竹溪县第二高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份竹溪县第二高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．某学校高二某班向阳学习小组8位同学在一次考试中的物理成绩如下:95,45,62,78,53,83,74,88,则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为( )
A.53B.74C.78D.83
2．在三棱锥中,已知,G是线段的中点,则( )
A.B.
C.D.
3．已知随机事件A和B互斥,且,则( )
A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8
4．已知平面向量,满足,,且在上的投影向量为,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
5．某同学参加学校组织的化学竞赛,比赛分为笔试和实验操作测试,该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为,在实验操作中结果为优秀的概率为,则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为( )
A.B.C.D.
6．一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当,时称为“凹数”（如213,312等）,若,且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率为( )
A.B.C.D.
7．如图,在正三棱柱中,M,N分别为棱DF,BC的中点,,则异面直线MC,EN所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8．在棱长为1的正方体中,若点E是线段AB的中点,点M是底面ABCD内的动点,且满足,则线段AM的长的最小值为( )
A.B.C.1D.
二、多项选择题
9．给出下列命题,其中是真命题的是( )
A.若直线l的方向向量,直线m的方向向量,则l与m垂直
B.若直线l的方向向量,平面的法向量,则或
C.若平面,的法向量分别为,,则
D.若向量,,则向量在上的投影向量
10．如图,正方体 的棱长为1,动点E在线段上,F,M分别是,的中点,则下列结论中正确的是( )
A.
B.当E为中点时,
C.存在点E,使得平面平面
D.三棱锥的体积为定值
11．有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回的随机取两次,每次取1个球,事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”,事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”,事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”,事件D表示“两次取出的球的数字之和是奇数”,则( )
A.A与B是互斥事件B.C与D互为对立事件
C.B发生的概率为D.B与C相互独立
三、填空题
12．甲､乙两套设备生产的同类型产品共4800件,采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为60的样本进行质量检测,若样本中有20件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为__________件.
13．已知向量,满足,,,且,则____________.
14．假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的、、,如果各车间的次品率依次为、、.现在从待出厂产品中检查出个次品,则它是由甲车间生产的概率是_______________.
四、解答题
15．已知向量，，且.
（1）求c的值；
（2）若与互相垂直，求实数k的值.
16．为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”,我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识,并组织知识竞赛.今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计,得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失.
请大家完成下面的问题：
(1)根据直方图求以下表格中、的值;
(2)求参赛同学初赛成绩的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表;
(3)若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本,再在该样本中成绩不低于80分的同学里任选2人继续参加教育局组织的校际比赛,求抽到的2人中恰好1人的分数低于90分且1人的分数不低于90分的概率.
17．如图所示,四棱锥的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证：;
(2)若平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得平面PAC？若存在,求的值;若不存在,试说明理由.
18．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
19．在空间直角坐标系中,已知向量,点.若直线l以为方向向量且经过点,则直线l的标准式方程可表示为;若平面以为法向量且经过点,则平面的点法式方程可表示为,一般式方程可表示为.
（1）若平面,平面,直线l为平面和平面的交线,求直线l的单位方向向量（写出一个即可）;
（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为,,,其中平面经过点,,,平面,平面,求实数m的值;
（3）若集合,记集合M中所有点构成的几何体为S,求几何体S的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.
参考答案
1．答案：C
解析：将8位同学考试的物理成绩从小到大排列:45,53,62,74,78,83,88,95,
由,所以数据的第60百分位数为78.
故选:C.
2．答案：D
解析：连接,因为G是线段的中点,所以
因为,所以
所以
故选：D.
3．答案：D
解析：因为A与B互斥,则,
可得,
所以.
故选：D.
4．答案：B
解析：因为,,在上的投影向量为,
所以,
所以,
所以,
由,可知.
故选:B
5．答案：C
解析：根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为:.
故选:C.
6．答案：C
解析：试题解题思路：由于,且a,b,c互不相同,故可得个三位数.若,则“凹数”有：213,214,312,314,412,413共6个;若,则“凹数”有：324,423共2个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有.
7．答案：D
解析：如图,取DE中点G,连接GM,GN.则,,
且,则四边形CNGM为平行四边形,则,.
由图则异面直线MC,EN所成角为或其补角,
中,,,.
由余弦定理可知.
异面直线MC,EN所成角的余弦值为.
故选:D.
8．答案：B
解析：如图所示,建立空间直角坐标系,设,,,,
所以,,由可得,即,
所以线段AM的长的最小值为.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：对于A,,
则,所以直线l与m垂直,故A是真命题;
对于B,,则,
所以或,故B是真命题;
对于C,,所以不成立,故C是假命题;
对于D,在上的投影为,
则向量在上的投影向量,
故D是真命题.
故选：ABD.
10．答案：ABD
解析：对于A,由于F,M分别是,的中点,故.
而,所以,故A正确;
对于B,当E是的中点时,由于,故,而,所以,故B正确;
对于C,假设平面平面,则两平面没有公共点,从而两直线,没有公共点,又由于两直线,都在下底面内,故.
而,这意味着F和A重合,矛盾,故C错误;
对于D,设E到平面的距离和F到直线的距离分别为和,则,从而三棱锥的体积,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：BCD
解析：由题意,不放回的随机取两次,共有种情况,
共个基本事件,
共个基本事件,故,故C正确;
显然事件A与有交事件,不是互斥事件,故A错误;
共12个基本事件,故,
共个基本事件,
所以C与D互为对立事件,故B正确;
事件共6个基本事件,
所以,
所以B与C相互独立,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：3200
解析：因为样本中有20件产品由甲设备生产,40件产品由乙设备生产,
所以乙设备生产的产品总数为：(件).
故答案为：3200.
13．答案：.
解析：由向量,满足,,
因为,可得,解得,即,
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：设“从待出厂产品中取出1个是次品”为事件A,从待出厂产品中取出1个产品是甲、乙、丙车间生产的事件分别为事件,,,
则,,,,,,
由全概率公式得
,
现在从待出厂产品中检查出1个次品,则它是由甲车间生产的概率是.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1），
所以，解得.
（2）当时，，，
因为与互相垂直，所以，解得.
当时，，.
因为与互相垂直，所以，解得.
综上，.
16．答案：(1)
(2)平均数为,方差
(3)
解析：(1)因为个体在区间内的频率是,
所以频数;
在内的频率是,
所以频数.
(2)平均数为,
方差.
(3)由等比例分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本,则抽样比例为,
所以在区间和内抽取的人数各为和,
分别记这7人为a、b、c、d、e和M、N,
则事件的总体是,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,
其中共有21个基本事件,
记所求的事件为A,则A中包含的基本事件为： ,,,,,,,,,共10个,
所以.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接AC,BD得交点O,连接SO,则点O是正方形ABCD的中心,
是等腰三角形,,
又,平面SBD,平面SBD,,
平面SBD,平面SBD, ;
(2)在SP上取点N,使得,过N作交SC于点E,连BN,
由面,面,则,
设底面边长为a,则,,
,由等面积法,得出 ,则 ,
P是ND的中点,O是BD的中点,
,面,面,故面,
又,平面,平面,则面,
,面BNE,则平面平面PAC,
面BNE,则平面APC,
,,
综上,存在, .
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）甲连胜四场的概率为.
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为；
乙连胜四场的概率为；
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为.
（3）丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.
因此丙最终获胜的概率为.
19．答案：（1）
（2）
（3）体积为128,相邻两个面（有公共棱）所成二面角为
解析：（1）记平面,的法向量为,,设直线l的方向向量,
因为直线l为平面和平面的交线,
所以,,即,取,则,
所以直线l的单位方向向量为.
（2）设,
由平面经过点,,,
所以,解得,即,
所以记平面,,的法向量为,,,
与（1）同理,与确定的交线方向向量为,
所以,即,解得.
（3）由集合知,S由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成,如图所示,
,,
设几何体S相邻两个面（有公共棱）所成二面角为,
平面,设平面EBC法向量,
平面,设平面ECD法向量,
所以,
所以几何体S相邻两个面（有公共棱）所成二面角为.
成绩
频数
x
y