邯郸市2025+届高三年级上学期10月第一次调研监测+数学试题

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1.已知a=(x,−1)，b=(2,1)，若(a−2b)//b，则x= ( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.若z+1z−1=2i，则z= ( )
A. 45−35iB. 35−45iC. 35+45iD. 45+35i
3.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S13S9=269，则a7a5= ( )
A. 3B. 2C. 43D. 23
4.已知正三棱台ABC−A′B′C′的体积为14 23，若AB=2，A′B′=4，则该正三棱台的高为( )
A. 2 63B. 14 615C. 14 627D. 4 33
5.已知sin(α−β)=13，tanα=3tanβ，则sin(α+β)= ( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
6.在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为( )
A. 32B. 24C. 18D. 12
7.已知函数f(x)=(x−1)2−sinxx2+1，g(x)=ax+1(a≠0)，若y=f(x)和y=g(x)图象存在3个交点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，则y1+y2+y3= ( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若PF1⋅PF2=0，且3|PD||PE|=S△PF1F2，则双曲线C的离心率为( )
A. 2 33B. 2C. 3D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某公司计划组织秋游活动，定制了一套文化衫，女职工需要不同尺码文化衫的频数如图．

根据图中数据，下列结论正确的是( )
A. 文化衫尺码的众数为187B. 文化衫尺码的平均数为165
C. 文化衫尺码的方差为28D. 文化衫尺码的中位数为165
10.已知函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y)(x,y∈R)，则( )
A. f(0)=12B. f(x)为奇函数C. f(x)为周期函数D. f(2)=−14
11.已知实数a，b是方程x2−(k−3)x+k=0的两个根，且a>1，b>1，则( )
A. ab的最小值为9B. a2+b2的最小值为18
C. 3a−1+1b−1的最小值为 3D. a+4b的最小值为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={x|18≤2x0)和曲线y=lnx−ax+1+a的公切线，则a= ．
14.已知有穷递增数列{an}的各项均为正整数(n≥3)，所有项的和为S，所有项的积为T，若T=4S，则该数列可能为 .(填写一个数列即可)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b+a)(sin∠ABC−sin∠BAC)=c(sin∠ABC−sinC)，BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点P．
(1)求∠BAC;
(2)若AD= 7，BE=2，cs∠DPE= 714，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
如图，已知正四面体F−ABC的底面与正四棱锥A−BCDE的一个侧面重合．
(1)求证：AF⊥DE;
(2)求二面角F−BC−D的余弦值．
17.(本小题15分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2的面积为2 63．
(1)求椭圆C的方程;(2)过点P的直线l交椭圆C于另一点A，若S△PAF2=S△PF1F2，求l的方程．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2lnx+1x，g(x)=ax．
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈[1,+∞)时，g(x)≥f(x)，求实数a的取值范围;
(3)证明：1 2+1 2×3+1 3×4+⋯+1 2023×2024>ln2024．
19.(本小题17分)
设(X,Y)是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为(xi,yj)，其中i=1，2，3，⋯，n，j=1，2，3，⋯，m，则称P(X=xi,Y=yj)=pij(pij≥0)为二维随机变量(X,Y)的联合分布列.定义：P(X=xi)=pi·=j=1mpij，称(p1·,p2·,⋯)为(X,Y)关于X的边际分布列，P(Y=yj)=p·j=i=1npij，称(p·1,p·2,⋯)为(X,Y)关于Y的边际分布列;对于固定的j，称p(i|j)=P(X=xi|Y=yj)=pijp·j(i=1,2,3,⋯,n)为给定Y=yj条件下的离散型随机变量X的条件分布列，则二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列与边际分布列如表：
(1)求证：对于∀j，i=1np(i|j)=1;
(2)若(X,Y)的联合分布列与边际分布列如表：
求给定X=2条件下Y的条件分布列;
(3)把三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中.记放入1号盒子的球的个数为X，放入2号盒子的球的个数为Y，则(X,Y)是一个二维离散型随机变量.列出(X,Y)的联合分布列与边际分布列．(X,Y)
y1
y2
⋯
ym
Pi·
x1
p11
p12
⋯
p1m
p1·
x2
p21
p22
⋯
p2m
p2·
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
xn
pn1
pn2
⋯
pnm
pn·
P·j
p·1
p·2
⋯
p·m
1
(X,Y)
1
2
3
Pi·
1
0.3
0.1
0.1
0.5
2
0.05
0.1
0.15
0.3
3
0.05
0.1
0.05
0.2
P·j
0.4
0.3
0.3
1