北京市东城区2022-2023学年高一上学期期末统一检测数学试题

这是一份北京市东城区2022-2023学年高一上学期期末统一检测数学试题，共14页。

第一部分（选择题 共30分）
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集的定义，即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：A
2. 不等式的解集是（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接解出不等式即可.
【详解】，解得或，故解集为或，
故选：B.
3. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.
【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A选项在单调递增，故A错误，
对D选项在单调性递增，故D错误，
根据指数函数图像与性质可知在单调递减，故C正确，
根据对数函数图像与性质可知在单调性递增.
故选：C.
4. 命题“”的否定是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据存在命题的否定即可得到答案.
【详解】根据存在命题的否定可知，存在变任意，范围不变，结论相反，
故其否定为.
故选：A.
5. 已知，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式的性质求解即可.
【详解】因为，所以.
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为.
故选：D
6. 函数的图象关于（ ）
A. x轴对称B. y轴对称C. 原点对称D. 直线对称
【答案】C
【解析】
【分析】求出，可知，可得函数为奇函数，进而得到答案.
【详解】函数的定义域为R，，
所以有，所以为奇函数，图象关于原点对称.
故选：C.
7. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质及充分条件、必要条件即可求解.
【详解】推不出（举例，），
而,
“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
8. 已知函数，对a，b满足且，则下面结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由对数函数的运算性质可知移项化简即可得.
【详解】因为函数，对a，b满足且，
所以，
则
所以，
即，
解得
故选：D
9. 记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量.已知，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数运算性质计算即可.
【详解】因为，
所以由得：
，
即，
又，
所以.
故选：A.
10. 已知实数互不相同，对满足，则对（ ）
A. 2022B. C. 2023D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据代数基本定理进行求解即可..
【详解】国为满足，
所以可以看成方程的个不等实根，根据代数基本定理可知：对于任意实数都有以下恒等式，
，
令，于有
，，
，
，
，
，
所以，
故选：D
【点睛】关键点睛：根据代数基本定理是解题的关键.
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.
【详解】由得：，的定义域为.
故答案为：.
12. __________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算作答.
详解】.
故答案为：6
13. 若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由，可知，再结合，及，可求出答案.
【详解】因为，所以，
所以，．
故答案为：.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
14. 如图，单位圆被点分为12等份，其中.角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则__________；若，则角的终边与单位圆交于点__________.（从中选择，写出所有满足要求的点）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求出终边经过则对应的角和的关系.
【详解】，所以终边经过则
角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则，
所以
，即或
即或
经过点
故答案为：；
15. 已知函数,
①当时，在上的最小值为__________；
②若有2个零点，则实数a取值范围是__________.
【答案】 ①. ； ②. 或．
【解析】
【分析】①根据函数式分段确定函数的单调性后可得最小值；
②结合函数和的图象，根据分段函数的定义可得参数范围．
【详解】①，时，是增函数，，
时，是增函数，因此，
所以时，的最小值是；
②作出函数和的图象，它们与轴共有三个交点，，，
由图象知有2个零点，则或．
故答案为：；或．
三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.
（1）求的值；
（2）当时，求的值域.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)根据诱导公式和特殊角三角函数值求解；(2)利用余弦函数性质及不等式性质求的值域.
【小问1详解】
因为，
所以，
【小问2详解】
由(1) ，又，所以，
所以，故当时，的值域为.
17. 已知关于x的不等式的解集为A.
（1）当时，求集合A；
（2）若集合，求a的值；
（3）若，直接写出a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）直接解不等式可得；
（2）由题意得是方程的根，代入后可得值；
（3）代入后不等式不成立可得．
【小问1详解】
时，不等式为，即，，
∴；
【小问2详解】
原不等式化为，
由题意，解得，
时原不等式化为，或，满足题意．
所以；
【小问3详解】
，则，解得．
18. 函数的定义域为，若对任意的，均有.
（1）若，证明：；
（2）若对，证明：在上为增函数；
（3）若，直接写出一个满足已知条件的的解析式.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）证明过程见解析 （3），（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）赋值法得到；
（2）赋值法，令，且，从而得到，证明出函数的单调性；
（3）从任意的，均有，可得到函数增长速度越来越快，故下凸函数符合要求，构造出符合要求的函数，并进行证明
【小问1详解】
令，则，
因为，所以；
【小问2详解】
令，且，则，
所以，
故，
因为对，
所以，
故，即，
在上为增函数；
【小问3详解】
构造，，满足，
且满足对任意的，，理由如下：
，
因为，故，，
故对任意的，.
19. 已知函数.
（1）若为偶函数，求a的值；
（2）从以下三个条件中选择两个作为已知条件，记所有满足条件a的值构成集合A，若，求A.
条件①：是增函数；
条件②：对于恒成立；
条件③：，使得.
【答案】（1）；
（2）选①②，不存在；选①③，；选②③，．
【解析】
【分析】（1）由偶函数的定义求解；
（2）选①②，时，由复合函数单调性得是增函数，时，由单调性的定义得函数的单调性，然后在时，由有解，说明不满足②不存在；选①③，同选①②，由单调性得，然后则函数的最大值不大于4得的范围，综合后得结论；选②③，先确定恒成立时的范围，再换元确定新函数的单调性得最大值的可能值，从而可得参数范围．
【小问1详解】
是偶函数，则，
恒成立，∴，即；
【小问2详解】
若选①②，（），
若，则是增函数，由得，因此不恒成立，不合题意，
若，设，则，
恒成立，设，则，
，
当时，，，，是减函数，
时，，，，是增函数，
又是增函数，因此在定义域内不是增函数，不合题意．
故不存在满足题意；
若选①③，
若，则是增函数，
若，设，则，
恒成立，设，则，
，
当时，，，，是减函数，
时，，，，是增函数，
又是增函数，因此在定义域内不是增函数，不合题意．
故不存在满足题意；
要满足①，则，
所以时，，由得，
综上，；
所以．
若选②③，
若，则由，不恒成立，
只有时，恒成立，设，则，
又时，，，
恒成立，设，则，
，
当时，，，，是减函数，
时，，，，是增函数，
要满足③，若即时，，所以；
若即时，，所以；
若，即时，，所以；
综上，
所以．
20. 对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.
（1）若，求；
（2）若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组；
（3）若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值.
【答案】（1）
（2）的最大值为，
（3）n的最大值为11
【解析】
【分析】（1）根据新定义即可求出；
（2）由，且要使得取到最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.
（3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可.
【小问1详解】
由集合知，，
所以
【小问2详解】
因为，，
由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同，
根据定义要让取到最大值，
则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，
4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中
这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，
所以有一组满足题意，
【小问3详解】
要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为，
因为是集合两两元素个数均不相同的非空真子集，
不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如,
则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如，
同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如，
是集合中有个元素的非空真子集，且，例如，
所以，
解得或（舍去），
所以n的最大值为11.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.