吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学2024-2025学年 上学期九年级期中测试 名校调研 数学试卷

这是一份吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学2024-2025学年 上学期九年级期中测试 名校调研 数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．在下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，若，，则线段的长为（ ）
A．3B．C．D．
4．如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点，从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的是（ ）
A．B．C．D．
5．某网络学习平台2021年的新注册用户数为36万，2023年的新注册用户数为81万，设新注册用户数的年平均增长率为（），则有（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，两条抛物线、与分别经过点、且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）
A．6B．8C．9D．12
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
8．一元二次方程根的判别式的值是
9．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为______度．
10．已知二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为______（写出一个即可）．
11．如图，为的直径，，若，则______度．
12．如图，已知抛物线经过点和，如果点与在此抛物线上，那么______（填“＞”“＜”或“＝”）．
13．如图，点、、在上，，若，则______度．
14．桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点到水面的距离为4米．模型建立：以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立平面直角坐标系，则在距离水面2米处桥拱的宽度为______米．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．用因式分解法解方程：．
16．如图，抛物线经过坐标原点和点，点在轴上．
（1）求顶点的坐标；
（2）若点在抛物线上，且，则点的坐标为______．
17．如图，将绕点逆时针旋转140°得到，、、三点恰好在同一直线上，连接，若，求的度数．
18．已知二次函数的图象经过点，且最高点的坐标为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将（1）中的二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后所得的抛物线的解析式为______．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．如图，，交于点、，是半径，且于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
20．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长均为1个单位长度，的顶点均在格点上．
（1）画出关于原点成中心对称的；
（2）将绕点顺时针旋转90°得到，画出，点、、的对应点分别为点、、，并写出点的坐标．
21．如图，四边形内接于，是的中点，延长到点，使，连接、．
（1）求证：；
（2）若，，则的直径长为______．
22．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
（1）求点、的坐标；
（2）把抛物线的顶点记为，在抛物线的对称轴上存在点，若满足是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．某校学生小勇和小真到校内咖啡吧参加实践活动，已知一种手磨咖啡的成本为8元/杯，经过一段时间销售后，小勇发现如果以10元/杯的价格销售，那么每天可售出300杯；如果以13元/杯的价格销售，那么每天可售出150杯．小真通过调查验证，发现每天的销售量（杯）与销售单价（元）之间存在一次函数关系．
（1）求关于的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天可获取的利润最大？
24．【问题情境】：
如图①，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点按逆时针方向旋转（），点、的对应点分别为点、．
【问题解决】：
（1）如图②，在旋转的过程中，点落在了上，直接写出此时的长；
（2）若，如图③，得到（此时点与点重合），延长交于点．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长；
（3）在直角三角形绕点按逆时针方向旋转的过程中（），直接写出线段长度的取值范围．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图，在等腰直角三角形中，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，过点作，交折线于点，以为边向右作矩形，使，设点的运动时间为秒（），矩形与重叠部分图形的面积为．
（1）用含的代数式表示线段的长；
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）求与之间的函数关系式．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点，点在该抛物线上，横坐标为．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）当轴时，求的值；
（3）将该抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．
①当图象上只有两个点到轴的距离为4时，求的取值范围；
②当点在对称轴左侧，且点到轴的距离为1时，若图象与直线只有一个公共点，直接写出的取值范围．
名校调研系列卷・九年级期中测试数学（人教版）
参考答案
一、1．A 2．C 3．B 4．B 5．D 6．D
二、7． 8．105 9．30 10． 11．55
12．＜ 13．50 14．
三、15．解：，．
16．解：（1）把代入，得，
抛物线的解析式为，
，顶点的坐标为．
（2）或．
17．解：．
18．解：（1）二次函数的解析式为．
（2）．
四、19．（1）证明：，为的弦，，
，，，
，．
（2）解：的半径为5．
20．解：（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求，．
21．（1）证明：是的中点，，．
四边形内接于，，
，．
在和中，，
，
（2）10．
22．解：（1），．
（2）点的坐标是或或．
五、23．解：（1）与的函数关系式为．
（2）设每天获取的利润为元，
则，
当时，最大．
答：销售单价定为12元/杯时，每天可获取的利润最大．
24．解：（1）．
（2）①四边形是正方形．理由如下：
由旋转的性质，得，，
，，
四边形是矩形．，四边形是正方形．
②过点作于点，则，
，．
在和中，，，
，，，，，．
（3）线段长度的取值范围是．
六、25．解：（1）当时，；
当时，．
（2）．
（3）当时，；当时，；
当时，；当时，．
26．解：（1）该抛物线对应的函数解析式为．
（2）轴，、两点的纵坐标相等，，
点在抛物线上，，
解得，（此时，点、重合，不合题意，舍去），
的值为．
（3）①当时，，解得，，
抛物线，顶点坐标为，
当图象上只有两个点到轴的距离为4时，，
，解得，的取值范围是．
②的取值范围是或．题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分