吉林省松原市宁江区第一中学2024~2025学年九年级上学期期中测试数学试题

这是一份吉林省松原市宁江区第一中学2024~2025学年九年级上学期期中测试数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．方程的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．如图，将绕点B按顺时针方向旋转一个角得到，点A的对应点D恰好落在AC上，且．若，则的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．36°
5．如图，点B、C、D在上，，A是的中点，若，则的长是（ ）
A．B．C．D．
6．如图是二次函数（）图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________．
8．已知的半径为5cm，A为线段的中点，当时，点A与的位置关系是点A在________（填“内”“外”或“上”）．
9．已知是方程的一个根，则代数式的值为________．
10．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为________度．
11．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是________．
12．某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为x，则依题意所列的方程是________．
13．如图，是正五边形的内切圆，分别切、于点M、N，P是优弧上的一点，则的度数为________．
14．如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．用合适的方法解方程：．
16．已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式．
17．某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点O，若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为4cm．求这个圆形截面的半径．
18．已知关于x的一元二次方程．
（1）若k是最小的正整数，求此方程的解；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
（1）操作与实践：
①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转180°，画出旋转后对应的；
②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；
（2）应用与求解：
将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标．
20．如图，抛物线与x轴正半轴交于点，以为边，在x轴上方作正方形，延长交抛物线于点D，再以为边向上作矩形，使．
（1）求a的值；
（2）求点F的坐标．
21．如图，是的直径，与相交于点E，，且．
（1）求的度数；
（2）如果，求的长．
22．如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为8m．设花圃的宽为，面积为．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，以的边上一点O为圆心的圆经过A、B两点，且与边交于点E，，连接交于点F，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径是6，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）．
24．九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
操作探究：
（1）如图①，为等腰三角形，，，将绕点O旋转180°，得到，连接，F是的中点，连接，则________度，与的数量关系是________；
迁移探究：
（2）如图②，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；
拓展应用：
（3）如图③，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到（A、B的对应点分别为D、E），连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图，在正方形中，O为对角线的中点，．动点P从点A出发，沿折线运动，在和上的速度分别为每秒个单位长度和每秒1个单位长度．当点P出发后，过点P作于点Q，将线段绕点P顺时针旋转90°得到，连接．设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积为S．
（1）当点P在线段上运动时，用含t的代数式表示的长；
（2）当点O在的内部时，求t的取值范围；
（3）求S与t之间的函数关系式．
26．如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当轴时，求的面积；
（3）当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求m的取值范围并写出这个定值；
（4）当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d、n，当时，直接写出m的取值范围．
名校调研系列卷·九年级期中测试数学（人教版）
参考答案
一、1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C
二、7． 8．上 9．40 10．72 11．34° 12． 13．72° 14．或
三、15．解：，．
16．解：抛物线的解析式为．
17．解：这个圆形截面的半径是10cm．
18．解：（1）当时，方程变形为，解得．
（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴，且，∴k的取值范围为且．
四、19．解：（1）①如图，即为所求．
②如图，即为所求．
（2）旋转中心M的坐标是．
20．解：（1）．
（2）．
21．解：（1）连接，∵是的直径，，∴，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴．
（2）．
22．解：（1）因为花圃的宽为，则，根据题意得出：（）．
（2），∵，，∴当时，．
答：当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是．
五、23．（1）证明：连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵是的半径，∴是的切线．
（2）解：∵，∴，∴，，在中，，∴，，∴阴影部分的面积．
22．解：（1）90；．
（2）由旋转的性质，可知，∵为等边三角形，平分，为等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，．∵F是的中点，∴，∴是等腰直角三角形，∴．
（3）的长为或2．
六、25．解：（1）当时，；当时，．
（2）当点P在上，且点P与点O重合时，，解得；点P与点C重合时，，解得，当点P在上，点O在上时，，解得．综上所述，当点O在的内部时，t的取值范围是，且．
（3）当时，，当时，．
26．解：（1）抛物线的解析式为．
（2）由（1）知，，∴点C为，当轴时，点P与点B关于对称轴对称，∴点，∴，点C到PB的距离为1，∴，∴的面积为1．
（3）设抛物线与x轴的另一交点为点D，∴点与点D关于直线对称，∴点D为．当点P在点C和点D之间时，点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值4，∴此时m的取值范围为．
（4）m的取值范围为或．