【高中物理】一轮复习：考点归纳 专题04 《曲线运动、万有引力与航天》-学案

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第一节 曲线运动 运动的合成与分解
【基本概念、规律】
一、曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
3．曲线运动的条件：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．
二、运动的合成与分解
1．运算法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动和分运动的关系
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间相等．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响．
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果．
【重要考点归纳】
考点一 对曲线运动规律的理解
1．曲线运动的分类及特点
(1)匀变速曲线运动：合力(加速度)恒定不变．
(2)变加速曲线运动：合力(加速度)变化．
2．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．
3．速率变化情况判断
(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，速率增大；
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，速率减小；
(3)当合力方向与速度方向垂直时，速率不变．
考点二 运动的合成及合运动性质的判断
1．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动的性质判断
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(加速度或合外力\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(变化：变加速运动,不变：匀变速运动)),加速度或合外力与速度方向\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))))
3．两个直线运动的合运动性质的判断
4.在解决运动的合成问题时，先确定各分运动的性质，再求解各分运动的相关物理量，最后进行各量的合成运算．
【思想方法与技巧】
两种运动的合成与分解实例
一、小船渡河模型
1．模型特点
两个分运动和合运动都是匀速直线运动，其中一个分运动的速度大小、方向都不变，另一分运动的速度大小不变，研究其速度方向不同时对合运动的影响．这样的运动系统可看做小船渡河模型．
2．模型分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)两个极值
①过河时间最短：v1⊥v2，tmin＝eq \f(d,v1)(d为河宽)．
②过河位移最小：v⊥v2(前提v1＞v2)，如图甲所示，此时xmin＝d，船头指向上游与河岸夹角为α，cs α＝eq \f(v2,v1)；v1⊥v(前提v1＜v2)，如图乙所示．过河最小位移为xmin＝eq \f(d,sin α)＝eq \f(v2,v1)d.
3.求解小船渡河问题的方法
求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移．无论哪类都必须明确以下三点：
(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，在船的航行方向也就是船头指向方向的运动，是分运动；船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线．
(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解．
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．
二、绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．
2．模型分析
(1)合运动→绳拉物体的实际运动速度v
(2)分运动→eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(其一：沿绳或杆的分速度v1,其二：与绳或杆垂直的分速度v2))
(3)关系：沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．
3.解决绳(杆)端速度分解问题的技巧
(1)明确分解谁——分解不沿绳(杆)方向运动物体的速度；
(2)知道如何分解——沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向分解；
(3)求解依据——因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．
第二节 抛体运动
【基本概念、规律】
一、平抛运动
1．性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
2．规律：以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴建立平面直角坐标系，则
(1)水平方向：做匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t.
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度：vy＝gt，位移：y＝eq \f(1,2)gt2.
(3)合运动
①合速度：v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0).
②合位移：x合＝eq \r(x2＋y2)，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0).
二、斜抛运动
1．性质
加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线．
2．规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)
(1)水平方向：做匀速直线运动，vx＝v0cs θ.
(2)竖直方向：做竖直上抛运动，vy＝v0sin θ－gt.
【重要考点归纳】
考点一 平抛运动的基本规律及应用
1．飞行时间：由t＝eq \r(\f(2h,g))知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程：x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度：vt＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋2gh)，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示．
5．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙中A点和B点所示．
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
6.“化曲为直”思想在抛体运动中的应用
(1)根据等效性，利用运动分解的方法，将其转化为两个方向上的直线运动，在这两个方向上分别求解．
(2)运用运动合成的方法求出平抛运动的速度、位移等．
考点二 与斜面相关联的平抛运动
1.斜面上的平抛问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下：
2.与斜面有关的平抛运动问题分为两类：
(1)从斜面上某点抛出又落到斜面上，位移与水平方向夹角等于斜面倾角；
(2)从斜面外抛出的物体落到斜面上，注意找速度方向与斜面倾角的关系．
考点三 与圆轨道关联的平抛运动
在竖直半圆内进行平抛时，圆的半径和半圆轨道对平抛运动形成制约．画出落点相对圆心的位置，利用几何关系和平抛运动规律求解．
平抛运动的临界问题
(1)在解决临界和极值问题时，正确找出临界条件(点)是解题关键．
(2)对于平抛运动，已知平抛点高度，又已知初速度和水平距离时，要进行平抛运动时间的判断，即比较t1＝eq \r(\f(2h,g))与t2＝eq \f(x,v0)，平抛运动时间取t1、t2的小者．
(3)本题中，两发子弹不可能打到靶上同一点的说明：
若打到靶上同一点，则子弹平抛运动时间相同，
即t＝eq \f(L,v0＋v)＝eq \f(L－90,v)，L＝3 690 m，t＝4.5 s＞eq \r(\f(2h,g))＝0.6 s，即子弹0.6 s后就已经打到地上．
第三节 圆周运动
【基本概念、规律】
一、描述圆周运动的物理量
1．线速度：描述物体圆周运动的快慢，v＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(2πr,T).
2．角速度：描述物体转动的快慢，ω＝eq \f(Δθ,Δt)＝eq \f(2π,T).
3．周期和频率：描述物体转动的快慢，T＝eq \f(2πr,v)，T＝eq \f(1,f).
4．向心加速度：描述线速度方向变化的快慢．
an＝rω2＝eq \f(v2,r)＝ωv＝eq \f(4π2,T2)r.
5．向心力：作用效果产生向心加速度，Fn＝man.
二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动的比较
三、离心运动
1．定义：做圆周运动的物体，在合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
2．供需关系与运动
如图所示，F为实际提供的向心力，则
(1)当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；
(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
(3)当F(4)当F>mω2r时，物体逐渐靠近圆心．
【重要考点归纳】
考点一 水平面内的圆周运动
1．运动实例：圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等．
2．重力对向心力没有贡献，向心力一般来自弹力、摩擦力或电磁力．向心力的方向水平，竖直方向的合力为零．
3．涉及静摩擦力时，常出现临界和极值问题．
4.水平面内的匀速圆周运动的解题方法
(1)对研究对象受力分析，确定向心力的来源，涉及临界问题时，确定临界条件；
(2)确定圆周运动的圆心和半径；
(3)应用相关力学规律列方程求解．
考点二 竖直面内的圆周运动
1．物体在竖直平面内的圆周运动有匀速圆周运动和变速圆周运动两种．
2．只有重力做功的竖直面内的圆周运动一定是变速圆周运动，遵守机械能守恒．
3．竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题．
4．一般情况下，竖直面内的变速圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形．
考点三 圆周运动的综合问题
圆周运动常与平抛(类平抛)运动、匀变速直线运动等组合而成为多过程问题，除应用各自的运动规律外，还要结合功能关系进行求解．解答时应从下列两点入手：
1．分析转变点：分析哪些物理量突变，哪些物理量不变，特别是转变点前后的速度关系．
2．分析每个运动过程的受力情况和运动性质，明确遵守的规律．
3.平抛运动与圆周运动的组合题，用平抛运动的规律求解平抛运动问题，用牛顿定律求解圆周运动问题，关键是找到两者的速度关系．若先做圆周运动后做平抛运动，则圆周运动的末速等于平抛运动的水平初速；若物体平抛后进入圆轨道，圆周运动的初速等于平抛末速在圆切线方向的分速度．
【思想方法与技巧】
竖直平面内圆周运动的“轻杆、轻绳”模型
1．模型特点
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接、小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．
2．模型分析
绳、杆模型常涉及临界问题，分析如下：
3.竖直面内圆周运动的求解思路
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体．
(2)确定临界点：v临＝eq \r(gr)，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点．
(3)定规律：用牛顿第二定律列方程求解．
第四节 万有引力与航天
【基本概念、规律】
一、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．公式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．适用条件：严格地说，公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，其中r是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离．
二、宇宙速度
三、经典力学的时空观和相对论时空观
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的．
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．
2．相对论时空观
同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同．
3．经典力学的适用范围
只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．
【重要考点归纳】
考点一 天体质量和密度的估算
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2)
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于Geq \f(Mm,R2)＝mg，故天体质量M＝eq \f(gR2,G)，
天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得出中心天体质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度
ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2).可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
3.(1)利用圆周运动模型，只能估算中心天体质量，而不能估算环绕天体质量．
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r：只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq \f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径．
考点二 卫星运行参量的比较与运算
1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
2．卫星运动中的机械能
(1)只在万有引力作用下卫星绕中心天体做匀速圆周运动和沿椭圆轨道运动，机械能均守恒，这里的机械能包括卫星的动能、卫星(与中心天体)的引力势能．
(2)质量相同的卫星，圆轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．
3．极地卫星、近地卫星和同步卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
(3)同步卫星
①轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．
②周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s.
③角速度一定：与地球自转的角速度相同．
④高度一定：卫星离地面高度h＝3.6×104 km.
⑤速率一定：运动速度v＝3.07 km/s(为恒量)．
⑥绕行方向一定：与地球自转的方向一致．
考点三 卫星(航天器)的变轨问题
1．轨道的渐变
做匀速圆周运动的卫星的轨道半径发生缓慢变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动．解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径r是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化．
2．轨道的突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道．
(1)当卫星的速度突然增加时，Geq \f(Mm,r2)＜meq \f(v2,r)，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝eq \r(\f(GM,r))可知其运行速度比原轨道时减小．
(2)当卫星的速度突然减小时，Geq \f(Mm,r2)＞meq \f(v2,r)，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝eq \r(\f(GM,r))可知其运行速度比原轨道时增大；卫星的发射和回收就是利用这一原理．
不论是轨道的渐变还是突变，都将涉及功和能量问题，对卫星做正功，卫星机械能增大，由低轨道进入高轨道；对卫星做负功，卫星机械能减小，由高轨道进入低轨道．
考点四 宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．
2．第一宇宙速度的求法：
(1)eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v\\al(2,1),R)，所以v1＝eq \r(\f(GM,R)).
(2)mg＝eq \f(mv\\al(2,1),R)，所以v1＝eq \r(gR).
【思想方法与技巧】
双星系统模型
1．模型特点
(1)两颗星彼此相距较近，且间距保持不变．
(2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动．
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动．
2．模型分析
(1)双星运动的周期和角速度相等，各以一定的速率绕某一点转动，才不至于因万有引力作用而吸在一起．
(2)双星做匀速圆周运动的向心力大小相等，方向相反．
(3)双星绕共同的中心做圆周运动时总是位于旋转中心的两侧，且三者在一条直线上．
(4)双星轨道半径之和等于它们之间的距离．
3.(1)解决双星问题时，应注意区分星体间距与轨道半径：万有引力定律中的r为两星体间距离，向心力公式中的r为所研究星球做圆周运动的轨道半径．
(2)宇宙空间大量存在这样的双星系统，如地月系统就可视为一个双星系统，只不过旋转中心没有出地壳而已，在不是很精确的计算中，可以认为月球绕着地球的中心旋转．
求极值的六种方法
从近几年高考物理试题来看，考查极值问题的频率越来越高，由于这类试题既能考查考生对知识的理解能力、推理能力，又能考查应用数学知识解决问题的能力，因此必将受到高考命题者的青睐.下面介绍极值问题的六种求解方法.
一、临界条件法
对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组求解，这是高中物理中最常用的方法．
二、二次函数极值法
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，当a＞0时，y有最小值ymin＝eq \f(4ac－b2,4a)，当a＜0时，y有最大值ymax＝eq \f(4ac－b2,4a).也可以采取配方法求解．
三、三角函数法
某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识求解极值．
四、图解法
此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题，运动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值．
五、均值不等式法
任意两个正整数a、b，若a＋b＝恒量，当a＝b时，其乘积a·b最大；若a·b＝恒量，当a＝b时，其和a＋b最小．
六、判别式法
一元二次方程的判别式Δ＝b2－4ac≥0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法．两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、
一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
方法
内容
斜面
总结
分解速度
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))
速度方向与θ有关，分解速度，构建速度三角形
分解速度
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))
速度方向与θ有关，分解速度，构建速度三角形
分解位移
水平：x＝v0t
竖直：y＝eq \f(1,2)gt2
合位移：x合＝eq \r(x2＋y2)
位移方向与θ有关，分解位移，构建位移三角形
项目
匀速圆周运动
非匀速圆周运动
定义
线速度大小不变的圆周运动
线速度大小变化的圆周运动
运动特点
F向、a向、v均大小不变，方向变化，ω不变
F向、a向、v大小、方向均发生变化，ω发生变化
向心力
F向＝F合
由F合沿半径方向的分力提供
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
过最高点的临界条件
由mg＝meq \f(v2,r)得v临＝eq \r(gr)
由小球能运动即可，得v临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点时v＜eq \r(gr)，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0＜v＜eq \r(gr)时，－FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN背离圆心且随v的增大而减小
(3)当v＝eq \r(gr)时，FN＝0
(4)当v＞eq \r(gr)时，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇宙速度(环绕速度)
7.9
是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度．
第二宇宙速度(脱离速度)
11.2
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
第三宇宙速度(逃逸速度)
16.7
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.