南宁市邕宁高级中学2024-2025学年高二上学期（10月份）月考数学试卷(含答案)

这是一份南宁市邕宁高级中学2024-2025学年高二上学期（10月份）月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．如图，在空间四边形中，E，F分别是，的中点，则( )
A.B.C.D.
3．在空间直角坐标系中，M关于平面的对称点为，若对应点M，，则( )
A.2B.C.3D.
4．已知点在圆外，则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
5．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作.在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”.若，则向量的斜坐标为( )
A.B.C.D.
6．已知直线，则下列说法不正确的是( )
A.直线l恒过点
B.若直线l与y轴的夹角为，则
C.直线l的斜率不可能等于0
D.若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或
7．已知空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则( )
A.B.C.或D.或
8．在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点B与点D之间的距离为3时，( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线及直线：，则下列说法正确的是( )
A.若，则或
B.存在a，使得
C.若，的交点横坐标为，则或1
D.若且，则一定经过第一象限
10．下列说法正确的是( )
A.已知，，则在上的投影向量为
B.A，B，M，N是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则A，B，M，N共面
C.若，则A，B，C，G四点共面
D.若向量，（，，是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
11．在正三棱柱中，，，与交于点F，点E是线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A.
B.存在点E，使得
C.三棱锥的体积为
D.直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题
12．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则________.
13．若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆相切于点B，则________.
14．若M，N分别为圆，与圆上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为________.
四、解答题
15．已知圆C的圆心在x轴上，且经过点,.
(1)求线段的垂直平分线方程；
(2)求圆C的标准方程；
(3)若过点的直线l与圆C相交于M、N两点，且，求直线l的方程.
16．如图，棱长为1的正四面体中，M，N分别为棱，的中点，设，，.
(1)用，，分别表示向量与；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
17．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且
（1）求角C；
（2）如图，边的垂直平分线交于E，交边于D，，，求长.
18．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局.每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛.约定先赢两局者获胜，比赛随即结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
(1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；
(2)判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大.
19．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，.
(1)求与平面所成角的大小；
(2)设Q为侧棱上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由题设，则直线l的斜率，
结合直线倾斜角的范围，易知直线l的倾斜角为.
故选：B
2．答案：A
解析：.
故选：A.
3．答案：C
解析：由题设，又对应点M，故，
所以，则.
故选：C
4．答案：A
解析：由题意，表示圆
故，即或
点在圆外
故，即
故实数m的取值范围为或
即
5．答案：D
解析：由题设，，，
所以，则，
所以，其对应坐标为.
故选：D
6．答案：B
解析：选项A，将点代入直线中，得到，等式成立，所以直线l恒过点，该选项正确.
选项B，直线l的斜率，若直线l与y轴的夹角为，则直线l的倾斜角为或.
当倾斜角为时，斜率，则.
当倾斜角为时，斜率，则.该选项错误.
选项C，直线l的斜率，因为（若，则直线方程变为，不是一般式直线方程），所以斜率不可能为0，该选项正确.
选项D，当时，直线，在y轴上无截距，不符合题意.
当时，令，得；令，得.
因为直线l在两坐标轴上的截距相等，则，即，，解得或，该选项正确.
故选：B.
7．答案：C
解析：空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，，，，又，，又为单位向量，.联立得或
，，
.故选C.
8．答案：B
解析：分别作，，垂足为E，F，则.
由，，可得，
所以，，.
因为，
则
即，
故，
故选：B.
9．答案：ACD
解析：对A：，一定不重合，若，则，解得或，故A正确；
对B：若，则，整理得，，
此方程无解，故不存在a，使得，故B错误；
对C：若，的交点横坐标为，则交点为，代入，
得，所以或1，故C正确；
对D：若且，则的斜率存在且不为零，在x轴上的截距，
所以一定经过第一象限，故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BD
解析：对于A，在上的投影向量为，
故A错误；
对于B，若、、不能构成空间的一组基底，则、、是共面向量，
所以A，B，M，N共面，故B正确；
对于C，由于，所以A，B，C，G四点不共面，故C错误；
对于D，在单位正交基底下的坐标为，
即，
所以在基底下满足
，
即，解得，则在基底下的坐标为，
故D正确.
故选：BD.
11．答案：AC
解析：由题意，画出正三棱柱如图所示，
向量
，故A正确；
假设存在点E，设，，所以.
因为，所以
.解得.故B错误；
因为正三棱柱，所以，
所以
，
所以，故C正确；
设中点为O，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面所成的角，.故D错误.
故选：AC.
12．答案：24
解析：因为，所以与平行.对于两个平行向量和，
根据向量平行的性质，存在实数，使得.
即.根据向量相等的对应分量相等，可得.
那么，.
将，代入，可得.
故答案为:24.
13．答案：
解析：设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为1，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.
14．答案：9
解析：由题意点半径为2，半径为1，
设点关于直线的对称点为，
如图：
则，解得，即，连接，
求的最小值可以转化为P点到两个圆心的距离再减去两个圆的半径的和的最小值，
再由点、关于直线的对称，
所以，
又，故答案为9.
15．答案：(1)；
(2)；
(3)或
解析：（1）设的中点为D，则.
由圆的性质，得，所以，得.
所以线段的垂直平分线的方程是.
（2）设圆C的标准方程为，其中，半径为，
由（1）得直线的方程为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，
所以圆C的标准方程为.
（3）由（1）设F为中点，则，得，
圆心C到直线l的距离，
当直线l的斜率不存在时，l的方程，此时，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l的方程，即，
由题意得，解得；
故直线l的方程为，
即；
综上直线l的方程为或.
16．答案：(1)，；
(2).
解析：（1）在正四面体中，M，N分别为棱，的中点，
则，
；
（2）由（1）知，，.
又，设异面直线与所成角为，
则
.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，由正弦定理得：，所以可得：.
因为，所以，所以，因为，所以
（2），是等腰三角形，
且是一个底角，故，E为的中点，则，在中，，，，由正弦定理得，故，故在中，.
18．答案：(1)；
(2)第一局甲乙对战才能使甲获胜的概率最大
解析：（1）第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况：
①乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为
②乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为
综上，甲获胜的概率为.
（2）若第一局乙丙对战，由（1）知甲获胜的概率为
若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况：
①甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为，
②甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为，
③甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为，
所以最终甲获胜的概率为；
若第一局甲丙对战，则甲获胜也有三种情况：
①甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜的概率为，
②甲丙对战甲胜，甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜的概率为，
③甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜的概率为，
所以最终甲获胜的概率为，
因为，
所以第一局甲乙对战才能使甲获胜的概率最大.
19．答案：(1)
(2)存在，或
解析：（1）因为，，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
取的中点M，连接，因为是等边三角形，所以，
又平面平面，两平面交线为，平面，
所以平面，
取的中点G，连接，则，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，，故，，两两垂直，以M为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
因为，由勾股定理得，
所以，，，，
平面的法向量为，
设与平面所成角的大小为，
则，
因为，所以；
（2）设平面的法向量为，
则，
令得，，则，
连接，因为平面，平面平面，所以，
不妨设，则，，
设，则，即，，，
故，
设，则，即，，，故，
设平面的法向量为，
则，即
解得，设，则，故，
故，
化简得，两边平方得，
，化简得，
解得或，
设，设，
则，
解得，，，
故，
当时，，
因为，所以，
解得，解得，满足要求，
当时，，
因为，所以，
解得，解得，满足要求，
故存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为，
此时的值为或.