初中数学人教版（2024）七年级下册8.3 实际问题与二元一次方程组优秀精练

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1．审：分析好问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系，从中找出能够表示实际问题全部含义的相等关系．要注意题中的相等关系有些是明显的，有些是不明显的，需要结合生活实际来发现；
2．设：设未知数，一般求什么，就设什么为，若有几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母表示出来．有时直接设不容易设得话，可采用间接设；
3．找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；
4．列：根据这个相等关系列出方程；
5．解：解所列出的方程，求出未知数的值；
6．验：检验所求得的解是否符合题意；
7．答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）．
处理问题的过程可以进一步概括为：

考点精讲
考点1：年龄问题
典例：（2022·全国·八年级专题练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得
解得
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
巩固练习
1．（2021·浙江杭州·七年级期末）甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（ ）
A．甲比乙大6岁B．乙比甲大6岁
C．甲比乙大4岁D．乙比甲大4岁
【答案】C
【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决．
【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁．
根据题意，得，
解得，
∴
故选：C
【点睛】本题考查了列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键．
2．（2020·云南昆明·模拟预测）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，分别表示出十年前和十年后他们的年龄，根据题意列方程组即可．
【详解】解：设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁．
由题意得， ，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
3．（2022·全国·八年级专题练习）一名学生问老师：“你今年多大了？”老师风趣地说“我像你这样大的时候，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了”，则今年老师的岁数是 _____．
【答案】26
【分析】设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁，根据学生今年年龄减年龄差等于2，老师今年年龄加年龄差等于38，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁，
依题意得：，
解得：．
故答案为：26．
【点睛】本题考查二元一次方程组，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出方程组是解题的关键．
4．（2022·陕西·陇县教学研究室七年级期末）六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大_______岁．
【答案】12
【分析】设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意列出二元一次方程组并求解即可计算甲比乙大多少岁．
【详解】解：设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意，
可得，解得，
∴甲比乙大24-12=12岁．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意正确列出二元一次方程组．
5．（2021·山东·枣庄市第十五中学八年级阶段练习）弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”则哥哥的年龄是___________岁．
【答案】15
【分析】设此时弟弟岁，哥哥岁，根据题意，因为弟弟与哥哥的年龄差等于哥哥与20岁的年龄差，哥哥与弟弟的年龄差等于弟弟与5岁的年龄差，列出二元一次方程组求解即可．
【详解】设此时弟弟岁，哥哥岁，
由题意：，
解得：，
∴此时哥哥的年龄是15岁，
故答案为：15．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，准确建立二元一次方程组并求解是解题关键．
6．（2022·全国·八年级专题练习）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁
(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．
解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
（2）（年）
（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
考点2：和差倍半问题
典例： （2022·贵州铜仁·七年级期中）某文具专卖店出售甲、乙两种自动铅笔，已知该店进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元．
(1)请分别求出甲、乙两种自动铅笔的进价；
(2)已知专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔提价20%出售，小静在该专卖店购买甲种自动铅笔m（m≥0）支、乙种自动铅笔n（n≥0）支，共花费24元，小静有几种购买方案？
【答案】(1)甲、乙两种自动铅笔的进价分别为3元，5元
(2)小静一共有三种购买方案
【分析】（1）设甲、乙两种自动铅笔的进价分别为x元，y元，然后根据进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元，列出方程组求解即可；
（2）先求出甲、乙两种自动铅笔新的售价分别为4元、6元，即可推出，再由m、n都是自然数，进行求解即可．
（1）解：设甲、乙两种自动铅笔的进价分别为x元，y元，
由题意得：，
解得，
∴甲、乙两种自动铅笔的进价分别为3元，5元，
答：甲、乙两种自动铅笔的进价分别为3元，5元；
（2）解：∵专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔提价20%出售，
∴甲、乙两种自动铅笔新的售价分别为4元、6元，
∴，
∴即，
∵m、n都是自然数，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴小静一共有三种购买方案，
答：小静一共有三种购买方案．
方法或规律点拨
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程（组）求解．
巩固练习
1．（2022·浙江温州·七年级期中）疫情期间，某单位采购了50包口罩和30瓶消毒液，一共花费1633元，其中消毒液的单价比口罩的单价多2元，求口罩的单价和消毒液的单价．设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，依题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，根据等量关系式：消毒液的单价=口罩的单价+2元，50包口罩+30瓶消毒液=1633元，列出方程组即可．
【详解】解：设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，根据题意得：
，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系式，是解题的关键．
2．（2022·江苏·赣榆汇文双语学校七年级阶段练习）一玻璃厂熔炼玻璃液，其原料由石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%．经过化验，石英砂中含二氧化硅95%，长石粉中含二氧化硅63%．要配制3.2t原料，需石英砂，长石粉各多少？
【答案】需石英砂，长石粉
【分析】设需石英砂xt，长石粉yt，根据题意，联立方程组，解出即可得出结论．
【详解】解：设需石英砂xt，长石粉yt，
根据题意，可得：，
解得：，
答：需石英砂，长石粉．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解本题的关键在正确找出等量关系．
3．（2022·广东·佛山市顺德区大墩初级中学八年级期中）为响应创建全国文明城市，某校决定安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买1个温馨提示牌和2个垃圾箱共需270元，若购买2个温馨提示牌和1个垃圾箱共需180元．
(1)求一个温磐提示牌和一个垃圾箱各需多少元？
(2)根据计划，该校需购买温馨提示牌和垃圾箱共60个，且温馨提示牌数量不超过垃圾箱数量的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)30元，120元
(2)应购买20个温馨提示牌和40个垃圾箱才能使得总费用最少，最少费用为5400元
【分析】（1）设购买1个温馨提示牌需要x元，购买1个垃圾箱需要y元，根据“购买1个温馨提示牌和2个垃圾箱共需270元”得x+2y＝270，根据“购买2个温馨提示牌和1个垃圾箱共需180元”得2x+y＝180，组合成二元一次方程组便可；
（2）设购买温馨提示牌a个，垃圾箱（60﹣a）个，总费用为W元，根据题意列出不等式得出a的取值范围，再列出W与x的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可．
（1）
解：设一个温馨提示牌x元，一个垃圾箱y元，依题意得：
，
解得：，
答：一个温馨提示牌30元，一个垃圾箱120元；
（2）
设购买温馨提示牌a个，垃圾箱（60﹣a）个，总费用为w元，
则：a≤（60﹣a），
解得：a≤20，
，即： ，
∵ ，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝20时，W取最小值， ，
此时：垃圾箱：60﹣20＝40（个），
答：应购买20个温馨提示牌和40个垃圾箱才能使得总费用最少，最少费用为5400元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和一次函数解析式，利用一次函数的性质解答．
4．（2022·全国·八年级专题练习）4月22是世界读书日，甲、乙两名同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书本数比乙同学的2倍多1本．求甲、乙两名同学分别购买的图书本数．
【答案】
【分析】设甲同学购买图书本，乙同学购买图书本，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】设甲同学购买图书本，乙同学购买图书本，根据题意得，
，
解得．
答：甲同学购买图书本，乙同学购买图书本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
5．（2022·重庆市育才中学七年级开学考试）甲、乙两仓库共存粮95吨，现从甲仓库运出存粮的，从乙仓库运出存粮的，这时甲仓库剩下的粮和乙仓库剩下的粮同样多，甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？
【答案】甲、乙两仓库原来各存粮吨，吨．
【分析】设甲、乙两仓库原来各存粮吨，根据题意，列二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：设甲、乙两仓库原来各存粮吨，由题意可得：
，解得
答：甲、乙两仓库原来各存粮吨，吨．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程组．
6．（2022·浙江杭州·七年级期中）神舟十三号飞船搭载实验项目中，四川省农科院生物技术研究所共有a粒水稻种子，每粒种子质量大约0.0000325千克；甘肃省天水市元帅系苹果的b粒干燥种粒，每粒种子质量大约0.002275千克，参与航天搭载诱变选育．
(1)用科学记数法表示上述两个数．
(2)若参与航天搭载这两包种子的质量相等，求的值．
(3)若这两包种子的质量总和为1.04千克，水稻种子粒数是苹果种子粒数10倍，求a，b的值．
【答案】(1)0.0000325=3.25×，0.002275=2.275×
(2)
(3)a=4000，b=400
【分析】（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；
（2）根据题意可知0.0000325a=0.002275b,计算即可；
（3）根据题意列出方程组即可解答．
（1）解：0.0000325=3.25×，
0.002275=2.275×；
（2）解：由题意得，0.0000325a=0.002275b，
解得；
（3）解：由题意，得
，
解得：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．还考查了，二元一次方程(组)的应用．
7．（2022·辽宁大连·七年级期末）物流公司用A型车和B型车运送物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．
(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨?
(2)该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆且A型车数量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．
【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨
(2)租A型车4辆，B型车17辆，最少租车费是2440元
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结果；
（2）利用一次性装运货物的总重量=1辆A型车装满货物一次可运货重量×租用A型车的数量+1辆B型车装满货物一次可运货重量×租用B型车的数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数且A型车数量少于B型车，即可得出各租车方案，利用租车费=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可分别求出各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
（1）
解：设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，依题意得：
，
解得：．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
（2）
依题意得：3a+4b=80，
∴b==20-．
∵a，b均为正整数，
∴解得：或或或或或，
∵a∴共有2种租车方案，
方案1：租用4辆A型车，17辆B型车；
方案2：租用8辆A型车，14辆B型车；
方案1所需租金为100×4+120×17=2440（元）；
方案2所需租金为100×8+120×14=2480（元）；
∵2480>2440，
∴最省钱的租车方案是：租A型车4辆，B型车17辆，
答：租A型车4辆，B型车17辆，最少租车费是2440元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
8．（2022·吉林·长春市绿园区教师进修学校七年级期末）小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，需要长为0.8m的钢管100根，长为2.5m的钢管32根，并要求这些用料粗细相同且不能是焊接而成的．现钢材市场的钢管每根长为6m．
(1)试问一根长6m的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空（余料作废）．
方法①：当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪______根．
方法②：当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料______根．
方法③：当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料______根．
(2)用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6m长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？小明是这样考虑的：设用（1）中方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管．由题意，可列方程组，进而得到问题的解决，请帮助小明把过程补充完整．
解：设用（1）中的方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管，
根据题意，得
【答案】(1)7，4，1
(2)用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m长的钢管
【分析】（1）由总数÷每份数=份数就可以直接得出结论；
（2）设用方法二剪x根，方法三裁剪y根6m长的钢管，就有x+2y=32，4x+y=100，由此方程构成方程组求出其解即可．
(1)
解：方法①：6÷0.8=7…0.4，因此当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪7根；
方法②：（6-2.5）÷0.8=4…0.3，因此当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料4根；
方法③：（6-2.5×2）÷0.8=1…0.2，因此当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料1根；
故答案为：7，4，1．
(2)
解：设用（1）中的方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管，
根据题意，得，解得：．
答：用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m长的钢管．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据每份数×份数=总数建立方程是关键．
9．（2022·河南商丘·七年级阶段练习）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程．
问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？
小明所列方程： 小亮所列方程：
根据以上信息，解答下列问题．
(1)以上两个方程（组）中意义是否相同？______（填“是”或“否”）；
(2)小亮的方程所用等量关系______（填序号，“①每个小时生产的零件数”或“②4个小时生产的零件数相等”）；
(3)从以上两个方程（组）中任选一个求解，完整解答老师提出的问题．
【答案】(1)是
(2)②
(3)这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是28个、8个．
【分析】（1）根据所列方程分别得到小明和小亮所列方程中x的意义即可得到答案；
（2）根据小亮所列方程的意义求解即可；
（3）利用解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求解即可．
（1）
解：由小明所列方程的意义可知，小明方程中x表示的是这一箱零件的个数，而由小亮所列方程的意义可知，小亮方程中的x表示的是这一箱零件的个数，
∴以上两个方程（组）中x意义相同，
故答案为：是；
（2）
解：根据小亮所列方程的意义可知小亮的方程所用等量关系4个小时生产的零件数相等，
故答案为：②；
（3）
解：，
把①-②得：，解得，
把代入①得：，解得；
去分母得：，
去括号：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
∴，
∴这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是28个、8个．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，正确理解所列方程的意义是解题的关键．
考点3：方案决策问题
典例：（2022·河南·郑州市第十九初级中学八年级期末）郑州“7．20”特大暴雨灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A、B两种型号的货车，分两批运往郑州，具体运输情况如表：
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
(1)求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
(2)该市后续又筹集了70吨生活物资，若想恰好一次全部运走，需要怎样安排两种型号的货车？有哪几种运输方案？
(3)运送生活物资到受灾地区，运输公司不收取任何费用，但是一辆A型货车需油费500元，一辆B型货车需油费450元，为了节约成本，运送上述70吨物资到郑州应选择哪种运输方案？
【答案】(1)每辆型货车满载能运10吨生活物资，每辆型货车满载能运6吨生活物资；
(2)共有3种运输方案：方案1：安排7辆型货车；方案2：安排4辆型货车，5辆型货车；方案3：安排1辆型货车，10辆型货车；
(3)运送上述70吨物资到郑州应选择运输方案1：安排7辆型货车．
【分析】（1）设每辆型货车满载能运吨生活物资，每辆型货车满载能运吨生活物资，根据前两批运输所使用的货车的数量及累计运输物资的吨数，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设应安排辆型货车，辆型货车，利用运输物资的吨数每辆型货车满载物资的吨数安排型货车的数量每辆型货车满载物资的吨数安排型货车的数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出各运输方案；
（3）利用选择各方案所需油费每辆型货车所需油费安排型货车的数量每辆型货车所需油费安排型货车的数量，可求出选择各方案所需油费，比较后即可得出结论．
（1）解：设每辆型货车满载能运吨生活物资，每辆型货车满载能运吨生活物资，
依题意得：，
解得：．
答：每辆型货车满载能运10吨生活物资，每辆型货车满载能运6吨生活物资．
（2）解：设应安排辆型货车，辆型货车，
依题意得：，
．
又，均为自然数，
或或，
共有3种运输方案，
方案1：安排7辆型货车；
方案2：安排4辆型货车，5辆型货车；
方案3：安排1辆型货车，10辆型货车．
（3）解：选择方案1所需油费（元）；
选择方案2所需油费（元）；
选择方案3所需油费（元）．
，
运送上述70吨物资到郑州应选择运输方案1：安排7辆型货车．
方法或规律点拨
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需油费．
巩固练习
1．（2022·广东韶关实验中学七年级期中）某校计划为在校运会上表现突出的12名志愿者每人颁发一件纪念品，李老师前往购买钢笔和笔记本作为纪念品，如果买10支钢笔和2本笔记本，需230元；如果买8支钢笔和4本笔记本，需220元．
(1)求钢笔和笔记本的单价；
(2)售货员提示：当购买的钢笔超过6支时，所有的钢笔打9折．设购买钢笔的支数为a．李老师购买纪念品一共花了210元钱，求他可能购买了多少支钢笔？
【答案】(1)钢笔和笔记本的单价分别为20元，15元；
(2)3或6或10支．
【分析】（1）设钢笔和笔记本的单价分别为x,y元，根据“买10支钢笔和2本笔记本，需230元；如果买8支钢笔和4本笔记本，需220元”列方程组求解；
（2）设买a支钢笔，则买b个笔记本，根据单价求得分别求得当和时的费用，进而列出二元一次方程，解方程即可求解．
（1）
设钢笔和笔记本的单价分别为x,y元，根据题意得：
解得：，
答：钢笔和笔记本的单价分别为20元，15元；
（2）
设买a支钢笔，买b个笔记本，
当时，，
即，
∴，
∵为正整数，且，
∴，，
当时，，
即，
即，
∴，
∵为正整数，且，
∴，
综上所述，3或6或10．
答：他可能购买了3或6或10支钢笔．
【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键．
2．（2022·浙江·乐清市英华学校七年级期中）自从上海发生新冠肺炎发生以来，社会各界携手抗疫，全国人民积极捐助，共克时艰．温州市无偿捐助新鲜蔬菜120 t运往疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：(假设每辆车均满载)
(1)全部蔬菜可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车____辆来运送；
(2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(3)该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能分别求出运费最省时三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？
【答案】(1)4
(2)需要8辆甲型车，10辆乙型车
(3)需要4辆甲型车、10辆乙型车、2辆丙型车运费最省，此时的运费是7 800元
【分析】(1)直接用算术方法解答；
（2）根据已知条件列出二元一次方程组解答；
（3）设需要m辆甲型车，n辆乙型车，需要(16－m－n)辆丙型车，则根据题意可以得到关于m、n的二元一次方程，然后根据m、n同为整数，可以算出满足条件的几种方案，对每种方案计算出运费并进行比较即可得解．
（1）
(120－5×8－8×5)÷10＝4(辆)；
（2）
设需要x辆甲型车，y辆乙型车，
依题意，得解得
答：需要8辆甲型车，10辆乙型车；
（3）
设需要m辆甲型车，n辆乙型车，则需要(16－m－n)辆丙型车，依题意，得5m＋8n＋10(16－m－n)＝120，
∴m＝8－n.
∵m，n，(16－m－n)均为正整数，
∴或
当m＝6，n＝5时，16－m－n＝5，此时总运费为400×6＋500×5＋600×5＝7900(元)；
当m＝4，n＝10时，16－m－n＝2，此时总运费为400×4＋500×10＋600×2＝7800(元)．
∵7 900＞7 800，
∴m＝4，n＝10，16－m－n＝2.
答：需要4辆甲型车、10辆乙型车、2辆丙型车运费最省，此时的运费是7800元．
【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，熟练掌握二元一次方程（组）的列出和求解是解题关键关键．
3．（2022·辽宁·大连高新技术产业园区普罗旺斯学校七年级期中）某公司筹集了120吨的救灾物资运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车均满载）．
(1)全部救灾物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车_______辆来运送；
(2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费4100元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(3)为了节省运费，公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，分别求出三种车型的辆数，并求出此时的运费．
【答案】(1)4
(2)分别需甲、乙两种车型为8辆和10辆
(3)甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费3750元
【分析】（1）根据甲型车运载量是5吨/辆，乙型车运载量是8吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数；
（2）设需甲车满，乙车y辆，根据运费4100元，总吨数是120吨，列出方程组，再进行求解即可；
（3）设甲车有辆，乙车有b辆，则丙车有（14-a-b）辆，列出等式，再根据a、b、14-a-b均为正整数，求出a，b的值，从而得出答案，
（1）
解：根据题意得∶，
答∶ 丙型车4辆来运送；
故答案为：4
（2）
解：设需要甲x辆，乙y辆，根据题意得：
，解得，
答：分别需甲、乙两种车型为8辆和10辆．
（3）
解：设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有辆，
由题意得：，即，
∵a、b、均为正整数，
∴b只能等于5，
∴，，
∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，
则需运费200×2+250×5+300×7=3750（元），
答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费3750元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解，利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握．
4．（2022·浙江·萧山区高桥初级中学七年级期中）“当好东道主，文明迎亚运”，本区对亚运场馆附近的主干道进行了改造，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方1760m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
(1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
(2)如果每小时支付的租金不超过2000元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？
【答案】(1)需租用甲型号的挖掘机2台，乙型号的挖掘机6台；
(2)有2种方案
【分析】（1）设需租用甲型号的挖掘机x台，乙型号的挖掘机y台，根据“租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需租用甲型号的挖掘机m台，乙型号的挖掘机n台，根据恰好完成每小时的挖掘量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值，再结合每小时支付的租金不超过2000元，即可得出共有2种不同的租用方案．
（1）
解：设需租用甲型号的挖掘机x台，乙型号的挖掘机y台，
依题意得：，
解得：．
答：需租用甲型号的挖掘机2台，乙型号的挖掘机6台；
（2）
解：设需租用甲型号的挖掘机m台，乙型号的挖掘机n台，
依题意得：160m+240n=1760，
∴m=11-n．
又∵m，n均为正整数，
∴或或．
①当m=8，n=2时，每小时需支付的租金为190×8+260×2=2040（元），2040＞2000，不符合题意，舍去；
②当m=5，n=4时，每小时需支付的租金为190×5+260×4=1990（元），1990＜2000，符合题意；
③当m=2，n=6时，每小时需支付的租金为190×2+260×6=1940（元），1940＜2000，符合题意．
答：共有2种不同的租用方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
5．（2022·河北·石家庄外国语教育集团七年级期中）在石家庄外国语学校组织的读书节活动中，为帮扶山区学校贫困同学，某班班长代表班级购买了一些学习用品，他与学习委员的对话如图所示：
(1)请根据图中信息，列出二元一次方程组，并通过求解说明班长确实算错了；
(2)若要将领来的元全部用来买水笔，恰好花完．班长用列表法将所用方案进行了梳理：
则满足条件的所有方案共______种，表中的最大值是______．
【答案】(1)，理由见解析
(2)24，116
【分析】（1）根据图中的信息可以列出相应的二元一次方程组，然后求解，再根据水笔数量为整数，即可说明理由；
（2）根据题意，可以写出相应的二元一次方程，再根据水笔数量为整数，可以得到有多少种方案以及的最小值．
（1）
解：设购买单价为元的水笔支，单价为元的水笔支，
由图可得：，
解得，
，为整数，
班长确实算错了；
（2）
解：由表格可得，
，
，
，
令，
随的增大而减小，
，、均为非负整数，
，，，，
，
取值的个数为，
当时，取得最大值，此时，
由上可得，满足条件的所有方案共种，表中的最大值是，
故答案为：，．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或方程组．
6．（2022·陕西·商洛市山阳信毅九年制学校七年级阶段练习）新型冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播，所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护．为了做好个人防护，乐乐用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用完的情况下，有哪几种购买方案？
【答案】方案一：购买A型2包，B型7包；方案二：购买A型4包，B型4包；方案三：购买A型6包，B型1包，三种方案．
【分析】根据题意列二元一次方程，求方程的整数解即可．
【详解】解：设购买A型x包，B型y包
则：由题意得：，
∵x，y为正整数，
∴ 当，
当，
当，
∴共有方案一：购买A型2包，B型7包；方案二：购买A型4包，B型4包；方案三：购买A型6包，B型1包，三种方案．
【点睛】本题考查二元一次方程的实际应用．根据题意，准确的列出方程是解题的关键．
7．（2022·福建·厦门市杏南中学七年级期中）某校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球，若购买2个足球和3个篮球需220元；若购买4个足球和2个篮球需280元．
(1)求出足球和篮球的单价分别是多少？
(2)已知该年级决定用800元购进两种球，若两种球都要有，请问有几种购买方案，并请加以说明．
【答案】(1)足球的单价为50元，篮球的单价为40元；
(2)有三种购买方案，方案1：购进4个足球，15个篮球；方案2：购进8个足球，10个篮球；方案3：购进12个足球，5个篮球．
【分析】（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据“若购买2个足球和3个篮球需220元；若购买4个足球和2个篮球需280元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个足球，n个篮球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
（1）
解：设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，
依题意，得：，
解得：，
答：足球的单价为50元，篮球的单价为40元；
（2）
设购买m个足球，n个篮球，
依题意，得：50m＋40n＝800，
解得：n
∵m，n均为正整数，
∴当m＝4时，n＝15；当m＝8时，n＝10；当m＝12时，n＝5；
∴有三种购买方案，
方案1：购进4个足球，15个篮球；
方案2：购进8个足球，10个篮球；
方案3：购进12个足球，5个篮球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
8．（2022·上海理工大学附属初级中学期末）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装．
(1)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有33名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？
(2)现某中学购买两种档次的正方体教具共100套（价格如表所示），
若恰好用了1800元，请问该学校应该如何购买该教具？
【答案】(1)应安排18人生产塑料棒，15人生产金属球．
(2)该学校应购买高档正方体教具40套，低档正方体教具60套或购买中档正方体教具80套，低档正方体教具20套．
【分析】（1）设安排x人生产塑料棒，则安排（33﹣x）人生产金属球，根据生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）利用均价＝总价÷数量，可求出每套教具的均价，结合三档教具的单价可得出只有购买高、低档和购买中、低档两种情况，当购买高、低两档时，设购买高档正方体教具a套，低档正方体教具b套，根据购买两档教具共花费1800元，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；当购买中、低档时，设购买中档正方体教具m套，低档正方体教具n套，根据购买两档教具共花费1800元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（1）解：设安排x人生产塑料棒，则安排（33﹣x）人生产金属球，
依题意得：＝，
解得：x＝18，
∴33﹣x＝33﹣18＝15．
答：应安排18人生产塑料棒，15人生产金属球．
（2）
解：∵每套教具的均价为1800÷100＝18（元/套），
∴只有购买高、低档和购买中、低档两种情况．
当购买高、低两档时，设购买高档正方体教具a套，低档正方体教具b套，
依题意得： ，
解得：．
∴学校购买高档正方体教具40套，低档正方体教具60套．
当购买中、低档时，设购买中档正方体教具m套，低档正方体教具n套，
依题意得： ，
解得： ．
∴学校购买中档正方体教具80套，低档正方体教具20套．
答：该学校应购买高档正方体教具40套，低档正方体教具60套或购买中档正方体教具80套，低档正方体教具20套．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
9．（2022·贵州·仁怀市周林学校七年级期中）已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案（即、两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．
【答案】(1)1辆A型车一次可运货3吨，1辆B型车一次可运货4吨
(2)三种方案：方案一：租用A型车1辆，B型车7辆；方案二：租用A型车5辆，B型车4辆；方案三：租用A型车9辆，B型车1辆
【分析】（1）设1辆A型车一次可运货x吨，1辆B型车一次可运货y吨，由“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”列出方程组可求解；
（2）由“现有31吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物”列出方程，求出正整数解，即可求解．
（1）
解：（1）设1辆A型车一次可运货x吨，1辆B型车一次可运货y吨，
由题意可得：，
解得：，
答：1辆A型车一次可运货3吨，1辆B型车一次可运货4吨．
（2）
解：由题意可得：3a+4b=31，
∵a,b为正整数，
∴a=1，b=7或a=5，b=4或a=9，b=1，
∴有三种方案，方案一：租用A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租用A型车5辆，B型车4辆；
方案三：租用A型车9辆，B型车1辆
答：方案一：租用A型车1辆，B型车7辆；方案二：租用A型车5辆，B型车4辆；方案三：租用A型车9辆，B型车1辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的应用，找出正确的等量关系是解题的关键．
10．（2022·吉林·长春博硕学校七年级阶段练习）某公司购买了一批物资并安排两种货车运送.调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1900件；4辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输2200件，
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)若6辆小货车，5辆大货车均满载，共可运输多少件？
【答案】(1)1辆小货车一次可以满载运输350件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资；
(2)6辆小货车，5辆大货车均满载，共可运输4100件
【分析】（1）设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资，根据“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1900件；4辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输2200件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据（1）的方程，两个方程相加即可求解．
（1）
解：设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资，
依题意得：，
解得：．
答：1辆小货车一次可以满载运输350件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资．
（2）
两式相加得：
答：6辆小货车，5辆大货车均满载，共可运输4100件．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
考点4：古典文化中的二元一次方程组
典例： （2022·全国·八年级专题练习）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用20两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你帮商人设计一种购买方案．
【答案】(1)每头牛3两银子，每头羊2两银子
(2)共有三种购买方法：方案一：购买2头牛，7头羊；方案二：购买4头牛，4头羊；方案三：购买6头牛，1头羊．
【分析】（1）设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据“有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．”列出方程组，即可求解；
（2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意列出方程，再结合a、b均为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据题意得：
；解得 ，
答：每头牛3两银子，每头羊2两银子．
（2）解：设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意，得
，
∴，
∵a、b均为正整数，
∴该方程的解为或或
所以共有三种购买方法：
方案一：购买2头牛，7头羊；
方案二：购买4头牛，4头羊；
方案三：购买6头牛，1头羊．
方法或规律点拨
本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·河南·南阳市第四完全学校七年级期中）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由题意可列方程组为；
故选A．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长尺、绳长尺，则可以列方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设长木长尺、绳长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木还剩余1尺，”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设长木长尺、绳长尺，根据题意得：
．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
3．（2022·福建·泉州市第九中学七年级阶段练习）《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数xy的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图1的方程组，可知图中第一组小棍数代表几个x，第二组的小棍数代表几个y，最后两组代表数字，然后即可写出图2表示的方程组．
【详解】解：由题意可得，
图2所示的算筹图我们可以表述为：，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
4．（2022·河南·睢县第二中学七年级期中）《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何?……”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢与布各有多少．设绢有疋，布有疋，依据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】依据“今有绵与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯”列出方程组，此题得解．
【详解】解：根据题意得：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2022·四川·成都七中八年级期中）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，很多题目保留至今，如《九章算术》中有这样的一道古代问题，“有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛，个大桶加上个小桶可以盛酒斛，”在本题题干中，用个大桶和个小桶共盛酒______斛.
【答案】
【分析】根据题意列出二元一次方程组，进一步求解即可；
【详解】解：设每个大桶可以盛酒斛，每个小桶可以盛酒斛
由题意可得：
得：
化简得：
∴用个大桶和个小桶共盛酒斛；
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；熟练根据题意列出相对应的二元一次方程组是解题的关键．
6．（2022·陕西·无八年级期中）《九章算术》中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有___________人，该物品价值___________元．
【答案】
【分析】设有人，物品价值为元，根据题意列出二元一次方程组进行求解即可．
【详解】解：设有人，物品价值为元，
由题意得：，解得：；
答：有人，物品价值元；
故答案为：；．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意正确的列出方程组是解题的关键．
7．（2022·山东·庆云县东辛店中学七年级阶段练习）【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”如图①，是世界上最早的矩阵，又称幻方．用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方如图②．
（1）观察图②，根据九宫图中各数字之间的关系，我们可以总结出幻方需要满足的条件是__________________________________________________________ ；
（2）若图③是一个幻方，求图中_____________，___________
【答案】 每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同 0
【分析】通过观察和口算每横行、每竖行、每条对角线上的三数和，便可确定出“幻方”需要的条件，再由此规律列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：通过观察和口算可知，“幻方”需要满足的条件是：每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同．
由幻方的条件得：，
解得：，
故答案为：①每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同；②，③0．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余2尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为________________．
【答案】
【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺可知：绳子比木条长5尺得：；绳子对折再量木条，木条剩余2尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：；从而可得答案.
【详解】解：由题意可得方程组为：
，
故答案为：.
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键.
9．（2022·上海市梅陇中学九年级期中）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，4大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加4小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛_________斛米．
【答案】1
【分析】设1个大桶可以盛x斛米，一个小桶可以盛y斛米，根据题意列出方程组，即可求解．
【详解】解：设1个大桶可以盛x斛米，一个小桶可以盛y斛米，
由题意可得，
解得：x+y=1，
即1大桶加1小桶共盛1斛米，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
10．（2022·全国·八年级专题练习）驴和骡子驮着货物走在路上，驴不停的埋怨自己驮的货物太重了，压得受不了．骡子对驴说：“你发什么牢骚啊！我驮的货比你重，如果你驮的货给我一袋子，那我驮的比你多一倍，而如果我驮的货给你一袋子，咱俩驮的才一样多”请问你知道驴和骡子各驮了多少袋子货物吗？
【答案】驴子原来所驮货物为5袋，骡子原来所驮货物为7袋．
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“如果你驮的货给我一袋子，那我驮的比你多一倍”和“如果我驮的货给你一袋子，咱俩驮的才一样多”，列方程组求解即可．
【详解】解：设驴子原来所驮货物为x袋，骡子原来所驮货物为y袋．
由题意得 ，
解得，
即：驴子原来所驮货物为5袋，骡子原来所驮货物为7袋．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
11．（2022·江苏徐州·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
(1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ；
(2)求兽、鸟各有多少．
【答案】(1)
(2)兽有8只，鸟有7只．
【分析】（1）根据“兽与鸟共有76个头与46只脚”，即可得出关于x、y的二元一次方程组；
（2）解方程组，即可得出结论．
（1）
解：∵兽与鸟共有76个头，
∴6x+4y=76；
∵兽与鸟共有46只脚，
∴4x+2y=46．
∴可列方程组为．
故答案为：；
（2）
解：原方程组可化简为，
由②可得y=23-2x③，
将③代入①得3x+2（23-2x）=38，
解得x=8，
∴y=23-2x=23-2×8=7．
答：兽有8只，鸟有7只．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．（2022·安徽·芜湖市第二十九中学二模）我国古代数学著作《孙子算经》卷中记载有“多人共车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每3人乘1车，所乘车都坐满，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【答案】39人，15辆车
【分析】设共有x人，y辆车，由题意：每3人共乘一车，所乘车都坐满，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设共有人，辆车，
根据题意得：，
解得：，
答：共有39人，15辆车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
考点5：行程问题
典例：（2022·全国·八年级专题练习）列方程组解应用题：
(1)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
(2)小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．两人的平均速度各是多少？
【答案】(1)篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；
(2)小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．
【分析】（1）设篮球、排球队各有x支、y支参赛，根据有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛列出方程组求解即可；
（2）设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，根据小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：设篮球、排球队各有x支、y支参赛，
由题意得：
解得，
答：篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；
（2）解：设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，
由题意得：，
解得，
答：小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．
方法或规律点拨
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·民大附中海南陵水分校七年级期中）甲、乙两人相距300米，若两人同时相向而行，则需3分钟相遇；如果两人同时同向而行，那么半小时后甲追上乙，则甲、乙两人的速度是（ ）
A．55米/分，40米/分B．55米/分，45米/分
C．50米/分，45米/分D．50米/分，45米/分
【答案】B
【分析】设甲、乙两人的速度分别是x米/分，y米/分，根据“两人同时相向而行，则需3分钟相遇；如果两人同时同向而行，那么半小时后甲追上乙”列出二元一次方程组，解方程组可得答案．
【详解】解：设甲、乙两人的速度分别是x米/分，y米/分，
由题意得：，
解得：，
∴甲、乙两人的速度分别是55米/分，45米/分，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）甲乙两辆小车同时从A地开出，甲车比乙车每小时快，结果甲车行驶了40分钟到达了地，而乙车比甲车晚5分钟到达地，设甲车和乙车的速度分别为，，则下列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据甲车比乙车每小时快，得x-y=10，根据甲车行驶了40分钟到达了地，而乙车比甲车晚5分钟到达地，得，由此得到方程组．
【详解】解：设甲车和乙车的速度分别为，，
根据甲车比乙车每小时快，得x-y=10，
根据甲车行驶了40分钟到达了地，而乙车比甲车晚5分钟到达地，得，
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是列得方程组的关键．
3．（2022·全国·八年级专题练习）从甲地到乙地有一段长x km的上坡与一段长y km的平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．根据题意，可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】去乙地时的路程和回来时是相同的，去时的上坡路回来时是下坡路，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组．
【详解】解：设坡路长x km，平路长y km，
由题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系列方程组．
4．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第五中学七年级期中）A，B两地相距80km．一艘船从A出发，顺水航行4h到B，而从B出发逆水航行5h到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差，船在静水中的速度是__________km/h．
【答案】18
【分析】设船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，根据一艘船从A地出发，顺水航行4小时到B地；而从B地出发，逆水航行5小时到A地列出方程组解答问题即可．
【详解】解：设船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，由题意得
，
解得．
∴船在静水中的速度为18km/h，
故答案为：18．
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
5．（2022·黑龙江·桦南县第三中学七年级期中）甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时两人相遇．设甲、乙两人每小时分别走千米，千米，则可列出方程组__．
【答案】
【分析】根据题意直接列出方程组即可．
【详解】解：设甲、乙两人每小时分别走千米、千米，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组解决行程问题，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
6．（2022·江苏·七年级单元测试）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？
【答案】(1)甲每小时行4千米，乙每小时行5千米
(2)10分钟或30分钟
【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：20分钟×甲的速度+20分钟×乙的速度=3千米，3千米-30分钟×甲的速度=（3千米-30分钟×乙的速度）×2，依此列出方程求解即可，注意单位换算；
（2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解．
（1）
解：设甲每小时行千米．
乙每小时行千米．
依题意：
解方程组得
答：甲每小时行4千米，乙每小时行5千米．
（2）
相遇前：（3-1.5）÷（+）
=1.5÷
=10（分钟），
相遇后：（3+1.5）÷（+）
=4.5÷
=30（分钟）．
故在他们出发后10分钟或30分钟两人相距1.5千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型．
7．（2022·山东·宗圣中学七年级阶段练习）张老师组织七年级（1）班的学生乘客车去环境自然保护区去参观，前三分之二路段为平路，其余路段为坡路，已知客车在平路上行驶的平均速度为60千米/时，在上坡路行驶的平均速度为40千米/时．客车从学校到环境自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了4.2时．
(1)求客车在平路和上坡路上各行驶多少时间？
(2)第二天原路返回，发现回程比去时少用了0.9时，问客车在下坡路行驶的平均速度是多少？
【答案】(1)客车在平路和上坡路上分别行驶时间为2.4时、1.8时
(2)客车在下坡路行驶的平均速度是80千米/时
【分析】（1）设汽车在平路行驶了x千米，在上坡路行驶了y千米，根据“汽车从学校到自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了4.2时，且平路长度为上坡路的2倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用速度=路程÷时间，即可求出结论．
【详解】（1）解：设平路的距离为x千米，坡路的距离为y千米，
，
解得：，
时，时
答：客车在平路和上坡路上分别行驶时间为2.4时、1.8时．
（2）解：由题意可知：第二天原路返回，发现回程比去时少用了0.9时，平路时间不变，去时的上坡路变成回程的下坡路，因此下坡路时间减少0.9时，
千米/时
答：客车在下坡路行驶的平均速度是80千米/时．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（2022·山东·邹城市第十一中学七年级阶段练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；
(2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
【答案】(1)a和b的值分别为60，40；
(2)
【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可；
（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．
（1）
解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，
∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．
∴由题意得：，
解得：；
即a和b的值分别为60，40；
（2）
∵乙车以两种速度行驶的时间相等，
∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时
∴由题意得：
解得：；
∴甲车前一半的时间为：，
由于，则乙h时行的路程为：，
∵，
∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，
∴相遇时甲车还没行驶到60km，
∴相遇时间为：，
则离A地的路程为：．
即：两车相遇时，离A地．
【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．
9．（2022·广东·狮山实验学校七年级阶段练习）随着新冠疫情的来临，为了合理利用防疫物资，省防疫指挥部积极在各个城市之间进行物资调配．A车从佛山出发运送物资到阳江，B车从阳江出发运送物资到佛山，他们沿同一条公路同时出发，匀速（）相向而行，途中两车在一个服务区相遇，休息了10分钟后，又各自以原速度继续前往目的地，两车之间的距离s（千米）和时间t（分钟）之间的关系图象如图所示，请回答下列问题：
(1)图象中的自变量是__________，因变量是__________；
(2)佛山与阳江两地的距离是__________千米；
(3)A车每小时行驶多少千米？
(4)图象中a的值是多少？
【答案】(1)时间；两车之间的距离
(2)200
(3)120千米
(4)
【分析】（1）根据图象信息得出自变量和因变量即可；
（2）根据图象信息得佛山与阳江两地相距200km；
（3）根据“速度=路程÷时间”列方程组解答即可；
（4）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可．
（1）
解：由题意可知：横轴是时间，纵轴是两车之间的距离．所以自变量是时间，因变量是两车之间的距离；
故答案为：时间；两车之间的距离．
（2）
解：由图象可知，佛山与阳江两地相距200km；
故答案为：200．
（3）
解：设A车的速度为x 千米/分，B车的速度为y 千米/分，根据题意，得：，
解得：，
即A车的速度为2千米/分，即A车的速度为120千米/小时，即A车每小时行驶120千米．
（4）
解：由题意可知A车此时已到达阳江
故（km）．
【点睛】本题考查通过函数图象解决问题，从图象中获取相关信息是解答本题的关键．
10．（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校八年级期末）周末，军军和弟弟从家出发，步行去逊克县图书馆学习．出发2分钟后，发现弟弟的数学书忘记带了，弟弟继续按原速前往图书馆，军军按原路原速帮弟弟回家取书，然后骑自行前往图书馆，恰好与弟弟同时到达图书馆．军军和弟弟各自距家的路程y（m）与军军行程所用时间x（min）之间的函数图象如图所示．
(1)直接写出a、b的值；
(2)求军军取书后y与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
(3)直接写出军军取书后与弟弟相距100m的时间．
【答案】(1)800；4
(2)y=200x﹣800(4≤x≤8)
(3)7min
【分析】（1）根据路程=速度×时间可得a的值，由原路原速回家取书可得b的值；
（2）军军取书后y与x的函数关系为y=kx+b，把点（4，0）与（8，800）代入求解即可；
（3）由相距100m与两者的图像解析式列出方程求解即可．
（1）
由图像知
由军军原路原速回家取书，得：
（2）
设军军取回书后y与x的函数关系式是y=kx+b（k≠0）．
由题意，得：
解得：
∴军军取回书后y与x的函数关系式是y=200x﹣800(4≤x≤8)．
（3）
由图，弟弟得图像解析式为：
由题意有：100x﹣（200x﹣800）=100，
解得x=7，
∴ 7min后军军与弟弟相距100m．
【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法，一元一次方程等，会构建一次函数与方程解决问题是解题关键．
11．（2022·湖南益阳·七年级期末）如图，中国海监船46，49在距离钓鱼岛海里处，已知两船的航速如下表所示：
其中，一节等于海里/时，如果海监46先以经济航速行驶若干小时后以最大航速沿图中箭头方向航线行驶至钓鱼岛，共行驶时间小时，海监49比海监46迟出发半小时，以最大航速沿同一路线驶向钓鱼岛．问：
(1)两船谁先到达钓鱼岛？说明理由；
(2)海监46经济航行和最大航速航行各多少小时？
(3)设海监46航行时间为，求两海监船之间的距离与之间的函数关系式．
【答案】(1)海监49先到，见解析
(2)海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是10小时和5小时
(3)
【分析】（1）求出海监49到达钓鱼岛所用的时间，再比较，即可求解；
（2）设海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是小时，小时，根据题意，列出方程组，即可求解；
（3）先求出监46出发小时，海监49号追上海监46，然后分五段讨论解答，即可求解．
（1）
解：海监49先到．
，
海监49先到．
（2）
解：设海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是小时，小时，
则由题意得：解得，
答：海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是小时和小时．
（3）
解：设在海监46出发小时，海监49号追上海监46，
则由题意得：
解得
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
综上与的函数关系式为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列函数关系式，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
12．（2022·全国·八年级单元测试）小华从家里出发到学校去上学，前路段小华步行，其余路段小华骑自行车． 已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min．
(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？ 前路段小华步行所用时间是多少min？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．
(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．
【答案】(1)3000m，10min
(2)见解析
【分析】（1）设小华家里离学校有x m，前路段小华步行所用时间是y min．根据“用两种方式表示出前路段的路程“、“小华从家里到学校一共用了22min”列出方程组并解答即可；
（2）小华从家里到学校去上学步行了多少m？小华骑自行所用时间是多少min？利用速度、时间以及路程的关系列出方程组．
【详解】（1）解：设小华家里离学校有m，前路段小华步行所用时间是min． 根据题意得，

解得
答：小华家里离学校有3000m，前路段小华步行所用时间是10min．
（2）小华从家里到学校去上学步行了多少m？小华骑自行所用时间是多少min？
设小华从家里到学校去上学步行了sm，小华骑自行所用时间是多少tmin，根据题意得，
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
考点6：图形问题
典例：（2022·河南驻马店·七年级期末）聪聪手中有一块长方形的硬纸片，其中长比宽多，长方形的周长是．
(1)求长方形硬纸片的面积；
(2)现在聪聪想用这块长方形硬纸片沿着边裁出一块长与宽的比为5∶4，面积为的新纸片作为他用，聪聪不知道能否裁得出来，正在发愁．明明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意明明的说法吗？聪聪能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【答案】(1)
(2)不同意，不能裁出
【分析】（1）设长方形硬纸片的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的长比宽多10cm且周长是100cm，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的面积公式即可求出长方形硬纸片的面积；
（2）设裁出的新长方形纸片的长为5acm，则宽为4acm，根据长方形的面积公式结合新纸片的面积为520cm2，即可得出关于a的方程，解之取其正值由4a＞20，即可得出不能裁出符合要求的纸片．
（1）解：设长方形硬纸片的长为，宽为．
依题意，得：
解得：
所以长方形硬纸片的面积为：
（2）设裁出的新长方形纸片的长为，则宽为
依题意，得
解得或（舍去）
∵
∴不能裁出符合要求的纸片．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的应用以及算术平方根的应用，掌握以上知识是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·福建·漳州三中八年级期中）将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图1所示的一个大的长方形，或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为的小正方形，求小长方形的长和宽，若设小长方形的长为，宽为，则下列所列方程组正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据长方形的对边相等及正方形的邻边相等，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解．
【详解】依题意，得：．
整理得：
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学七年级期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为厘米和厘米，则依题意列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图示可得：大长方形的宽可以表示为x＋2y，宽又是75厘米，故x＋2y＝75，大长方形的长可以表示为2x，或x＋3y，故2x＝3y＋x，整理得x＝3y，联立两个方程即可．
【详解】解：根据图示可得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
3．（2022·河北唐山·七年级期末）如图，ABCD为一长条形纸带，，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与，对应，若，设，，根据题意可得（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，由ABCD，得到∠CFE＝∠AEF，再根据翻折的性质可得 ，由平角的性质列出方程组．
【详解】解：根据题意，得 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
4．（2022·吉林·前郭县一中七年级阶段练习）一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意和余角的概念，结合图形列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：由题意，可得：，
解得：，
故选：C
【点睛】本题考查了余角、解二元一次方程组，解本题的关键在熟练掌握余角的概念．两个角的和为90°，则这两个角互余．
5．（2022·江西·南昌民德学校八年级期中）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】C
【分析】利用点的坐标轴对称的特征构建方程组，求出m，n，可得结论．
【详解】解：∵，关于y轴对称，
∴，
解得，，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
6．（2022·山东临沂·七年级期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试试”．结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为1mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．9B．10 C．15 D．25
【答案】C
【分析】设小长方形的长为x mm，宽为y mm，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为x mm，宽为y mm，
依题意得：，
解得：，
∴xy=5×3=15，
∴每个小长方形的面积为15．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（2022·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图所示为两个形状、大小一样的小长方形拼接而成的图形．已知．则小长方形的面积为_______．
【答案】4
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据图形列出方程组进行计算，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】设小长方形的长为x，宽为y，
依题意得：
解得：
∴，
∴小长方形的面积为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意正确的列出方程组是解题的关键．
8．（2022·全国·八年级专题练习）如图，正方形由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积是__________．
【答案】16
【分析】设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为2a，宽为2a，根据图形中大小长方形长与宽之间的关系，列出二元一次方程组，进行计算即可得．
【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为2a，宽为2a，
依题意得，
解得，，
∴大长方形的边长为：，
∴，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出二元一次方程组并正确求解．
9．（2022·河北邢台·八年级期末）现有300张完全相同的矩形纸片．一张纸片若按图1所示方式裁剪后，可以围成一个无盖长方体，一张纸片若按图2的所示方式裁剪后，可以形成2个与前面无盖长方体搭配的盖子，现先按图2所示的方式裁剪矩形纸片x张，再按图1所示的方式裁剪剩余纸片，其中盖子的数量不大于无盖长方体的数量．
(1)直接写出搭配完后，剩余的无盖长方体的数量______．（用含有x的代数式表示）．
(2)把搭配完的无盖长方体和有盖长方体进行包装后，放到网格平台进行销售，其中无盖长方体每个售价m元，有盖长方体每个售价n元，完全售出后，满足如下数据：
①求y与x之间的关系式，
②求y的最小值；
【答案】(1)300-3x
(2)①y与x之间的关系式y=-x+600；②当x=100时，y有最小值，最小值是500．
【分析】（1）x张纸片可以剪2x个盖子，剩余的（300-x）张纸片可以剪（300-x）个盒子，一个盒子配一个盖子，且2x≤300-x，根据题意剩余的盒子为300-x-2x；
（2）①由题意得到y=（300-3x）m +n⋅2x，再由表中数据可以得到关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n的值即可得出结论；
②有函数的性质结合x的取值范围求函数最值．
（1）
解：由题意得，x张纸片可以剪2x个盖子，剩余的（300-x）张纸片可以剪（300-x）个盒子，
∵一个盒子配一个盖子，且2x≤300-x，
∴剩余的无盖长方体的数量为300-3x，
故答案为：300-3x；
（2）
解：①设y=m（300-3x）+n⋅2x，
依据题意得，
解得，
∴y=2（300-3x）+2.5⋅2x=-x+600，
∴y与x之间的关系式y=-x+600；
②∵2x≤300-x，
解得x≤100，
∵y=-x+600，-1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=100时，y有最小值，最小值是500．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，根据题意列出函数解析式是解题关键．
10．（2022·吉林省第二实验学校七年级期中）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小华、小雨分别用这些正方形设计出了图1，图2两种图案，根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？
【答案】大正方形的边长是厘米，小正方形的边长是厘米
【分析】根据图示，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则等量关系有，，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴由图1可知，，由图2可知，
联立方程组得，，解方程组得，，
∴大正方形的边长是厘米，小正方形的边长是厘米．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，根据图示列出等量关系是解题的关键．
11．（2022·河南·辉县市第一初级中学七年级期中）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值______．
(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
【答案】(1)
(2)①；；②24，27，30
【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可．
（1）
由题意得：，
解得；
故答案为：60，40；
（2）
①由图示裁法一产生A型板材为：2×m=2m，裁法二产生A型板材为：1×n=n，
所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×m=m，裁法二产生A型板材为，2×n=2n，
所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；
故答案为：2m+n；m+2n；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴，化简得m=4n．
∵n，m皆为整数，
∴m为4的整数倍，
又∵30≤m≤40，
∴m可取32，36，40，
此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．
故答案为： 24或27或30．
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
12．（2022·浙江杭州·七年级期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．
(1)如图，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．
(2)如图，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为和．
①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）．
【答案】(1)小长方形的相邻两边长是，
(2)①个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；②
【分析】（1）根据大长方形的相邻两边长分别为和，列出方程组并计算可求小长方形的相邻两边长；
（2）①分别求出1个小长方形的周长与大长方形的周长，再求出它们的比值即可求解；②根据长方形的面积公式即可求解．
（1）
解：设小长方形的相邻两边长分别为和，
依题意，可有，
解得，
故小长方形的相邻两边长分别是10，25；
（2）
①∵1个小长方形的周长为，
个大长方形的周长为，
∴．
故个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；
依题意有：，
整理，得．
故和满足的关系式为．
【点睛】本题主要考查了列代数式与二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握相关基本知识，属于中考常考题型．
考点7：营销问题
典例： （2022·浙江湖州·七年级期末）某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱．
(1)问苹果、橙子各购买了多少箱？
(2)该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？
【答案】(1)苹果、橙子各购买50箱、30箱．
(2)在乙店获利450元．
【分析】（1）设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，根据“苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱”，列出方程组求解即可；
（2）由题意可得销售商在甲店获利，整理后得到2a＋3b＝100，再表示出在乙店的获利，整理后把2a＋3b＝100整体代入即可得到答案．
（1）解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，
根据题意得，，
解得，，
答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱．
（2）解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a＋18b＝600（元），
整理得，2a＋3b＝100，
销售商在乙店获利为：10（50－a）＋15（30－b）
＝950－10a－15b
＝950－5（2a＋3b）
＝950－5×100
＝450（元），
即在乙店获利450元．
答：在乙店获利450元．
方法或规律点拨
此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·广东·深圳市福田区外国语学校八年级期中）某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为120元/件，售件为130元/件，乙种商品的进价为100元/件，售件为150元/件，若商场用36000元购进这两种商品，销售完后可获得利润6000元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
【答案】甲240件，乙72件
【分析】设购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据“商场用36000元购进这两种商品，销售完后可获得利润6000元”，列方程组求解即可.
【详解】解：设购进甲种商品x件，乙种商品y件
，
解得：，
答：该商场购进甲种商品240件，乙种商品72件.
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解题的关键.
2．（2022·四川·泸州市第二十八初级中学校七年级阶段练习）在某超市买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元．为了促销，此超市决定对A、B两种商品打折出售，A、B两种商品均打8折出售，此时小明买50件A商品和40件B商品，需要付多少钱？
【答案】打折前需要的钱数是480元．
【分析】设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元列出x和y的二元一次方程组，求出x和y的值即可．
【详解】解：设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，
根据题意得：
，
解得：，
0.8（8×50+2×40）=384（元）．
答：小明买50件A商品和40件B商品仅需384元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
3．（2022·重庆一中八年级阶段练习）今年8月，受高温影响，重庆多地突发山火．“山火无情人有情”，多家企业积极履行社会责任，主动投身到防暑抗旱、森林防火工作中，合力共克时艰．某区工商联组织捐赠油锯和水基灭火器共2.5万个，总价值1080万元．已知油锯的售价为每个600元，水基灭火器的售价为每个180元．
(1)本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为多少万个？（请列二元一次方程组解决该问题）
(2)某企业计划捐赠90个油锯、120个水基灭火器，在采购时，商家为驰援山火救援主动让利，将油锯的售价降低了，水基灭火器的售价降低了，最终该企业捐赠的这批物资总价为62400元，请求出的值．
【答案】(1)本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为1.5万个，1万个
(2)
【分析】（1）设本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为x万个，y万个，然后根据油锯和水基灭火器共2.5万个，总价值1080万元列出方程组求解即可；
（2）根据物资总价＝油锯的价值＋灭火器的价值列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为x万个，y万个，
由题意得，
解得，
答：本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为1.5万个，1万个；
（2）解：由题意得，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
4．（2022·湖南株洲·七年级期末）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．
(2)若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，该专卖店计划恰好用3500元购进，请问专卖店共有几种采购方案，并选出利润最大的采购方案．
【答案】(1)“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元
(2)购进“冰墩墩”毛绒玩具18只，购进“雪容融”毛绒玩具10只，最大利润为1100元
【分析】（1）设“冰墩墩”玩具每只进价x元，“雪容融”玩具每只进价y元，由题意：8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进“冰墩墩”玩具m只，购进“雪容融”玩具n只，由题意：该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具（两种均买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
（1）
解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元．
（2）
设购进“冰墩墩”毛绒玩具m只，购进“雪容融”毛绒玩具n只，由题意得：150m+80n＝3500，
整理得：15m+8n＝350，
∵m、n为正整数，
∴或或，
∴专卖店共有3种采购方案．
当m＝2，n＝40时，利润为：2×（200﹣150）+40×（100﹣80）＝900（元）；
当m＝10，n＝25时，利润为：10×（200﹣150）+25×（100﹣80）＝1000（元）；
当m＝18，n＝10时，利润为：18×（200﹣150）+10×（100﹣80）＝1100（元）；
∵900＜1000＜1100，
∴利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具18只，购进“雪容融”毛绒玩具10只，最大利润为1100元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
5．（2022·福建·漳州三中八年级期中）平和蜜柚是漳州市平和县的地方名果，已有500多年的栽培历史，早在乾隆年间它就被列为朝廷贡品．今年蜜柚又是一个丰收年．某柚农对自家产的个蜜柚进行包装出售．两种包装方式，刚对包装完；纸盒装每箱4个柚子，每箱售价64元；编织袋装每袋10个柚子．每袋售价150元．这批蜜柚全部售完，总收入为元时．若请问纸盒装和编织袋装各包装了多少袋？
【答案】纸盒装包装了80袋，编织袋装包装了68袋
【分析】设纸盒装共包装了x箱，编织袋装共包装了y袋，根据两种包装共装了个四季柚且销售总收入为元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】设纸盒装包装了x袋，编织袋装包装了y袋，依题意得
解得
答：纸盒装包装了袋，编织袋装包装了袋．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
6．（2022·重庆十八中八年级阶段练习）国庆期间，重庆市江北区计划联动观音桥商圈、江北嘴中央商务区、寸滩国际消费区三个核心区以及北滨路“慢生活”休闲体验生态经济带、大石坝片区等消费区域，统筹开展“爱尚重庆约惠江北”主题消费促进活动．观音桥步行街一商场销售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．若该商场同时购进甲、乙两种商品共1000件，恰好用去27000元．
(1)求购进甲、乙两种商品各多少件；
(2)在国庆期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：
按上述优惠条件，如果小王第一天只购买甲种商品一次性付款2000元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款3240元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【答案】(1)购进甲种商品400件，乙种商品600件．
(2)小王这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共180件或190件．
【分析】（1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件，利用总价＝单价×数量，结合该商场同时购进甲、乙两种商品共1000件且用去27000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由商场给出的优惠方案，结合单价＝总价÷数量，求出这两天他在该商场购买甲、乙两种商品的数量，即可解决问题．
【详解】（1）解：设购进甲种商品x件，乙种商品y件，
依题意得：，
解得：，
答：购进甲种商品400件，乙种商品600件．
（2）依题意得，第一天只购买甲种商品不享受优惠条件，
∴第一天购买甲种商品的数量为（件）．
第二天只购买乙种商品分两种情况考虑，
情况一：购买乙种商品打九折，（件）；
情况二：购买乙种商品打八折，（件）；
∴（件）或（件）．
答：小王这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共180件或190件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
7．（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
(2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
【答案】(1)20个，30个
(2)再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个
【分析】（1）设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）先计算出所得利润，然后列出二元一次方程求出整数解即可．
（1）
解：设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，
有题意得
解得
答：冰墩墩和雪容融分别进了20和30个；
（2）
由表格得，
设再次购进冰墩墩和雪容融分别为a个和b个，
∴35a+30b=600
∴
∵a，b为正整数
∴可得，
∴再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程（组）是解题关键．
8．（2022·广东·湛江市第二十七中学七年级期中）某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示．
(1)这两种台灯各购进多少盏？
(2)该商场计划销售这批台灯的总利润是多少？
【答案】(1)A种台灯购进30盏，B种台灯购进20盏；
(2)1300元．
【分析】（1）根据题意可得等量关系：A、B两种新型节能台灯共50盏，A种新型节能台灯的台数×40+B种新型节能台灯的台数×65=2500元；设A种台灯购进x盏，B种台灯购进y盏，列方程组即可求解；
（2）根据题意列出算式进行解答即可．
（1）
设A种台灯购进x盏，B种台灯购进y盏，根据题意，得：
，
解得：，
答：A种台灯购进30盏，B种台灯购进20盏；
（2）
（元）．
答：该商场计划销售这批台灯的总利润是1300元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系．
9．（2022·重庆市秀山土家族苗族自治县育才中学七年级期末）重庆市认真落实“精准扶贫”．某“建卡贫困户”在党和政府的关怀和帮助下投资了一个果园，经过一年多的精心栽培，去年6月份共产A、B两种水果2500千克，在市场上A种水果以每千克4元的价格出售，B种水果以每千克6元的价格出售，这样该贫困户6月份收入13000元．
(1)去年6月份该果园产A、B两种水果各多少千克？
(2)今年6月由于雨水较多，该贫困户的水果受到影响，在产量和销售价格上，A种水果数量比去年减少了2a千克，销售价格不变；B种水果数量比去年减少了a%．销售价格比去年减少了，该贫困户在去年和今年两年丰收中共收入了23510元，真正达到了脱贫致富，求a的值．
【答案】(1)去年6月份该果园产A种水果1000千克，产B种水果1500千克
(2)a的值为30
【分析】（1）设去年6月份该果园产A种水果x千克，产B种水果y千克，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合去年6月份共产A、B两种水果2500千克且销售总额为13000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合该贫困户在去年和今年两年丰收中共收入了23510元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
（1）
解：设去年6月份该果园产A种水果x千克，产B种水果y千克，
依题意得：，
解得：，
即去年6月份该果园产A种水果1000千克，产B种水果1500千克．
（2）
解：依题意得：，
整理得：，
解得：，
即a的值为30．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
10．（2022·浙江·宁波外国语学校七年级期中）某品牌童装专卖店新推出A、B、C三种款式的春装.四月的某个周末的销售量（单位：件）如表：
(1)请根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x、y的代数式表示）；
(2)已知A款周六的销售量与B款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A、B两款的销售总量还多4件，
①求x，y的值；
②已知三种款式的单价均为整数且高于100元，A款的单价是B款单价的3倍，如果周六的总销售额为5600元，那么B款式的单价可以是 （写出所有可能的结果）
【答案】(1)10﹣x，20+x﹣y，20+5x﹣y；表格见解析
(2)128元或119元或110元或101元．
【分析】（1）根据题意，补全表格中的划线部分即可；
（2）①由题意：A款周六的销售量与B款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A、B两款的销售总量还多4件．列出二元一次方程组，解方程组即可；
②设B款式春装的单价为a元，C款式春装的单价为b元，则A款式春装的单价为3a元，由题意：A款的单价是B款单价的3倍，如果周六的总销售额为5600元，列出二元一次方程，再由三种款式的单价均为整数且高于100元，求出a、b的值即可．
（1）解：由题意得：A款式的春装周六的销售量为10﹣x，
则B款式的春装周六的销售量为30﹣（10﹣x）﹣y＝20+x﹣y，
C款式的春装合计为20+x﹣y+4x＝20+5x﹣y，
故答案为：10﹣x，20+x﹣y，20+5x﹣y；
补全表格如下：
（2）①依题意得：，
解得：，
即x＝2，y＝4；
②由①得：10﹣x＝8，20+x﹣y＝18，
设B款式春装的单价为a元，C款式春装的单价为b元，则A款式春装的单价为3a元，
依题意得：8×3a+4a+18b＝5600，整理得：14a+9b＝2800，
则a＝200b，
∵三种款式的单价均为整数且高于100元，
∴或或或，
∴B款式春装的单价可能为128元或119元或110元或101元．
故答案为：128元或119元或110元或101元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．
11．（2022·浙江·龙游县华岗中学七年级阶段练习）明明妈妈在超市购买商品、共三次，只有一次购买时，商品、同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品、的数量和费用如表：
(1)求出商品、的标价；
(2)若商品、的折扣相同，问该超市是打几折出售这两种商品的？
【答案】(1)商品的标价为80元、商品的标价为110元
(2)打6折
【分析】（1）由第二次购物的数量远大于其它两次且总费用相差不大可得出第二次购物商品A，B同时打折，设商品A的标价为x元、商品B的标价为y元，利用总价=单价×数量，结合第一、三两次购物购买两种商品的数量及总费用，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该超市是打m折出售这两种商品的，利用总价=单价×数量×折扣率，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）
解：由题意可知：第二次购物商品，同时打折．
设商品的标价为元、商品的标价为元，
由题意得：，
解得．
答：商品的标价为80元、商品的标价为110元．
（2）
解：设该超市是打折出售这两种商品的，
由题意得：，
解得：．
答：该超市是打6折出售这两种商品的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
12．（2022·重庆·忠县花桥镇初级中学校七年级期中）某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润=单件利润×销售量）
(1)该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？
(2)商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进B商品的件数不变，而购进A商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于72000元，则B种商品是打几折销售的？
【答案】(1)商场第1次购进A、B两种商品各200件、150件；
(2)9
【分析】（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，列出方程组可求解；
（2）由（1）得A、B商品购进数量，结合（2）中数量变化，再根据要使得第2次经营活动获得利润等于72000元，得出方程即可．
（1）解：设第1次购进A商品x件，B商品y件．由题意得：
，
解得，
答：商场第1次购进A、B两种商品各200件、150件；
（2）设B商品打m折出售．由题意得：
400×（1350-1200）+150×（1200×0.1m-1000）=72000，
解得：m=9．
答：B商品打9折销售的．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用以及列一元一次方程解决打折问题，将现实生活中的事件与数学思想联系起来激发了学生学习兴趣，需要掌握的基本能力是准确的解方程组．
考点8：图表信息问题
典例：（2022·广东阳江·七年级期末）列方程解应用题
《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高________，放入一个大球水面升高________；
（2）如果放入10个球且使水面恰好上升到52厘米，应放入大球、小球各多少个？
（3）若放入一个钢珠可以使液面上升k厘米，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面上升到41厘米，则k的整数值为____________．（球和钢珠完全在水面以下）
【答案】（1）2， 3；（2）放入大球6个，小球4个；（3）13或3或1．
【分析】（1）设一个小球使水面升高x厘米，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设放入大球m个，小球n个，根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（3）设在玻璃桶内同时放入z个小球和钢珠时，水面上升到41厘米，根据题意列出关系式，即可确定出k的整数解．
【详解】解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，
由图形得：3x＝32﹣26，
解得：x＝2，
设一个大球使水面升高y厘米，
由图形得：2y＝32﹣26，
解得：y＝3，
故答案为： 2， 3；
（2）设放入大球m个，小球n个，
根据题意得：，
解得：，
答：如果要使水面上升到52cm，应放入大球6个，小球4个；
（3）设在玻璃桶内同时放入z个小球和钢珠时，水面上升到41厘米，
根据题意得：zk+2z＝41﹣26，
∵z、k为正整数，
∴当z＝1时，k＝13；当z＝3时，k＝3；当z＝5时，k＝1，
则k的整数值为13或3或1．
故答案为： 13或3或1．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的应用和二元方程的正整数解问题，准确把握题目提供的数量关系，列出方程是解题关键．
巩固练习
1．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级阶段练习）根据图提供的信息，可知一个杯子的价格是______元．
【答案】8
【分析】设一个杯子的价格是x元，一个茶瓶的价格为y元，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设一个杯子的价格是x元，一个茶瓶的价格为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：一个杯子的价格是8元．
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
2．（2022·河北·邯郸市第二十三中学七年级期中）科技馆门票价格规定如下表．
某学校七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元．七年级②班学生有_________人，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省_______元．
【答案】 56 347
【分析】设七年级②班有x人，七年级①班有y人，由题意：七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元，列出方程组，解方程组即可，再求出购买103张票的总钱数，即可求解．
【详解】解：设七年级②班有x人，七年级①班有y人，
由题意得：，
解得：，
∴七年级②班有56人，
1377-10×103=347（元）．
即如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省347元，
故答案为：56，347．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期末）如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，买1束鲜花和2个礼盒的总价为143元；买2束鲜花和1个礼盒的总价为121元，问买5束鲜花和5个礼盒的总价为________元．
【答案】
【分析】设1束鲜花的单价为元，1个礼盒的单价为元，依题意列出方程组，解得，即可求得答案．
【详解】解：设1束鲜花的单价为元，1个礼盒的单价为元，
依题意得，解得，
∴，
∴买5束鲜花和5个礼盒的总价为元．
故答案为：440
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确地列出方程组是解题的关键．
4．（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级阶段练习）利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是______cm；
【答案】75
【分析】设桌子的高度为hcm，长方体木块的长为xcm，长方体木块的宽为ycm，建立关于h，x，y的方程组求解．
【详解】解：设桌子的高度为hcm，长方体木块的长为xcm，长方体木块的宽为ycm，
由第一个图形可得：h−y＋x＝80，
由第二个图形可得：h−x＋y＝70，
两个方程相加得：（h−y＋x）＋（h−x＋y）＝150，
解得：h＝75．
即桌子的高度为75 cm．
故答案为：75．
【点睛】本题是一道能力题，考查方程思想、整体思想的应用及观察图形的能力．
5．（2022·安徽合肥·七年级期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．
(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元
(2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克
【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可
（2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解．
（1）
设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得
4×2a－5×a＝60，
解得a＝20，
则2a＝40．
答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元；
（2）设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意，得
解得
【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程组的应用，找出等量关系列方程是解题关键．
6．（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【答案】(1)三
(2)商品A的标价为72元，商品B的标价为54元
(3)商店是打八折出售这两种商品的
【分析】（1）根据买到A、B商品多，且花钱少来判断即可；
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，列出方程组求出x和y的值；
（3）设商店是打m折出售这两种商品，根据题意列出方程求解即可．
（1）
根据图表可得童威第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，所以童威以折扣价购买商品A、B是第三次购物，
故答案是：三；
（2）
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：商品A的标价为72元，商品B的标价为54元；
（3）
设商店是打m折出售这两种商品，
由题意得，，
解得：m=8．
答：商店是打八折出售这两种商品的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
7．（2022·河北·石家庄市长安区阳光未来实验学校七年级阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）．
(1)已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．
(2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量．
【答案】(1)a的值为0.6，b的值为0.7
(2)415度
【分析】(1)根据各档的电费价格和所用的电数以及所缴纳电费，列出方程组，进行求解即可；
(2)根据题意先判断出小明家所用的电所在的档，再设小明家家7月份用电量为x度，根据价格表列出等式，求出x的值即可．
（1）
解：依题意得：，
解得：．
故a的值为0.6，b的值为0.7．
（2）
解：若一个月用电量为350度，电费为180×0.6＋(350﹣180)×0.7=227（元），
∵285.5＞227，
∴小明家7月份用电量超过350度．
设小明家7月份用电量为x度，
依题意得：180×0.6＋(350﹣180)×0.7＋(x﹣350)×0.9=285.5，
解得：x=415．
答：小明家7月份的用电量为415度．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
8．（2022·江苏苏州·七年级期末）在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”． 如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15．
(1)在图2的“等和格”方格图中，可得a＝ ．（用含b的代数式表示）；
(2)在图3的“等和格”方格图中，可得a＝ ，b＝ ；
(3)在图4的“等和格”方格图中，可得b＝ ．
【答案】(1)
(2)－2，2
(3)－9
【分析】（1）根据每行、每列的3个代数式的和相等，可得a与b的关系；
（2）根据第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a与b的值；
（3）根据“等和格”的定义可得方程，分别进行整理代入可求出b的值．
（1）
解：如图2，根据题意得，
，解得，
故答案为：；
（2）
解：如图3，可得，解得，
故答案为：；
（3）
解：如图4，可得，
，
又，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行，每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等”，得出等式求解．
9．（2022·河南南阳·七年级期中）【问题呈现】
阳光大课间，运动健体魄．某校为丰富学生大课间活动，计划购置一些篮球、毽子、沙包体育用品．采购员刘老师负责在某文体用品店购买，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．
请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置毽子、沙包的数量及对应的金额．
【分析交流】
慧慧组用表格的形式对本问题的一些信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整
【建模解客】
（请你完整解答本题）
【解题收获】
通过本问题的解决，我的收获是：_____________________
【答案】表中数据：5x；3y；毽子购买了30个，沙包购买20个，毽子花费150元，沙包花费60元．利用二元一次方程组解决实际问题主要是要找准等量关系列出相应方程（答案不唯一）
【分析】根据表中数据得出花费金额，然后列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：填表如下：
根据题意可得：，
解得：，
5x=150，
3y=60；
∴毽子购买了30个，沙包购买20个，毽子花费150元，沙包花费60元．
通过本问题的解决，我的收获是：利用二元一次方程组解决实际问题主要是要找准等量关系列出相应方程（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出相应方程是解题的关键．
10．（2022·江西景德镇·八年级期末）在课间活动中，小明、小欣和小宇在操场上画出了A、B两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在A区得分相同，落在B区得分相同，但落在A区与B区得分不相同，每人投沙包四次，其落点和四次所得总分如图所示．
(1)投沙包一次落在A区或B区分别得多少分？
(2)求小宇的总分．
【答案】(1)沙包落在A区一次得分，投沙包落在B区一次得分
(2)分
【分析】（1）设沙包落在A区一次得x分，沙包落在B区一次得y分．根据题意列出方程组，即可求解；
（2）把根据题意可得小宇的总分等于沙包落在A区得分加上落在B区得分的3倍，即可求解．
（1）
设沙包落在A区一次得x分，沙包落在B区一次得y分．得：
，
解方程组得．
（2）
小宇得分为：分．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
11．（2022·山东省临邑县宿安中学七年级阶段练习）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分：（水价计费＝自来水销售费用＋污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
(1)求a，b的值．
(2)6月份小王家用水32吨，应交水费多少元．
(3)若林芳家7月份缴水费303元，她家用水多少吨？
【答案】(1)
(2)129.6元
(3)57.5吨
【分析】（1）根据“4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元”，列出方程组，即可求解；
（2）用(30-17)×4.2加上17×2.2再加上超过30吨的部分的污水处理的费用再加上自来水销售费用，即可求解；
（3）由(2)知，用水32吨需交水费129.6元，因为303>129.6，所以林芳家7月份用水量超过30吨，然后设林芳家七月份用水x吨，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：(1)由题意得： ，
解得 ；
（2）(2)(30-17)×4.2+17×2.2+（32-30）×6+32×0.8
=129.6(元).
答：当月交水费129.6元；
（3）（3）由(2)知，用水32吨需交水费129.6元，因为303>129.6，所以林芳家7月份用水量超过30吨，
设林芳家七月份用水x吨，
则(30-17)×4.2+17×2.2+(x-30)×6+x×0.8=303(元)，
6.8x=391，
解得：x=57.5，
即七月份林芳家用水57.5吨．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·福建厦门·七年级期末）为了节能减排，某公交公司计划购买A型和B型两种新能源公交车．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需280万元，列出方程组．若对该方程组进行变形可得到方程x﹣y＝20，下列对“x﹣y＝20”的含义说法正确的是（ ）
A．A型车比B型车多购买20辆B．A型车比B型车少购买20辆
C．A型车比B型车每辆贵20万元D．A型车比B型车每辆便宜20万元
【答案】C
【分析】根据题目中所给方程组可以判断出x为A型的价格，y为B型的价格，由此分析“x-y=20”的含义．
【详解】解：根据题意，x为A型的价格，y为B型的价格，所以“x﹣y＝20”表示A型车比B型车每辆贵20万元．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据题意找出等量关系抽象出方程组是解题的关键．
2．（2022·北京市第五中学分校七年级期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．其中有一个关于“绳索量竿”的问题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，问索长几尺”．
译文：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，问绳索长几尺？设绳索长为x尺，竿长为y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设绳索长为x尺，竿长为y尺，根据“绳索长﹣竿长＝5尺，竿厂﹣绳索长＝5尺”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：设绳索长为x尺，竿长为y尺，
由题意，得．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022·河南新乡·七年级期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是( )
A．16B．18C．20D．24
【答案】C
【分析】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．因为两根铁棒之和为55cm，故可得方程：x+y=55，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程，把两个方程联立，组成方程组，解方程组可得较长的铁棒的长度，用较长的铁棒的长度的即可求解．
【详解】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm，根据题意得，
解得：
因此木桶中水的深度为（cm）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．
4．（2022·山东烟台·七年级期末）为迎接2022年北京冬奥会，清华附中初二级部开展了以“绿色冬奥，人文冬奥，科技冬奥”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买奖品，奖励优胜者，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，则两种奖项齐全的购买方案有（ ）
A．6种B．7种C．8种D．9种
【答案】B
【分析】设购买x件一等奖品，y件二等奖品，由题意：现计划拿出240元钱全部用于购买奖品，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【详解】解：设购买x件一等奖品，y件二等奖品，
由题意得：15x+10y=240，
∴，
又∵x，y均为正整数，
∴或或或或或或，
∴购买方案有7种，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
5．（2022·安徽六安·七年级期末）某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？（ ）
A．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为100元和25元
B．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为120元和5元
C．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元
D．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为130元和6元
【答案】C
【分析】根据图表得出等量关系可列出方程进而组成方程组求出即可．
【详解】解：设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元，
根据题意得：
解得：
所以一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据已知得出等量关系可列出方程是解题关键．
6．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车原地返回．设x小时后两车间的距离为y千米，y关于x的函数关系如图所示，则乙车的速度为（ ）
A．60千米/小时B．70千米/小时
C．75千米/小时D．80千米/小时
【答案】B
【分析】设甲车的速度是a千米/小时，乙车的速度为b千米/小时，根据函数图象反应的数量关系建立方程组求出其解即可．
【详解】解：设甲车的速度是a千米/小时，乙车的速度为b千米/小时，
由题意，得，
解得：
故乙车的速度是70千米/小时，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找准等量关系，列出方程是解决本题的关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校七年级期末）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒4小盒共装108瓶；2大盒3小盒共装76瓶．若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶可列方程组为：______．
【答案】
【分析】根据题意即可列出二元一次方程组．
【详解】解：设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，
根据题意得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解决本题的关键．
8．（2022·河北石家庄·七年级期末）一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为__________岁．
【答案】42
【分析】由题意得：弟弟今年的年龄为5岁，姐姐今年的年龄为13岁，设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是100岁，父亲比母亲大2岁，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，
但实际上100-65=35（岁），说明十年前弟弟没出生，
则弟弟的年龄为10-（40-35）=5（岁），姐姐的年龄为5+8=13（岁），
设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，
由题意得：，
解得：，
即父亲今年的年龄为42岁，
故答案为：42．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（2022·山西临汾·八年级阶段练习）如果为的算术平方根，为的立方根，则的平方根为 __．
【答案】
【分析】先根据算术平方根和立方根的定义列出方程组，解出、，再代入、求出结果，进而得到的平方根．
【详解】解：∵为的算术平方根，为的立方根，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴的平方根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，解二元一次方程组．掌握平方根和立方根的定义是解题关键．
10．（2022·江苏连云港·七年级期末）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
下表是工作人员四次领取纸板数的记录：
仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．则记录有误的是第______次．
【答案】二
【分析】设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误．
【详解】解：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，
则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，
∴x+2y+4x+3y=5x+5y=5(x+y)，
∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，
∴第二次记录有误；
故答案为：二．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键．
11．（2022·全国·八年级单元测试）一水池有一个进水管和三个完全相同的出水管，现水池中有一定量的水，打开进水管（注水速度一致），若只打开一个出水管，则1小时正好能把水池中的水放完；若打开两个出水管，则20分钟正好能把水池中的水放完；问若打开三个出水管，则需要__________分钟恰好能把水池中的水放完．
【答案】12
【分析】设进水管的进水速度为x，每一个出水管的出水速度为y，水池中原有水量为a，根据题意列方程组求解
【详解】解：设进水管的进水速度为x，每一个出水管的出水速度为y，水池中原有水量为a，由题意可得：
，解得：
设打开三个出水管需要b小时能把水池中的水放完，则
时=12分
故答案为：12
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出等量关系求解是关键．
12．（2022·重庆市潼南区教育科学研究所七年级期末）某采摘园计划拿出一笔固定的资金分两天购进甲、乙、丙三种水果树苗，且购买甲、乙、丙三种树苗的总价之比为3:4:6．第一天，采购员用于购买甲、乙、丙三种树苗的资金之比为2:3:1，第二天，采购员将用余下的资金继续购买这三种树苗，经预算需将余下资金的购买甲树苗，则采购员还需购买的乙、丙树苗的资金之比为________．
【答案】5:11
【分析】设总资金为m，第一天，采购员用于购买甲、乙、丙三种树苗的资金分别为2x、3x、x，根据题意列出方程进行解答即可．
【详解】解：设总资金为m，第一天，采购员用于购买甲、乙、丙三种树苗的资金分别为2x、3x、x，则余下的资金为m﹣2x﹣3x﹣x，
∵第二天，采购员将用余下的资金继续购买这三种树苗，经预算需将余下资金的购买甲树苗，
∴（m﹣2x﹣3x﹣x）+2x＝m，
化简得：m＝26x，
∴购买乙、丙树苗的总金额为：m＝×26x＝20x，
∴采购员还需购买的乙、丙树苗的资金之比为（26x×﹣3x）：（26x×﹣x）＝5：11．
故采购员还需购买的乙、丙树苗的资金之比为5：11．
故答案为：5：11．
【点睛】本题考查应用类问题，多元方程问题，关键是根据题意列出多个方程进行解答即可．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·湖南娄底·七年级期末）娄底市出租车收费规定：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．
刘同学说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费11元．”
李同学说：“我乘出租车从市政府到娄底火车站走了6.5千米，付车费15元．”
问：
(1)出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？
(2)小张乘出租车从家里到娄底南站（高铁站）走了9.5千米，应付车费多少元？
【答案】(1)出租车的起步价是5元，超过1.5千米后每千米收费2元
(2)21元
【分析】（1）先设未知数，设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元．根据他们的对话建立2个等量关系，因为4.5千米和6.5千米都分两段收费，一段是1.5千米部分，一段是多于1.5千米的部分，再根据两段的单价和两人的付车费列出二元一次方程组求解；
（2）千米分两段收费：即1.5千米（起步价）+千米×单价=付车费．把（1）中的单价代入进行计算即可；
(1)解：设出租车的起步价是元，超过1.5千米后每千米收费元，
根据题意可得：，
即：，
解这个方程组，得：，
答：出租车的起步价是5元，超过1.5千米后每千米收费2元；
(2)小张应付的车费：（元），
答：小张应付的车费为21元．
【点睛】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，解题关键弄清题中的等量关系．
14．（2022·全国·八年级专题练习）临近年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元．
(1)求甲、乙两种消毒液的单价；
(2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中每瓶均装满，若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量．
【答案】(1)甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元
(2)分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个
【分析】（1）设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，根据“购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设分装的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，根据需将的消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗，列出二元一次方程，结合，均为非负整数得出各分装方案，选择最小的方案即可．
【详解】（1）解：设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元；
（2）设需要的空瓶个，的空瓶个，
依题意得：，
，
，均为非负整数，
或或，
当，时，总损耗为；
当，时，总损耗为；
当，时，总损耗为；
，
分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
15．（2022·辽宁大连·七年级阶段练习）如图，长方形中，满足，点在轴的正半轴上，，动点从出发，沿射线方向以单位/秒的速度运动，运动时间为秒．
(1)点的坐标_______，点的坐标_______；
(2)设的长为），请用含有的式子表示；
(3)连接，和，当为何值时，三角形的面积与长方形的面积相等，并求出此时的点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或
(3)秒和秒，点坐标为，
【分析】（1）先求出方程组的解，得出点的坐标，从而得出的长，再求出的长，最后根据点在轴的正半轴上，即可得出点的坐标；
（2）根据动点从出发，沿射线方向以单位/秒的速度运动，运动时间为秒，求出，再根据的长，结合点在线段上和在线段外两种情况即可得出答案；
（3）①点在线段上移动时，，得出关于的方程，解方程即可得出答案；②点在的延长线上时，，得出关于的方程，解方程即可得出答案．
（1）
解：∵，
解得：，
∴点的坐标是，
∴，
∵，
∴，
∵点在轴的正半轴上，
∴点的坐标是．
故答案为：；．
（2）∵动点从出发，沿射线方向以单位/秒的速度运动，运动时间为秒，
∴，
当点在线段上时，
∵
∴当点P到达点B处时，，
∴时，，
∴，
当时，点在线段外，
∴，
∴，
综上所述，的长为：或．
（3）∵三角形的面积与长方形的面积相等，
如图，点在线段上移动时，
，
解得：，
∴，
∴点坐标为；
如图，点在的延长线上时，
，
，
解得：，
，
∴点坐标为．
终上所述，秒和秒时，三角形的面积与长方形的面积相等，
点坐标为，．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，涉及到点的坐标，三角形、长方形的面积，线段的和差等知识点．本题采用了割补法求面积，分类讨论的思想．根据题意正确列出方程是解题的关键．
第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
1
2
B型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运输物资的吨数（单位：吨）
28
50
车型
甲
乙
丙
汽车运载量(t/辆)
5
8
10
汽车运费(元/辆)
400
500
600
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
200
250
300
租金（单位：元/台•时）
挖掘土石方量（单位：m3/台•时）
甲型
190
160
乙型
260
240
单价元笔的数量
单价元笔的数量
品种
高档
中档
低档
价格（元/套）
30
20
10
最大航速
经济航速
海监46
16节
14节
海监49
15.2节
14.5节
x（张）
60
90
销售后的总利润y（元）
540
510
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过3000元
不优惠
超过3000元且不超过4000元
售价打9折
超过4000元
售价打8折
进价（元/个）
售价（元/个）
冰墩墩
35
50
雪容融
30
40
类型
价格
A型
B型
进价（元/盏）
40
65
标价（元/盏）
60
100
A
B
C
合计
周六的销售量

y

30
周日的销售量
x
2y
4x
5x+2y
合计
10
3y

30+5x+2y
A
B
C
合计
周六的销售量
10﹣x
y
20+x﹣y
30
周日的销售量
x
2y
4x
5x+2y
合计
10
3y
20+5x﹣y
30+5x+2y
购买商品的数量（个）
购买商品的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
6
5
1030
第二次购物
9
8
960
第三次购物
3
7
1010
商品
价格
A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1350
1200
购票张数
1﹣50张
51﹣100张
100张以上
每张票的价格
15元
12元
10元
营养品信息表
营养成分
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
8
16
1440
第二次购物
7
15
1314
第三次购物
9
17
1252.8
阶梯
电量x（单位：度）
电费价格
一档
0＜x≤180
a元/度
二档
180＜x≤350
b元/度
三档
x＞350
0.9元/度
用品名称
数量（单位：个）
单价（单位：元）
金额（单位：元）
篮球
毽子
沙包
用品名称
数量（单位：个）
单价（单位：元）
金额（单位：元）
篮球
毽子
5x
沙包
3y
自来水销售价格
污水处理价格
（单价：元/吨）
每户每月用水量
（单价：元/吨）
17吨及以下
a
0.80
超过17吨不超过
30吨的部分
b
0.80
超过30吨的部分
6.00
0.80
日期
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
第一次
356
544
第二次
422
860
第三次
500
1000
第四次
988
2022