等分点，
∴，
又∵点B是弧的中点，
∴
∴
在中，由勾股定理得：
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，以及圆周角定理，解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称的知识，把两条线段的和转化为一条线段，根据已知条件发现等腰直角三角形．
三、解答题（本大题共8小题，共76分）
19．（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）整理后，利用直接开平方法求解即可；
（2）整理后，利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：整理得，
开方得，
或，
解得；
【小问2详解】
解：原方程可化为，．
，
，，
解得．
20．（1），3
（2），图见解析
（3）抛物线向左平移1个单位，向下平移4个单位即可得到的图象
（4）
【解析】
【分析】（1）将代入得，解得，，则，然后作答即可；
（2）描点作图，由图象可知时x的取值范围为，
（3）根据左加右减、上加下减进行作答即可；
（4）由题意知，当时，随的增大而减小，由，可得，然后求解判断即可．
【小问1详解】
解：将代入得，，
解得，，
∴，
∴顶点坐标为，
故答案为：，3；
【小问2详解】
解：作图如下：
∴时x的取值范围为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵
∴抛物线向左平移1个单位，向下平移4个单位即可得到的图象；
【小问4详解】
解：由题意知，当时，随的增大而减小，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，根据交点确定不等式的解集，画二次函数图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①连接，并延长交于点，根据等边对等角得，，再根据三角形外角的性质即可求证结论；
②连接，并延长交于点D，根据等边对等角得，，再根据三角形外角的性质即可求证结论．
（2）根据圆周角定理得，再根据等边三角形的判定及性质得，，再根据等角对等边及切线的判定定理即可求证结论．
【详解】（1）
①如图2，连接，并延长交于点，
图2
，
，，
，，
，
．
②如图3，连接，并延长交于点D，
，
，，
，，
，
．
（2），
，
平分，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
为的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质、三角形外角的性质，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
22．（1）40元（2）10元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，解题的关键是：
（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用该种小商品的日销售利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）根据（1）列出的方程求解最大值即可．
【小问1详解】
解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：整理得：，
解得：（不合题意，舍去），．
每件售价应定为（元）．
答：每件售价应定为40元．
【小问2详解】
设日利润元，每件降价元．
当时，最大，此时（元）
答：每件商品降价10元时日利润最大．
23．（1）（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的应用、二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征结合水高求出可通过船的最高高度（宽度固定）．
（1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）代入求出x值，再求出可通过船的最大宽度，将其与比较后即可得出结论．
【小问1详解】
解：由题意可知，该抛物线顶点坐标为
设抛物线函数关系式为，
把代入，得，
，
∴这个二次函数的表达式为；
【小问2详解】
水位上升后船顶部距原来水面高：
把代入得，
，
，
∴此时对应的桥孔宽度为．
，
∴暴雨后这艘船不能从这座拱桥下通过．
24．（1）是等腰三角形，理由见解析（2）
【解析】
【分析】（1）圆周角定理，得到，同角的余角相等，得到，等弧所对的圆周角相等，得到，进而得到，即可得出结论；
（2）等角的余角相等，得到，进而得到，进而求出的长，勾股定理，求出的长，连接，设半径，利用勾股定理求出的值即可．
【小问1详解】
解：是等腰三角形．
为直径，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【小问2详解】
中，，
又
，
，
，
，
，
，
，
在Rt中，．
连接，设半径，则，
在Rt中，，
．
的直径．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，以及等弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
25．（1）见解析（2）①；②见解析
【解析】
【分析】本题考查扇形的面积公式，尺规作图--作角平分线，作垂线．
（1）根据扇形的面积公式，得到半径相同的两个扇形的面积比等于圆心角的度数比，即可得到的角平分线，平分扇形的面积，作的角平分线，即可；
（2）①根据扇形的面积公式，得到圆心角相同的两个扇形的面积比等于半径比的平方，进而得到，即可得出结果；
②如图，先作的线段垂直平分线交于点N，再以N为圆心为半径作圆，与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
①∵圆心角相同的两个扇形的面积比等于半径比的平方，
∴，
∴（负值已舍掉）；
故答案为：；
②如图所示，即为所求；
由作图可知：，
∴，
∴平分扇形的面积．
26．（1）1，
（2）①；②存在，点的坐标为或或或
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先确定A、B的坐标，然后再运用待定系数法即可解答；
（2）①设，则，进而得到；再根据可得，然后据此列方程即可解答；②设，然后根据两点间距离公式表示出、、，然后分、、三种情况列方程求解即可；
（3）设抛物线上存在点使得四点共圆，中点为．过点作轴，轴，、交于点．然后求出，再说明，进而得到，最后应用勾股定理即可解答．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴,
∵二次函数的图像经过点A、B，
∴，解得：．
故答案为：1，．
【小问2详解】
解：由（1）可知，二次函数表达式为，
①设，则
由题意可知，
则，
．
，
，解得（不符合题意，舍去），
当时，
∴；
②设，则，，,
当时，,
∴，即，解得：或，
∴点E的坐标为或；
当时，,
∴，即，解得：，
∴点E的坐标为；
当时，,
∴，即，解得：，
∴点E的坐标为；
综上，点E的坐标为或或或．
【小问3详解】
解：设抛物线上存在点使得四点共圆，中点为．
过点作轴，过点作轴，、交于点．
点，
，
是直径，点是圆心．
由于中，
，化简得，解得值为0或，
的坐标为或，此时点与点A，B重合，不符合题意，
故假设不成立，抛物线上不存在点使得四点共圆．
【点睛】本题主要考查了待定系数法、二次函数与几何的综合、勾股定理、圆周角定理、四点共圆等知识点，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解答本题的关键．