山西省吕梁市2024届高三第三次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份山西省吕梁市2024届高三第三次模拟考试数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了 设，则对任意实数，则是的， 设，当变化时的最小值为， 在四面体中，与互相垂直，，且， 设函数等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足，则复数在复平面对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由复数满足，可得，则，
则复数 对应的点为位于第四象限.
故选：D.
2. 已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在中，取为基底，
则，
因为点分别为的中点，,
所以，
所以.
故选：B.
3. 设，则对任意实数，则是的（ ）
A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意，函数的定义域为，
且，
所以为奇函数，
函数与均为递增函数，所以在单调递增，
因为函数为奇函数，所以在也为单调递增函数，
又因为，所以函数在上单调递增，
由，可得，所以，所以，
故对任意实数，则是的充要条件.故选：C.
4. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，当时，的可能取值为，且，
所以
.
故选：C
5. 已知a，，若，，则b的可能值为（ ）
A. 2.5B. 3.5C. 4.5D. 6
【答案】B
【解析】由得，设，则，
又，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
因为，所以．
结合选项可知B正确，ACD错误.
故选：B.
6. 设，当变化时的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在，在上，
设到准线的垂线交准线于点，轴于.
，
又为焦点到上点的距离，设，
因为,所以过点的切线的斜率，当与切线垂直时，
解得，所以，所以的最小值为.
故选：C.
7. 在四面体中，与互相垂直，，且
，则四面体体积的最大值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 4.5
【答案】A
【解析】由题可知，点在平面内以为焦点的椭圆上，点在平面内以为焦点的椭圆上，
所以焦距为，即，
由椭圆定义可知长轴长为，即，
所以到中点距离的最大值为短半轴长，
所以中，，，
所以，又，
所以当垂直平面时四面体体积最大，最大值为，
故选：A.
8. 设函数.若实数使得对任意恒成立，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】B
【解析】函数
，
依题意，对任意的恒成立，
即对恒成立，
因此对恒成立，
于是，显然，否则且，矛盾，
则，显然，否则且，矛盾，
从而，解得，
所以.
故选：B.
二､多项选择题
9. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A. 当最大
B. 使得成立的最小自然数
C.
D. 中最小项为
【答案】BD
【解析】根据题意：，即，
两式相加，解得：，当时，最大，故A错误
由，可得到，所以，
，
所以，故C错误；
由以上可得：，
，而，
当时，；当时，；
所以使得成立的最小自然数，故B正确.
当，或时，；当时，；
由，
所以中最小项为，故D正确.
故选：BD.
10. 已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（ ）
A
B.
C.
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】根据题意，设，
对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以，
即，所以A错误；
对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得，
所以，
又由余弦定理得，
可得，
所以，所以B正确；
对于C中，由，可得，所以C正确；
对于D中，因为，所以，
由可得，所以，所以D正确.
故选：BCD.
11. 已知正方体棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（ ）
A. 若点在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为
B. 平面平面
C. 若，则最小值为
D. 若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于，如图：
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则
则，
因为
所以，
故，则的取值范围为，故A不正确；
对于B，在正方体中，平面平面，显然成立.故B正确；
对于C：正方体的棱长为2，为空间中的一动点，在上取点，使，在上取点，使,如图：
由得，即，故为线段上一点.
将平面沿展开至与平面共面，如下图：
易知：，
则
在平面图中，当三点共线时，取得最小值，为，故C正确；
对于D：因为，所以，又，可知是线段上一点，如图：
连接并与交于点.
当与重合时，平面与平面重合，此时截面面积为4.
当在线段（不含点）上时，平面截正方体所得截面为三角形，且当与重合时，截面为，此时截面面积最大，由三边长均为，故此时截面面积最大值为.
当在线段（不含点）上时，如图：
延长与交于点，作平行于并与交于点，则截面为等腰梯形，设，则，梯形的高，面积为.
由图可知：梯形的面积一定小于矩形的面积，且矩形面积为，
所以.
当与重合时，截面为矩形，面积为.
故平面截正方体所得截面面积的最大值为，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题
12. 在的展开式中，的系数为___________(用数字作答)
【答案】15
【解析】由二项式的展开式的通项公式，得，令，则，所以系数为，
故答案为：15.
13. 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与轴的负半轴交于点，已知，则__________.
【答案】
【解析】设到直线的距离为，因为，可得，所以，所以，即且，
设直线的方程为，联立方程组，整理得，
则，
所以，则，
联立方程组，解得，
由抛物线的定义，可得.
故答案为：
14. 对任意闭区间I，用表示函数 在I上的最大值，若正实数 a 满足 ,则a的值为 ________ .
【答案】或
【解析】当时， ，由 可得， 此时；
当时，， 或.
若，则由 可得，因，故无解；
若，则由 可得，
此时，即；
当时，，因区间的长度至少为，
故，
而显然不成立,故舍去；
综上，a的值为或.
故答案为：或.
四､解答题
15. 某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500 家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如下频率分布直方图.
（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01);
（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这 50 家食品生产企业中随机抽取5 家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96,100]的企业数为 Y，求 Y的分布列与数学期望；
（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布， 其中μ近似为50 家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ²近似为样本方差s²，经计算得 ，利用该正态分布，估计该市500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数).
附参考数据与公式： 则 P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
解：（1）这 50家食品生产企业考核成绩的平均数为：
由频率分布直方图得内，

解得中位数 (分) .
（2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有
家，
其中考核成绩在内的企业有家，
由题意可知，的可能取值为，
,
,
,
∴Y的分布列为：
.
（3）由题意得,
,
∴ (家) ，
∴估计该市 500家食品生产企业质量管理考核成绩高于 95.32分的有11家.
16. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，使恒成立，则实数的取值范围.
解：（1）的定义域为，
令，
又，
，当，即时，，此时在上单调递增
，当，即时，
令，解得
其中，当时，
所以在单调递增，在单调递减；
当时，，
故在单调递减，单调递增.
综上：在上单调递增；
在上单调递增；
在上单调递减，在上单调递增.
（2）法一：不妨设，则，同除以得，所以令，
当时，恒成立，
，若恒成立，符合题意，
，当恒成立，
令则，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，
，若，同理恒成立，由知，当
所以不存在满足条件的.
综上所述：.
法二：.
令，则只需在单调递增，
即恒成立，
，令，则恒成立；
又，
①当时，在单调递增成立；
②当时，在单调递增，又，故不恒成立.不满足题意；
③当时，由得在单调递减，在单调递增，因为恒成立，所以，
解得，综上，.
17. 如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，.
（1）求证：，并求三棱锥的体积；
（2）若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.
解：（1）设，连接，
为底面圆的内接正三角形，
为中点，
又，
；
，
；
平面平面平面平面，
平面平面平面平面，
又平面，
又平面，又平面，
所以，
又平面，
平面平面平面；
为中点，，即，
又平面，平面，
平面平面，
，
，
又平面，
.
（2）为中点，又，
为中点，，
，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
，
，
设，
；
设平面的法向量，
则，令，解得：，
设直线与平面所成角为，
，
令，则，
，
当，即时，，
，此时，
，
点到平面的距离.
18. 如图，已知分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的动点，若到左焦点距离的最大值为，最小值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过动点作椭圆的切线，分别与直线和相交于两点，记四边形的对角线相交于点，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）设为椭圆上任意一点，由得
则，
且，可得，
由题意可得：，解得，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为点在椭圆上，则，即，
结合在圆上一点处的切线方程猜测椭圆上的一点处的切线方程为，
下面证明这个猜想：联立方程，消去y整理得，
即，整理得，解得，
可知直线与椭圆有且仅有一个交点，
即切线的方程为，
令得，令知：得，
因为，则直线，①
又因为，则直线，②
由①②知：，
点的轨迹方程为，
即存在定点，使得为定值6，
即的坐标为或.
19. 对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（2）已知数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.
（1）解：数列的通项公式为，
对任意的，都有，
取，则，所以 是“数列”.
（2）①解：数列为等差数列，若是“数列”，，且，
则，
对任意的，
，由题意存在，使得，
即，显然，
所以，即，
.所以是8的正约数，即，
时，；
时；
时；
时.
综上，的可能值为.
②证明：若对任意，存在，使得成立，
所以存在，
设数列公差为，则，
可得，
对任意，
则，取，
可得，所以数列是“数列”.
Y
0
1
2
P