广西壮族自治区来宾市2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份广西壮族自治区来宾市2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，，，则（ ）
A. －4B. 7C. －8D. 6
【答案】D
【解析】因为，即，
所以，解得，所以.
故选：D.
2. 在矩形中，，，则等于（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】在矩形中，由，可得，
又因为，故，故．
故选：A.
3. 下列命题正确的是（ ）
A. 棱柱的底面一定是平行四边形B. 棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
C. 棱锥的底面一定是三角形D. 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
【答案】D
【解析】对于A选项，三棱柱的底面是三角形，故A选项错误；
对于B选项，过棱锥顶点与底面内的线构成的截面将棱锥分为两个棱锥，故B选项错误；
对于C选项，棱锥有三棱锥、四棱锥等，故底面不一定为三角形，故C选项错误；
对于D选项，当该截面为平行于上下底面的截面时，分成的两部分依然为棱柱，
故D选项正确.
故选：D.
4. 设平面平面，在平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线，则（ ）
A. 直线必垂直于平面B. 直线必垂直于平面
C. 直线不一定垂直于平面D. 过的平面与过的平面垂直
【答案】C
【解析】因为平面平面，在平面内一条直线垂直于平面内的一条直线，
选项A中，只有直线是与的交线时，才能得到与平面垂直，所以错误；
选项B中，只有直线是与的交线时，才能得到与平面垂直，所以错误；
选项C中，当直线是与的交线时，可以得到，当直线不是与的交线时，
不能得到，所以正确；
选项D中，当直线不是与的交线时，不能得到，所以不能得到过的平面与过的平面垂直，所以错误.
故选：C.
5. 已知正方形的边长为2，它的水平放置的一个平面图形的直观图为（在轴上），则图形的面积是（ ）
A. 4B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】根据题意，平行四边形的底边长为2，另一边长为1，夹角为，
所以图形的面积为．
故选：C．
6. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被 录用的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】甲乙都未被录用的概率为，所以甲或乙被录用的概率为.
故选：D.
7. 某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间（健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标），所得数据都在区间（单位：分钟）中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的百分位数是（ ）
A. 29分钟B. 27分钟C. 29.5分钟D. 30.5分钟
【答案】B
【解析】健身运动时间在30分钟以下的比例为
，
在25分钟以下的比例为，因此百分位数一定位于内，
由，可以估计健身运动时间的样本数据的百分位数是27分钟．
故选：B.
8. 已知三棱锥是球的内接三棱锥，其中是等腰直角三角形，平面，，，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为平面，平面，平面，
所以，，
又因为是等腰直角三角形，，所以，
所以可将三棱锥补成长方体，如图：
则三棱锥A-BCD的外接球就是长方体的外接球，长方体外接球的直径等于长方体的对角线，
即，
所以外接球的表面积为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面B 一条直线和直线外一点确定一个平面
C. 圆心和圆上两点可确定一个平面D. 梯形可确定一个平面
【答案】BD
【解析】平面上不共线三点确定一个平面，故A错误；
一条直线和直线外一点确定一个平面，故B正确；
如果圆上两点和圆心共线，不能确定一个平面，故C错误；
梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，故D正确；
故选：BD.
10. 正方形中，，为中点．则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在方向上的投影为1
【答案】ACD
【解析】由题意为中点，以为原点，，分别为轴，
轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
所以，，
，所以选项A正确；
，所以选项B错误；
因为，所以选项C正确；
在方向上的投影为，所以选项D正确．
故选：ACD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 抛掷一枚硬币1 000次，一定有500次“正面朝上”
B. 若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1．则甲组数提比乙组数据稳定
C. 一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数是3，众数是5
D. 为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式
【答案】BC
【解析】对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，
故A错误；
对于B，因为方差越小越稳定，故B正确；
对于C，数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5，
则其中位数为3，众数为5，故C正确；
对于D，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故D错误．
故选：BC.
12. 已知数据甲：，，…，均值为，标准差为，中位数为，极差为，数据乙：，，…，的均值为，标准差为，中位数为，极差为，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】设数据1：，，…，的均值为，标准差为，
中位数为，极差为，
则数据2：的均值为，故A错误；
数据2：的标准差为，故B正确；
数据2：的中位数为，故C错误；
极差为，故D正确.
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 计算______．
【答案】
【解析】.
故答案：.
14. 甲、乙两名优秀大学毕业生准备应聘某世界五百强企业，甲通过面试的概率是，乙通过面试的概率是，且甲、乙是否通过面试是相互独立的．那么这两名大学生至少有一名通过面试的概率为______．
【答案】
【解析】甲乙两人是否通过面试相互独立，
甲乙两人至少有一名通过面试的对立事件是：
甲乙二人都没有通过面试，
∴甲乙两人至少有一名通过面试的概率为．
故答案为：．
15. 中，为中点，，，则______．
【答案】
【解析】因为为中点，，
所以
，
因为，所以.
故答案为：.
16. 已知O为△外接圆的圆心，D为BC边的中点，且，，则△面积的最大值为___________.
【答案】
【解析】由题设，若，而，如下图示：
∴，
令，则，且，
∴，则，
由，而，即，
当且仅当时等号成立，∴.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知向量满足，，．
（1）求向量与的夹角的大小：
（2）求的值．
解：（1）由得，
由，得，
设向量与的夹角为，
由，得，
因为，所以，
即向量与的夹角的大小为．
（2）．
18. 某高中学校为了了解生源学校对本校的评价，从招生片区的所有生源学校中随机抽取了100个老师对学校进行评价，包括学校领导满意度、环境满意度、服务志度、教学水平等方面进行调查，并把调查结果转化为老师的评价指数x，得到了如下的频率分布表：
（1）画出这100个老师评价指数的频率分布直方图；
（2）考评价指数在则表示对学校“非常满意”，现从评价指数在的老师中按照分层抽样的方式抽取6名教师，从这6人中任选2人，求恰有1人“非常满意”的概率．
解：（1）由题中数据可得，
所以，频率分布直方图如下，
（2）由分层抽样知，抽取4人，抽取2人，
标记这6人为：的4人为，的2人为，
基本事件有，，（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），
（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个，
记：“恰有1人”非常满意“”为事件A，包含的基本事件有：（B，E），（B，F），（C，D），
（C，E），，（D，E），（D，F），（E，F），共8个，
则．
19. 在中，所对的边分别为，且，，且．
（1）求的值：
（2）若，的面积为，求边．
解：（1），
所以．
（2）由于，，
所以，
在中，，由于的面积为，
所以，即解得：，
故：，
解得：.
20. 如图，正四棱锥P－ABCD的高PO=4，AB=6，AC交BD于O，E为侧棱PC的中点．
（1）求证：//平面；
（2）求O到平面EBC的距离．
解：（1）证明：因为四边形为正方形，，
则为的中点，因为为的中点，则，
又因为平面，平面，
所以，平面．
（2）在正四棱锥中，为底面的中心，
则底面，
因为为的中点，则点到平面的距离为，
，
因此，
因为，
依题意，所以中边上的高为5，
，
设到面的距离为，
由得：．
21. 2023年全国第一届学生（青年）运动会（简称学青会）将在广西南宁举办，某中学欲在两名优秀学生中挑选一名参加志愿者服务活动（翻译），他们的5次口语测试成绩如下表：
请运用所学统计知识挑选一名合适的学生参加运动会的志愿者活动（说明理由）．
解：，
，
，
，
∵，，
∴两个人平均水平一样，但是乙更稳定，应该选择乙比较合理.
22. 如图，已知正方体中，分别是和的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）证明：如图，正方体中，取的中点，连接、，
∵是的中点，
∴，，
∵是的中点，且，，
∴，，∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，∵正方体，又为的中点，
∴，∴．
（2）设到平面（即平面）的距离为，直线与平面所成角为，
设正方体棱长为2，则，
由（1）知：，由正方体的性质知平面，
因为平面，所以，平面，，
所以平面，
因为，所以平面，
∴即，
∴，
∴．
评价指数
频数
10
10
20
40
20
评价指数
频数
10
10
20
40
20
频率
0.1
0.1
0.2
0.4
0.2
频率/组距
0.005
0.005
0.01
0.02
0.01
序号
1
2
3
4
5
甲
72
85
86
90
92
乙
76
83
85
87
94