2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期中必刷常考题之一定是直角三角形吗

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A．三边之比为1：5：2
B．三内角之比为3：4：5
C．其中一个内角的度数等于另外两个内角度数的差
D．三边长分别为40、9、41
2．（2023秋•宿迁期末）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB=41，BC＝4，AC＝5D．∠A＝40°，∠B＝50°
3．（2024春•兖州区期末）以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（ ）
A．2，2，3B．4，5，7C．5，12，13D．10，10，10
4．（2024春•红山区期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．北偏西30°B．南偏西30°C．南偏东60°D．南偏西60°
5．（2024•张家口二模）如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ）
A．C1B．C2C．C3D．C4
二．填空题（共5小题）
6．（2024春•海珠区期末）已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为 ．
7．（2024春•潮安区期末）一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是 cm．
8．（2024春•广水市期末）如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，∠ACB＝90°，则阴影部分的面积为 ．
9．（2024春•港南区期末）一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 ．
10．（2024•龙亭区一模）已知等腰△ABC的底边BC＝5，D是腰AB上一点，且CD＝4，BD＝3，则AD的长为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•惠来县校级月考）如图所示四边形ABCD，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求：
（1）AC的长；
（2）该四边形ABCD的面积．
12．（2023秋•浑南区期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC中BC边上的高．
13．（2024春•金乡县期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，AC⊥BC，点D为△ABC内一点，且CD＝3，BD＝4．
（1）求BC的长；
（2）求图中阴影部分（四边形ABDC）的面积．
14．（2023秋•嵩县期末）如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
15．（2024春•谷城县期末）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的面积与周长；
（2）∠BCD是直角吗？
2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期中必刷常考题之一定是直角三角形吗
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春•献县期中）满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三边之比为1：5：2
B．三内角之比为3：4：5
C．其中一个内角的度数等于另外两个内角度数的差
D．三边长分别为40、9、41
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】判断三角形是不是直角三角形，已知三角形的三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【解答】解：A、设三边为k，5k，2k，因为k2+(2k)2=(5k)2，所以是直角三角形，不符合题意；
B、因为53+4+5×180°＜90°，所以不是直角三角形，符合题意；
C、因为一个内角的度数等于另外两个内角度数的差，即：∠A＝∠C﹣∠B，
因为∠A+∠C+∠B＝180°，即∠C﹣∠B+∠C+∠B＝180°，
则∠C＝90°，所以是直角三角形，不符合题意；
D、因为92+402＝412，所以是直角三角形，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
2．（2023秋•宿迁期末）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB=41，BC＝4，AC＝5D．∠A＝40°，∠B＝50°
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、设AB＝3x，则BC＝4x，AC＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵42+52＝（41）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A＝40°，∠B＝50°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
3．（2024春•兖州区期末）以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（ ）
A．2，2，3B．4，5，7C．5，12，13D．10，10，10
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵22+22≠32，
∴以2，2，3为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵42+52≠72，
∴以4，5，7为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵52+122＝132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵102+102≠102，
∴以10，10，10为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4．（2024春•红山区期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．北偏西30°B．南偏西30°C．南偏东60°D．南偏西60°
【考点】勾股定理的逆定理；方向角．
【专题】应用题．
【答案】C
【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．
【解答】解：甲的路程：40×15＝600m，
乙的路程：20×40＝800m，
∵6002+8002＝10002，
∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，
∵甲客轮沿着北偏东30°，
∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5．（2024•张家口二模）如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ）
A．C1B．C2C．C3D．C4
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】在正方形网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可．
【解答】解：AB2＝10，AC12=5，BC12=5，
∴AB2=AC12+BC12，
∴△ABC1是直角三角形，
∵AC22=10，AB2＝10，BC22=20，
∴BC22=AC22+AB2，
∴△ABC2是直角三角形，
∵AB2＝10，AC32=20，BC32=10，
∴AC32=AB2+BC32，
∴△ABC3是直角三角形，
∵AC42=16，BC42=18，AB2＝10，
∴BC42≠AC42+AB2，
∴△ABC4不是直角三角形，
所以△ABC2，△ABC3，△ABC1是直角三角形，但△ABC4不是直角三角形，
故选：D．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定，关键是勾股定理的应用．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春•海珠区期末）已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为 30 ．
【考点】勾股定理的逆定理；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三边长度可利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形．再求面积．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，
∴52+122＝（13）2，
∴△ABC是直角三角形，两直角边是5，12，
∴△ABC的面积为：12×5×12＝30，
故答案为：30．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
7．（2024春•潮安区期末）一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是 12 cm．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】数形结合．
【答案】见试题解答内容
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，然后再利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：如图：设AB＝25是最长边，AC＝15，BC＝20，过C作CD⊥AB于D，
∵AC2+BC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
∵S△ACB=12AC×BC=12AB×CD，
∴AC×BC＝AB×CD
15×20＝25CD，
∴CD＝12（cm）；
故答案为：12．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理和三角形的面积公式的应用．根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形是解答此题的突破点．
8．（2024春•广水市期末）如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，∠ACB＝90°，则阴影部分的面积为 24 ．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】24．
【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，从而可得∠ABD＝90°，最后根据阴影部分的面积＝△ABD的面积﹣△ABC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：连接AB，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB=AC2+BC2=42+32=5，
∵BD＝12，AD＝13，
∴AB2+BD2＝52+122＝169，AD2＝132＝169，
∴AB2+BD2＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ABD＝90°，
∴阴影部分的面积＝△ABD的面积﹣△ABC的面积
=12AB•BD−12AC•BC
=12×5×12−12×4×3
＝30﹣6
＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．（2024春•港南区期末）一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 132 ．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知先判定其形状，再根据直角三角形斜边上中线的性质求得其中线长．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，12，13，符合勾股定理的逆定理52+122＝132，
∴此三角形为直角三角形，则13为直角三角形的斜边，
∵三角形斜边上的中线是斜边的一半，
∴三角形最长边上的中线为132．
故答案为：132．
【点评】本题考查勾股定理的逆用，解答此题的关键是先判断出三角形的形状，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半判断．
10．（2024•龙亭区一模）已知等腰△ABC的底边BC＝5，D是腰AB上一点，且CD＝4，BD＝3，则AD的长为 76 ．
【考点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】76．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，即∠ADC＝90°，设AB＝AC＝a，在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2＝（a﹣3）2+42，求出a即可．
【解答】解：设AB＝AC＝a，
∵BC＝5，CD＝4，BD＝3，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，
∴a2＝（a﹣3）2+42，
∴a=256，
∴AD=256−3=76．
故答案为：76．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得∠ADC＝90°是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•惠来县校级月考）如图所示四边形ABCD，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求：
（1）AC的长；
（2）该四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】推理能力．
【答案】（1）5；
（2）36．
【分析】（1）根据△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，运用勾股定理求得AC=AB2+BC2=5；
（2）根据三角形面积公式得到S△ABC=12AB⋅BC=12×3×4=6，根据勾股定理的逆定理推出△ACD是直角三角形，根据三角形面积公式得到S△ACD=12AC⋅CD=12×5×12=30．推出S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD．
【解答】解：（1）∵△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，
∴AC=AB2+BC2=5；
（2）S△ABC=12AB⋅BC=12×3×4=6，
∵在△ACD中，CD＝12，AD＝13，AC＝5，
∴CD2+AC2＝122+52＝132＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴S△ACD=12AC⋅CD=12×5×12=30．
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36．
【点评】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，三角形的面积等，熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，三角形的面积公式计算面积，是解答此题的关键．
12．（2023秋•浑南区期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC中BC边上的高．
【考点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】几何图形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，再根据勾股定理求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出BE＝CE＝10cm，根据勾股定理求出AE即可．
【解答】解：（1）∵BC＝20cm，且CD＝16cm，BD＝12cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
设AD＝x cm，则AC＝AB＝（x+12）cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即x2+162＝（x+12）2，
解得：x=143，
即AD=143cm；
（2）AB＝AC=143+12=503（cm），
过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高，
∵AB＝AC，BC＝20cm，
∴BE＝CE＝10（cm），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE=AB2−BE2=(503)2−102=403（cm），
即△ABC中BC边上的高是403cm．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理得出∠BDC＝90°是解此题的关键．
13．（2024春•金乡县期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，AC⊥BC，点D为△ABC内一点，且CD＝3，BD＝4．
（1）求BC的长；
（2）求图中阴影部分（四边形ABDC）的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）5；
（2）24．
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）由勾股定理逆定理可证△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，再根据S四边形ABDC＝S△ABC﹣S△BCD，结合三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴BC=AB2−AC2=132−122=5；
（2）∵CD＝3，BD＝4，BC＝5，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴S△BCD=12BD⋅CD=12×4×3=6．
∵S△ABC=12AC⋅BC=12×12×5=30，
∴S四边形ABDC＝S△ABC﹣S△BCD＝24．
【点评】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，三角形的面积计算．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键．
14．（2023秋•嵩县期末）如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论；
（2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD＝90°，由于四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】解：（1）连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC=AB2+BC2=92+122=15．
即A、C两点之间的距离为15cm；
（2）∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD
=12AB•BC+12AC•CD
=12×9×12+12×15×8
＝54+60
＝114（cm2）．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．
15．（2024春•谷城县期末）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的面积与周长；
（2）∠BCD是直角吗？
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）四边形ABCD的面积为14.5，周长为26+35+17；
（2）∠BCD是直角，理由见解答．
【分析】（1）利用勾股定理求出各边长，将四条边相加得出周长，进而利用四边形所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案；
（2）利用勾股定理的逆定理得出答案．
【解答】解：（1）由勾股定理可得：AB2＝52+12＝26，
则AB=26，
∵BC2＝42+22＝20，
∴BC＝25
∵CD2＝22+12＝5，
∴CD=5，
∵AD2＝12+42＝17，
∴AD=17，
故四边形ABCD的周长为：26+25+5+17=26+35+17．
四边形ABCD的面积为：5×5−12×（1×5+4×2+2×1+4×1）﹣1×1＝25﹣10.5＝14.5；
（2）∠BCD是直角，理由如下：
由（1）得：BC2＝20，CD2＝5，而BD2＝32+42＝25，
∴DC2+BC2＝BD2，
∴∠BCD＝90°．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
考点卡片
1．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
2．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
3．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
6．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．