河北省邯郸市2024届高三上学期第一次调研监测数学试卷(含答案)

这是一份河北省邯郸市2024届高三上学期第一次调研监测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知命题p：，，则为( )
A.，B.，
C.，D.，
3．已知i是虚数单位，若复数z满足：，则( )
A.0B.2C.2iD.
4．设函数在处的切线与直线平行，则( )
A.B.2C.D.1
5．设，是双曲线的左､右焦点，过的直线l交双曲线的左支于A，B两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为( )
A.11B.12C.14D.16
6．有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm､底面边长为2cm的正六棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为( )
A.B.C.D.
7．甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以，表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以B表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则( )
A.B.C.D.
8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则( )
A.B.C.为奇函数D.
二、多项选择题
9．设，是两个非零向量，且，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.，的夹角为钝角
D.若实数使得成立，则为负数
10．记为数列的前n项和，若数列是首项为1，公差为2的等差数列，则( )
A.数列为递减数列B.
C.D.数列是等差数列
11．已知函数的图象过点，最小正周期为，则( )
A.在上单调递减
B.的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数
C.函数在上有且仅有4个零点
D.函数在区间上有最小值无最大值
12．已知棱长为2的正方体，R，E，F分别是，，的中点，连接，，，记R，E，F所在的平面为，则( )
A.a截正方体所得的截面为五边形B.
C.点D到平面的距离为D.截正方体所得的截面面积为
三、填空题
13．的展开式的常数项是________.
14．写出函数的一个对称中心：________.
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线.若等腰直角三角形三个顶点均在W上且直角顶点B与抛物线顶点重合，则的面积为________.
16．过圆上一点P作圆的两切线，切点分别为Q，R，设两切线的夹角为，当取最小值时，________.
四、解答题
17．已知等比数列的前n项和为，，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，的前n项和为，求使成立的n的最大值.
18．暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；
(2)在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望.
19．在中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
20．如图，几何体由四棱锥和三棱台组合而成，四边形为梯形，且，，，平面，，平面与平面的夹角为.
(1)求证：平面平面；
(2)求三棱台的体积.
21．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：不等式有实数解.
22．已知椭圆的焦点分别为和，离心率为.不过且与x轴垂直的直线交椭圆于A，M两个不同的点，直线与椭圆的另一交点为点B.
(1)求椭圆E的方程；
(2)①若直线交x轴于点N，求以为直径的圆的方程；
②若过与垂直的直线交椭圆E于D，G两个不同的点，当取最小值时，求直线的方程.
参考答案
1．答案：C
解析：，，
则.
故选：C.
2．答案：B
解析：因为命题,，所以,.
故选：B.
3．答案：A
解析：由复数，可得，则，
所以.
故选：A.
4．答案：D
解析：函数的定义域为，
由已知，故，
函数的导函数，
所以，
因为函数在处的切线与直线平行，
所以，所以，经验证，此时满足题意.
故选：D.
5．答案：C
解析：根据双曲线的标准方程，
得,由直线为双曲线的一条渐近线，
得,解得,得.
由双曲线的定义可得①，
②，
①②可得,
因为过双曲线的左焦点的直线l交双曲线的左支于A,B两点,
所以,得.
故选：C.
6．答案：B
解析：由题意，钻头的前段正六棱锥的体积，
因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，
作出以下图形，所以圆柱的底面圆的半径，
所以圆柱的体积，
所以此钻头的体积为.
故选：B.
7．答案：A
解析：，
，，
.
故选：A.
8．答案：D
解析：因为为奇函数，
所以，即，
则，所以，
因为为偶函数，
所以，即，
则，故A错误；
由当时，，得，
则，故B错误；
，则，
所以，
所以，故D正确；
对于C，由，得，
若为奇函数，则也为奇函数，
令，则为奇函数，则，
又，矛盾，
所以不是奇函数，即不是奇函数，故C错误.
故选：D.
9．答案：AD
解析：对A，当,不共线时，根据向量减法的三角形法则知，
当,反向共线时，，
故，A正确；
对B，若，则以,为邻边的平行四边形为矩形，
且和是这个矩形的两条对角线长，则，故B错误；
对C，若,的夹角范围为，根据向量加法的平行四边形法则知：，故C错误；
对D，若存在实数，使得成立，则,共线，由于，
则,反向共线，所以为负数，故D正确.
故选：AD.
10．答案：BC
解析：由题意，所以，故B正确；
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，
所以，故C正确；
因为，所以数列为递增数列，故A错误；
，
因为，，
所以数列不是等差数列，故D错误.
故选：BC.
11．答案：BCD
解析：依题意，，即，而，
则,.
由最小正周期为，得，得，则，
对于A，由，得，则在上不单调，A不正确；
对于B，的图象向右平移个单位长度后得函数，是偶函数，B正确；
对于C，当时，，则，
则，可得在上有且仅有4个零点，C正确；
对于D，当时，，
当，解得时，取得最小值，无最大值，D正确.
故选：BCD.
12．答案：BCD
解析：
如上左图所示取、、中点分别为H、G、J，连接、、、、、，
易知，，，，，，
即六边形为正六边形，平面即过R，E，F三点的平面，故A错误；
由正方体的棱长为2，可得截面的面积为，故D正确；
如上右图所示，连接、、、，
由正方体的性质可得，面，面，所以
又，面，所以面，
面，所以，
而，所以，同理可得，
，，故，即B正确；
分别连接D，与截面的六个顶点可得两个正六棱锥，设点D到平面的距离为h，
易知，故C正确.
故选：BCD.
13．答案：70
解析：的展开式的通项公式为，
当时，,，所以的展开式的常数项为.
故答案：70.
14．答案：
解析：
，
令或，
则或，
令，则，所以函数的一个对称中心是.
故答案：(答案不唯一，横坐标符合()即可)
15．答案：1
解析：由题意可作图如下：
设,,，其中，
则直线与直线的斜率分别为，，
由，则，由，则，
将，代入，可得，
将，代入，可得，
将代入，可得，解得，
则,,，，.
故答案为：1.
16．答案：/
解析：由题意可得,,,，
圆O的圆心，半径，
圆C的圆心，半径，
则，
当取最小值时，则取得最小值，
，
此时，
又为锐角，所以，
所以，
即当取最小值时，.
故答案为：.
17．答案：(1)；
(2)5
解析：（1）设等比数列的公比为q，依题意，，则.
,，则，
得，所以，
所以，所以，所以.
（2）由（1）得，
得，
得，
两式相减得
，
所以.
由，得，
当时，左边，
当时，，
所以n的最大值为5.
18．答案：(1)79.3；
(2)分布列见解析，
解析：（1）因为，，
所以中位数在区间内，设为x，
则，解得，
即估计这100名居民成绩的中位数为79.3；
（2）成绩在有人，
成绩在有人，
成绩在有人，
则可取0,1,2,3，
，，
，，
所以分布列为
所以.
19．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为，由正弦定理，
得，
因为，，所以，
所以，得，
即.
（2）由（1）知，，，
所以，可得，，与联立，
有，解得，
得，
由余弦定理得，，所以，
得，当且仅当时等号成立，
即，
得，得最大值为.
20．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）因为平面，平面，所以，
因为，，所以，
由，平面，得平面，
由平面，得平面平面.
（2）因为平面，平面，所以，，
又因为，所以，，两两互相垂直，
所以以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图.
设，由题可知，，，，，，，，
易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，
，，故得，即，
不妨令，则，，解得，
所以三棱台的体积为.
21．答案：(1)答案见解析；
(2)证明见解析
解析：（1），
当时，，则函数在上单调递减，
当时，时，，时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）要证不等式有实数解，
只需证明即可，
由（1）得，
则只要证明即可，
即证，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以当时，不等式有实数解.
22．答案：(1)；
(2)①；②或.
解析：（1）由题意可知，，，得，由，得，
所以椭圆E的方程为.
（2）①显然直线AB的斜率必存在，且，则设直线的方程为，，，
则，联立有，可得，
所以，，直线的方程为令可得N点的横坐标为
.
所以N为一个定点，其坐标为，则圆心坐标为，半径为2，
则以为直径的圆的方程为.
②根据①可进一步求得:
，
因为,所以,则,
由
，
当且仅当时取等号，即时，取得最小值，此时直线的方程为或.
0
1
2
3
P