山西省阳泉市2024届高三下学期第三次模拟测试数学试卷(解析版)

这是一份山西省阳泉市2024届高三下学期第三次模拟测试数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，则集合与集合的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数值域为，函数定义域为，
即，，所以有.
故选：C.
2. 已知是实系数方程的一个复数根，则（ ）
A. B. C. 1D. 9
【答案】A
【解析】因为是实系数方程的一个复数根，
则也是实系数方程的一个复数根，
所以，解得，
所以.
故选：A
3. 已知：，：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为：，
所以，
记；
，记为．
因为是的必要不充分条件，所以A，
所以，解得．
故选:A．
4. 已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由正弦函数性质知，当，即时，函数取得极大值，
则，由等差数列性质，得，
所以.
故选：D
5. 已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】设，的夹角为，
由可得：，
，所以，
在上的投影向量为，
则，
所以，即，则.
故选：B.
6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点,线段的中点为,且满足,若，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】因为是线段的中点，且，所以，
又，所以是等边三角形，
设的边长为，由双曲线的定义知，，，
所以，
又，所以，即，
所以，
在中，由余弦定理知， ，
所以
即，所以离心率.
故选：C
7. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被m除得的余数相同，则称和对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（ ）
A. 2019B. 2020C. 2021D. 2022
【答案】A
【解析】
,
所以被10除余9，
2019,2020,2021,2022除以10余9的是2019，
故选：A.
8. 已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，交于点，易得为的外心．
连接．交于点，易知平面，则三棱锥的外接球球心在上．设的外接圆圆心为平面，
由正方体中棱平面,得,又易得分别是中点，
所以．

设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为．则，
设，，
，又，
．
设，则，
设，则，
在单调递增，又，
所以在单调递减，在单调递增，又，
所以．
故选：C．
二、多项选择题
9. 已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】BD
【解析】若圆上仅存在一点使，则以为直径的圆与圆相内切或外切，
由，则以为直径的圆的圆心为，半径为，
则有或，
分别解得或，故或，
故B、D正确，A、C错误.
故选：BD.
10. 在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则B与C互斥
【答案】BCD
【解析】对于A，A与B相互独立，则,
，A错误；
对于B，因为A与C互斥，所以,所以
,,
所以,B正确；
对于C，,因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，
所以,所以，C正确；
对于D，显然，即，
由，得，
解得，所以B与C互斥，D正确.
故选：BCD.
11. 已知定义在上的函数满足，则（ ）
A. 是奇函数B. 在上单调递减
C. 是偶函数D. 在在上单调递增
【答案】AB
【解析】定义在上的函数满足，
令，则，所以，
令，则，所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数，
由反比例函数的单调性可得函数在和上单调递减.
故选：AB.
三、填空题
12. 已知，则__________.
【答案】
【解析】因为，
所以.
故答案为：.
13. 已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和______．
【答案】
【解析】因为，
所以，
故时，两式相减得，
即，
因为，即，
所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，


故答案为:.
14. 已知函数恰有3个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】令，得或.
作出的大致图象，如图所示，
这两个函数图象的交点为，因为，，
所以由图可知的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
15. 如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，．
（1）若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离；
（2）求值．
解：（1）在中，由正弦定理得，
即，
解得，所以，
则为等腰直角三角形，所以，
则．
在中，由余弦定理得
，
故．
故A，C两点间距离为．
（2）设，则由题意可知，，．
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
又，所以，
解得，
所以．
16. 全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表.
（1）完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；
（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.
（i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01）
附：，.
（1）解：根据题意，可得的列联表：
零假设：球队的胜负与甲球员是否上场无关
此时，
所以，有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关.
（2）解：由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.
（i）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球，
则,
所以，当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率：
.
（ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，
甲球员打中锋的概率为.
17. 在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形，点是线段的中点，．

（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：设与交点为，连接．

四边形是菱形，是的中点．
在中，是等边三角形，．
在中，是的中点，．
又平面，平面．
（2）解：连接，
是等边三角形，是线段的中点，
又平面平面，平面平面，平面，
平面．
以为原点，所在直线分别为轴，轴如图建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，
于是，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角大小为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
18. 设函数.
（1）当时恒成立，求k的最大值；
（2）证明：对任意正整数n，不等式恒成立.
（1）解：由知，
设，
则
令，得.
当时，有成立，在单调递增，
，
满足题意.
当时，有，，
所以，，
于是有时，.
所以在单调递减，
结合，知时，舍去.
综上，k最大值为2.
（2）证明：由（1）知，当且仅当时等号成立，
于是有：，
，
，
累加可得：
.证毕！
19. 已知圆．点在圆上，延长到，使，点在线段上，满足．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设点在直线上运动，．直线与轨迹分别交于两点，求证：所在直线恒过定点．
（1）解：，
，为的中点，
又为的中点，，
则，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，
而，点的轨迹的方程为；
（2）证明：由（1）得是椭圆的左右顶点，
设，
由三点共线，得，
而，
，
由三点共线，得，
而，
，
，即，
设的方程为，联立，
得，
则，
，
，由，
得，
即，
，
恒成立，，
所在直线恒过定点．
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
40
45
未上场
3
合计
42
0.15
0.10
0.05
0.025
0010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6635
10.828
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
40
5
45
未上场
2
3
5
合计
42
8
50