江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高三上学期学业质量统测（二）数学试题（原卷及解析版）

这是一份江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高三上学期学业质量统测（二）数学试题（原卷及解析版），文件包含江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高三上学期学业质量统测二数学试题原卷版docx、江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高三上学期学业质量统测二数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式，利用列举法写出集合，根据交集的定义，可得答案.
【详解】由变形可得，解得，则，
易知，则.
故选：A.
2. 复数，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算，化简复数，进而可求虚部.
【详解】，
故的虚部为，
故选：B
3. 若 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解.
【详解】
故选：C
4. 已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（ ）
A. B. C. 5D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，推得，得到是周期为4的函数，结合时，函数的解析式，求得的值，进而求得的值，得到答案.
【详解】因为是定义在上的偶函数，，
可得，即，
所以函数是以4为周期的周期函数，
可得，
又因为当时，，
可得，所以.
故选：A.
5. 将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据平移得出，再应用函数是奇函数得出进而求出最小值即可.
【详解】根据题意可得：
为奇函数，
，
故选：D.
6. 直线被函数的图象所截得线段的最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，得到或，再结合条件，即可求解.
【详解】由，得到，
所以或，
又直线被函数的图象所截得线段的最小值为，
显然最小值在一个周期内取到，不妨取，得到或，
所以，解得，
故选：B.
7. 已知函数在区间上的值域为，若，则k的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】列举出，根据，和值域为，结合选项得解.
【详解】当时，在区间上的值域为；
当时，在区间上的值域为；
则.
当时，在区间上的值域为；
则.
当时，在区间上的值域为；
则，则，则k的最小值是4.
故选：C.
8. 设是定义在R上的两个函数，若，有恒成立，下列四个命题正确的是（ ）
A. 若ℎx是奇函数，则也一定是奇函数
B. 若是偶函数，则ℎx也一定是偶函数
C. 若ℎx是周期函数，则也一定是周期函数
D. 若ℎx是R上的增函数，则在R上一定是减函数
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，依据函数的奇偶性，通过反例，可判断AB；根据周期性的定义可判断C，根据函数单调性的定义，结合不等式的性质可判断D
【详解】对于A，令，对可得；而此时不是奇函数，故错误；
对于B，令，是偶函数，对可得，此时ℎx为奇函数，故错误；
对于C，设ℎx的周期为，
若，有恒成立，
令，，则，
因为，所以，所以，
所以函数y=gx也是周期函数，故正确；
对于D，设， ℎx是R上的增函数，所以，
又即为
即为，
所以函数也都是R上的单调递增函数，故错误.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 假设“语文好，上本科”是真命题，那么下列命题正确的是（ ）
A. 语文好，不一定上本科B. 上本科，语文不一定好
C. 不上本科，语文一定不好D. 语文不好，一定不上本科
【答案】BC
【解析】
【分析】根据已知若p ,则q 为真命题，再结合集合间的基本关系判断各个选项即可.
【详解】设p:语文好，q:上本科，
由题意，若p ,则q 为真命题，
如果将语文好的学生定义为集合P ,上本科的学生定义为集合Q，则是的子集，A选项错误；
或许存x∈Q，但不在集合内，即上本科语文不一定好， B 正确；语文不好，上本科,D错误；
因为是的子集，则的补集是补集的子集，因此可以说不上本科的语文一定不好，C 正确；
故选：BC .
10. 已知函数的图象过点和，则（ ）
A.
B. 当时，的值域1,2
C. AB的最小值为
D. 函数有三个零点
【答案】AD
【解析】
【分析】先根据点在函数上求出判断A,应用正弦函数图象性质求值域判断B,根据两点间距离求最值判断C,数形结合判断交点个数即是零点个数判断D.
【详解】因为函数的图象过点可得,即得,所以，A选项正确；
函数，
可得，所以,B选项错误；
函数的图象过点可得,
,
当
,C选项错误；
函数的零点个数可以转化为的交点个数，
如图两个函数有三个交点可得函数有三个零点，D选项正确.
故选：AD.
11. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是
B 当且时，
C. 若满足，则
D. 若存在极值点，且，其中，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A ，将代入求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可；对于B，利用的性质，得到且，再利用在区间上的单调性，即可求解；对于C ，根据，推断函数的对称性，进而可以求得，即可判断结果；对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，得到，进而可得，令，结合，再化简即可得到答案.
【详解】对于选项A，当时，，，
由，得到或，由，得到，
所以单调递增区间为，；减区间为，
故在处取到极大值，在处取到极小值，
若有三个零点，则，得到，故选项A正确，
对于选项B，当时，，
又，即，由选项A知，在区间上单调递减，
所以，当时，等号成立，故选项B错误，
对于选项C，因为，即，所以关于点中心对称，
又的定义域为，
所以，整理得到，所以选项C错误，
对于选项D，因为，所以，
由题有，即，
由，得到，
令，则，又，所以，
得到，
整理得到，又，
代入化简得到，又，，所以，
得到，即，所以选项D正确，
故选：AD
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项D，利用导数在函数单调性中的应用，得到，进而可得，再通过令，结合条件得到，再代入，化简得到，从而解决问题.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若存在，使得，则实数的最大值是__________.
【答案】1
【解析】
【分析】先把存在问题转化为最值问题使得，再应用函数单调性求出最大值即可.
【详解】存在，使得，
则，使得，
令,函数单调递增，所以,
所以,
则实数的最大值是1.
故答案为：1.
13. 若，且，则的最小值为__________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据条件得到，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】由，得到，
所以，
当且仅当，即时取等号，
又，所以时取等号，
故答案为：.
14. 已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个正整数，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】原不等式的解集有且只有两个整数解等价于的解集中有且仅有两个正整数，利用导数讨论后者的单调性后可求参数的取值范围.
【详解】设，则，
而的定义域为，故为上的奇函数，
（不恒为零），故为上的单调减函数，
又即为：，
也就是，故，
故的解集中有且仅有两个正整数，
若，则当时，，
此时不等式的解集中有无数个正整数解，不合题意；
若，因为，，
故的解集中不会有1,2，其解集中的正整数解必定大于等于3，
不妨设，则的解集中有且仅有两个正整数，
设，，

故在上为增函数，由题设可得，
故，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：不等式解集中的正整数解的个数问题，可通过参变分离转化水平的动直线与确定函数图像的位置关系来处理.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）设，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，将等式中的边等量代换为角，根据差角公式，可得答案；
（2）利用正弦定理，构造三角函数，根据正弦函数的性质，可得答案.
【小问1详解】
由，根据正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，则，不合题意；
则，可得，
在中，，解得.
【小问2详解】
由，则，
根据正弦定理，可得，
，
在中，，则，
，
在中，易知，当时，.
16. 四棱锥中，矩形，.

（1）证明：平面；
（2）若是棱上一点，且，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件得到面，从而有，再通过计算得到，从而有，由线面垂直的判断定理，即可证明结果.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和的方向向量，利用线面角的向量法，即可求解.
【小问1详解】
因为是矩形，所以，又，，面，
所以面，又面，所以，
又，所以，又，所以，
即，又，面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）可建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
易知，
所以，，
设,则，
由可得，所以，
设平面的一个法向量为，
由，得到，取，得到，即，
又，设与平面所成角为，
则.
17. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值.将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）若，求；
（2）若，函数.
①求的最小值；
②结合调查实际，解释①中最小值的含义，并确定临界值.
【答案】（1）
（2）①②说明见解析；.
【解析】
【分析】（1）用频率分布直方图，结合的意义列不等式可解；
（2）①分情况讨论，得到分段函数，再求值域即可; ②结合调查实际取最小值时说明检测标准效果最有效，确定检测标准临界值.
【小问1详解】
依题可知，右边图形最后一个小矩形的面积为，
所以．当时，，
解得．此时．
【小问2详解】
①当时，
．
当时，
．
因为，
所以在区间，当时取最小值为0.02．
②函数表示漏诊率与误诊率的和，取最小值时说明检测标准效果最有效，检测标准临界值.
18. 已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与交于两点，且直线与的斜率互为相反数，求的中点到右焦点的距离的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据点在椭圆上以及焦点即可联立方程求解，
（2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理可得坐标，进而根据中点坐标公式可得，从而判断在直线上，即可由点到直线距离公式求解.
【小问1详解】
由已知
解得
所以椭圆方程为
【小问2详解】
由于的斜率互化相反数，不妨设的斜率为，的斜率为.
则AB的方程为，
联立，
故，又，所以，
进而,
用代入可得,
所以中点的坐标为
由于,
所以在直线上，
所以点与的最小距离即是点到直线的距离 ，
当且仅当时取得最小值.
19. 已知函数.
（1）若曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为，求和的值；
（2）若是的极大值，求实数的取值范围；
（3）当时，证明：对于任意的，有.
【答案】（1）
（2） （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导函数，再根据斜率得出参数,最后应用点在切线和函数上得出;
（2）先求导函数，再根据是的极大值，得出的左右单调性不同且先增再减，得出;
（3）先写出函数解析式，再做差化简，再结合定义域范围得出差小于零即可.
【小问1详解】
,
根据切线方程为，所以，可得,
点1,f1在上，可得，所以.
【小问2详解】
,
当时，单调递减，单调递增，是的极小值，不合题意；
当时，单调递减，单调递增，是的极小值，不合题意；
当时，所以单调递增，单调递减，是的极大值，
综上可得.
【小问3详解】
当时，,
对于任意的，有
因为,所以即得；
所以,进而得出
所以
所以.
【点睛】方法点睛：分四种情况分别结合导函数的正负得出函数的单调性判断是否是极大值即可解题.