考点7 平面解析几何——五年（2020—2024）高考数学真题专项分类汇编(含答案)

这是一份考点7 平面解析几何——五年（2020—2024）高考数学真题专项分类汇编(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若抛物线的焦点到直线的距离为，则( )
A.1B.2C.D.4
2．已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为( )
A.13B.12C.9D.6
3．设椭圆，的离心率分别为，.若，则( )
A.B.C.D.
4．已知曲线，从C上任意一点P向x轴作垂线，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
5．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则( )
A.1B.C.D.
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
7．已知点P在圆上，点，，则( )
A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2
C.当最小时，D.当最大时，
8．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点.若，则( )
A.直线AB的斜率为B.
C.D.
9．设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( )
A.
B.点在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点在C上时，
10．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )
A.C的准线为B.直线AB与C相切
C.D.
三、填空题
11．设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为__________.
12．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且.若，则C的准线方程为_____.
13．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，.点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为__________.
14．已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且，，则l的方程为__________.
15．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________.
16．设点，，若直线AB关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是___________.
四、解答题
17．已知和为椭圆上两点.
（1）求C的离心率；
（2）若过P的直线l交C于另一点B，且的面积为9，求l的方程.
18．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为.
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上.
19．已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且，，D为垂足.证明：存在定点Q，使得为定值.
20．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足.记M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
21．在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W.
（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于.
22．已知双曲线（，）的右焦点为，渐近线方程为.
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点，在C上，且，.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②；③.
参考答案
1．答案：B
解析：本题考查点到直线的距离及抛物线的焦点坐标.抛物线的焦点为.由题意，得，解得.
2．答案：C
解析：由题意可知，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为9，
故选C.
3．答案：A
解析：由椭圆的方程知离心率，由椭圆的方程知.
又，即，化简得，，，.故选A.
4．答案：A
解析：设，则，因为点P在曲线C上，所以，即，所以线段的中点M的轨迹方程为，故选A.
5．答案：B
解析：设圆为圆C，化简得，圆心为，半径.如图，设，则，，易知，则，所以.故选B.
6．答案：C
解析：设直线与x轴交于点，直线方程与椭圆方程联立得，，解得.
设，到直线AB的距离分别为，，由题意得，，所以.由三角形相似可得，，解得或.因为，所以，故选C.
7．答案：ACD
解析：设圆的圆心为，由题知直线AB的方程为，即，则圆心M到直线AB的距离，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为，，故A正确.点P到直线AB的距离的最小值为，，故B不正确.过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当最小时，点P与N重合，，当最大时，点P与Q重合，，故C，D正确.
8．答案：ACD
解析：由，可知.代入，得（负值已舍去）.，直线AB的方程为.联立，得，则，得，则.故，，，.选项A，，故正确.选项B，，故错误.选项C，，故正确.选项D，易得，，，.因为，所以为钝角.
因为，所以为钝角，所以，故正确.选ACD.
9．答案：ABD
解析：因为坐标原点O在曲线C上，所以，又，所以，所以A正确.
因为点到点的距离与到定直线的距离之积为，所以点在曲线C上，所以B正确.
设（，）是曲线C在第一象限的点，则有，所以，令，则，因为，且，所以函数在附近单调递减，即必定存在一小区间使得单调递减，所以在区间上均有，所以纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误.
因为点在C上，所以且，得，所以，所以D正确.综上，选ABD.
10．答案：BCD
解析：对于A，由点在抛物线C上，得，解得，则C的准线为，故A错误.
对于B，由点A，B的坐标得直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，由得，解得.将代入，得，所以切点为，即为A点，所以直线AB与C相切，故B正确.
对于C，由于直线PQ的斜率一定存在，设直线PQ的方程为，由得，所以，则，所以（其中为与的夹角），又，所以，故C正确.
对于D，由C知，由B选项知，所以.又，所以，故D正确.故选BCD.
11．答案：
解析：法一：由及双曲线的对称性得，因为，所以，，所以，，则C的离心率.
法二：因为，所以，所以，又，所以，得，所以，得，所以C的离心率.
12．答案：
解析：本题考查抛物线的图象与性质.因为轴，所以点P的坐标为（假设点P在x轴上方，点P在x轴下方同理）.因为，所以，所以，即，所以，解得，所以C的准线方程为.
13．答案：
解析：法一：建立如图所示的坐标系，依题意设，，.
由，得.又，且，，则，所以.
又点A在双曲线C上，则，整理得，
将，代入，得，即，解得或（舍去），故.
法二：由得，设，则，.
由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得.
设，则，所以，解得，所以，.在中，由余弦定理可得，即，可得.
14．答案：
解析：法一：设直线l的方程为，则点，（，）.设，（，）.
由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，所以
即又因为，所以.
将点，的坐标代入椭圆方程中，得两式相减，得，整理得，则，则①.又，所以由勾股定理，得②.联立①②，结合，，解得所以直线l的方程为，即.
法二：设E为AB的中点，由题意知，点E既是线段AB的中点又是线段MN的中点，设，，设直线，，，则，，，因为，所以.
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得.
其中，，
所以AB中点E的横坐标，又，所以.
因为，，所以，又，解得，所以直线，即.
15．答案：13
解析：设为椭圆C的左焦点.如图，连接，，.因为椭圆的离心率为，所以，所以椭圆C的方程为，且为等边三角形，则直线DE的斜率.
由直线DE垂直平分线段得，，，则的周长等价于.
设，，又直线DE的方程为，与椭圆方程联立得，则，.由弦长公式，得，即.所以的周长为.
16．答案：
解析：方法一：由题意知点关于直线的对称点为，所以，所以直线的方程为，即.由题意知圆的圆心为，半径为1，又直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，整理得，解得，所以实数a的取值范围是.
方法二：因为直线AB关于对称的直线也与直线AB关于y轴对称，圆关于y轴对称的圆的方程为，由题意知该圆与直线AB有公共点.直线AB的方程为，即.又圆的圆心为，半径为1，所以圆心到直线AB的距离，整理得，解得，所以实数a的取值范围是.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题知，解得，
，的离心率.
（2），
设点B到直线PA的距离为h，
则的面积为，解得.
易知直线，设，则，
解得或，或，
故或.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为双曲线C的左焦点为，所以.
由离心率，得，所以，
所以C的方程为.
（2）证明：设（，），，显然直线MN的斜率不为0，故设直线MN的方程为.
因为，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立消去y得.
联立消去x整理得，
则，，则，，
所以，
所以，
所以，解得，
所以点P在定直线上.
19.
（1）答案：
解析：由题意可得：，解得：，，
故椭圆方程为：.
（2）答案：证明见解析
解析：设点，，
若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去y并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据，代入整理可得：，所以，
整理化简得，
因为不在直线上，所以，
故，，
于是的方程为，
所以直线过定点直线过定点.
当直线的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合可得：，
解得：或（舍）.
此时直线过点.
令Q为的中点，即，
若D与P不重合，则由题设知是的斜边，
故，
若D与P重合，则，
故存在点，使得为定值.
20．答案：（1）
（2）0
解析：（1）由双曲线的定义可知，点M的轨迹C为焦点在x轴上的双曲线的右支，且，，
所以，，
所以C的方程为.
（2）设，，，且，
由题知，直线AB与直线PQ的斜率都存在且不相等，
设直线AB的方程为.
联立
消去y并整理得.
又直线AB与曲线C必有两个不同的交点，
所以，，
所以，.
所以
.
设直线PQ的方程为，
同理可得.
因为，
即，
所以，
所以或（舍去），
所以，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设点P的坐标为，依题意得，
化简得，
所以W的方程为.
（2）证明：设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，
则，矩形ABCD的周长为.
设，依题意知直线AB不与两坐标轴平行，
故可设直线AB的方程为，不妨设，
与联立，得，
则，所以.
设，所以，所以，
所以，
，且，
所以.
因为，
当，即时，函数在上单调递减，函数在上单调递减或是常函数（当时是常函数），函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，且最小值为，
又，所以.
令，，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以.
当，即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，且最小值为，
又，所以.
令，，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以.
综上，矩形ABCD的周长大于.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意得①.
双曲线的渐近线方程为，②.
又③，
联立①②③解得，，
双曲线C的方程为.
（2）设直线PQ的方程为，
由点P，Q的相对位置可知，且.
将直线PQ的方程代入C的方程得，
则，，.
又，，，则.
设点M的坐标为，则
两式相减，得.
又，
，解得.
两式相加，得.
，
，解得，
因此，点M的轨迹方程为，其中k为直线PQ的斜率.
若选条件①②，则证明③：
由题知直线AB的方程为，
设，，不妨取点A在第一象限，
则解得
同理可得，，
此时，.
点M的坐标满足
解得
故M为线段AB的中点，即.
若选条件①③，则证明②：
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点，此时M不在直线上，不符合题意.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，且，，，不妨取点A在第一象限，
则解得
同理可得，，
此时，，
由于点M同时在直线上，故，
解得，因此.
若选条件②③，则证明①：
由题知直线AB的方程为，
设，，不妨取点A在第一象限，
则解得
同理可得，，
设线段AB的中点为，
则，.
，点M在线段AB的垂直平分线上，
即点M在直线上.
将该直线方程与联立，
解得
即点M恰为线段AB的中点，故点M在AB上.