山西省阳泉市2024届高三下学期第三次模拟测试数学试题

这是一份山西省阳泉市2024届高三下学期第三次模拟测试数学试题，共11页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，已知正方体的棱长为等内容，欢迎下载使用。

数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
4．考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合，则集合与集合的关系是（ ）
A．B．C．D．
2．已知是实系数方程的一个复数根，则（ ）
A．B．C．1D．9
3．已知，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知非零向量满足，且与上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．2D．
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．如9和21除以6所得的余数都是3，则记为．若，则的值可以是（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
8．已知正方体的棱长为．为线段的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（ ）
A．B．
C．D．若，则与互斥
11．已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．是奇函数B．在上单调递减
C．是偶函数D．在在上单调递增
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，则______．
13．已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和______．
14．已知函数恰有3个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题13分）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取四个点，使得，测得．
（1）若选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求两点间距离；
（2）求的值．
16．（本小题15分）全国“村”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱．每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况整理成如下列联表：
（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；
（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时、打前锋、中锋、后卫的概率分别为，相应球队赢球的概率分别为．
（i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ii）当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，求甲球员打中锋的概率．（精确到0.01）
附：．
17．（本小题15分）在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形，点是线段的中点，．
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本小题17分）设函数
（1）当时，恒成立，求的最大值；
（2）证明：对任意正整数，不等式．
19．（本小题17分）已知圆．点在圆上，延长到，使，点在线段上，满足．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设点在直线上运动，．直线与轨迹分别交于两点，求证：所在直线恒过定点。
机密★启用前
2024年阳泉市高三年级第三次模拟测试试题
高三数学参考答案和评分标准
一、单项选择题：（每小题5分，共40分）
二、多项选择题：（每小题5分，共20分）
三、填空题：（每小题5分，共20分）
12．13．或14．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分）
15．解：（1）在中，由正弦定理得，
即，
解得，，
为等腰直角三角形，，
则．
在中，由余弦定理得
，
故．
故两点间距离为．
（2）设，则由题意可知，．
在中，由正弦定理得，
即，
在中，由正弦定理得，
即，
又
，
．
16．解：（1）根据题意，可得的列联表：
零假设：球队的胜负与甲球员是否上场无关
此时
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关．
（2）由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为、、，
相应球队赢球的概率分别为、、．
（i）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球，
则．
．
当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率：
.
（ii）当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，甲球员打中锋的概率为：
故当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，
甲球员打中锋的概率约为0.55．
17．解：（1）设与交点为，连接．
四边形是菱形，
是的中点．
在中，
是等边三角形，．
在中，是的中点，．
（4分）
又平面，
平面．
（2）连接，
是等边三角形，是线段的中点，．
又平面平面，平面平面平面，
平面．
以为原点，、所在直线分别为轴、轴如图建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，，，
于是，
设平面的法向量为，则，
即，
令，得，
平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角大小为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18．解：（1）由已知得，，设
则总成立，
在上递增，，
当即时，可知总成立，在上递增，
总成立，故满足题意．
当时，
在上递增，存在使得，
由得，由得在上递减，
此时，，显然与题意矛盾，不合题意．
综上，为所求．
（2）由（1）可得当，且时，恒成立．
，
当且仅当时等号成立，令，
则，
．
故．
19．解：（1），
，
为的中点，
又为的中点，，
则，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，而，
点的轨迹的方程为；
（2）由（1）得是椭圆的左右顶点，
设，
由三点共线，得，而，
，
由三点共线，得，而，
，
，即，
设的方程为，
联立，得，
则，
，
，
由，
得，
即，
，
恒成立，，
所在直线恒过定点．
（以上答案仅供参考，如有不同解法酌情给分）甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
40
45
未上场
3
合计
42
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
C
A
A
D
B
C
A
D
题号
9
10
11
选项
BD
BCD
AB
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
40
5
45
未上场
2
3
5
合计
42
8
50