河北省石家庄市第四十四中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份河北省石家庄市第四十四中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.方程中的根是( )
A. ，B. ，
C. D.
2.若，则下列式子不正确的是( )
A. B. C. D.
3.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为( )
A.
B.
C.
D.
4.为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高单位：的平均数与方差为：，：，则麦苗又高又整齐的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5.如图，点G是的重心，交BC于点如果，那么GE的长为( )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
6.如图，在的方格图中，的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形阴影部分与相似的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则( )
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
8.在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( )
A. 四边形NPMQB. 四边形NPMRC. 四边形NHMQD. 四边形NHMR
9.如图，在中，AD是BC边上中线，F是AD上一点，且AF：：5，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于( )
A. 1：6
B. 1：8
C. 1：9
D. 1：10
10.用配方法解方程，配方后所得的方程是( )
A. B. C. D.
11.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. B. 且C. 且D.
12.如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且，，垂足为点M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使，连接有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，正确的是( )
A. ①②
B. ①③
C. ①②③
D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.已知线段，线段，线段c是线段a和线段b的比例中项，则______
14.若数据1、、3、x的平均数为2，则______.
15.如图是一个常见铁夹的剖面图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为______
16.对于实数m，n，先定义一种新运算“※”如下：m※，若x※，则实数x的值为______.
17.如图，正方形MNPQ内接于，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高，，则正方形MNPQ的边长为______.
18.关于x的一元二次方程
若方程有两个不相等的实数根，则k的范围为______.
若，是这个方程的两个根，且，则______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
解方程
20.本小题10分
如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上.
请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P；
写出点P的坐标为______，与的面积比为______，______；
请在图中画出，使之满足如下条件：
①与关于点P位似，且与的位似比为；
②与位于点P的同侧.
21.本小题10分
如图，在中，，，点P、D分别是BC、AC边上的点，且
求证：∽；
当，求CD的值；
若点K在AC边上且，点P以每秒1个单位从点B向终点C运动，请直接写出点K在内部的时间.
22.本小题8分
阅读下列材料：
已知实数x，y满足，试求的值，
解：设，则原方程变为，整理得、，根据平方根意义可得，由于，所以可以求得这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的.
根据阅读材料内容，解决下列问题：
已知实数x，y满足，求的值；
填空：已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是______.
23.本小题8分
8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象.《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口.飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表.
嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB的高度.
依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度
24.本小题8分
如图1，A，B，C是郑州市二七区三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，米，6位环卫工人分别测得的BC长度如下表：
他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列不完整的统计图
表中的中位数是______，众数是______， BC长度的平均数______；
求A处的垃圾量，并将图2补充完整；
用中的x作为BC的长度，要将A处的垃圾沿道路AC都运到C处，已知运送1千克垃圾每米的费用为元，求运垃圾所需的费用.
25.本小题8分
杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因.吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件.
求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
26.本小题12分
如图，在中，，，，D、E分别是AC、AB的中点，连接点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为解答下列问题：
当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？
当t为何值时，为等腰三角形？直接写出答案即可；
当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：方程，
所以或，
解得：，
故选：
方程利用时，a与b中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：由可设，，
、若，则，正确，故不符合题意；
B、若，则，原结果错误，故符合题意；
C、，原结果正确，故不符合题意；
D、，正确，故不符合题意．
故选：
由题意可设，，然后代入各个选项即可求解．
本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：依题意得，
，
故选：
根据第三个月投放单车数量=第一个月投放单车数量增长率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：，
乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
，
甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
综上，麦苗又高又整齐的是丁，
故选：
方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可．
此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
5.【答案】B
【解析】解：连接BG并延长交AC于D，
点G是的重心，
，，
，
∽，
，
，
，
故选：
连接BG并延长交AC于D，根据点G是的重心，得到，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：在中，，，，AC：，
A选项中，三条线段的长为，，，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形阴影部分与相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为1：
故选：
利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
7.【答案】B
【解析】解：由统计图可知，前三次的中位数是8，
第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，
，
故选：
根据统计图中的数据和题意，可以得到a的值，本题得以解决．
本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】A
【解析】【分析】
根据位似图形的概念画出图形，得到答案．
本题考查的是位似图形的概念，掌握位似的两个图形对应点的连线都经过同一点是解题的关键．
【解答】
解：如图：延长AO、BO、CO、DO分别到N、P、M、Q，
则四边形NPMQ是四边形ABCD的位似图形.
9.【答案】D
【解析】解：过点D作交AB于G，
是BC边上中线，
，即，
又，
，
，
：：：10；
故选：
先过点D作交AB于G，由平行线分线段成比例可得，再根据，得出，最后根据AE：：2EG，即可得出答案．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出AE、EB、EG之间的关系．
10.【答案】C
【解析】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得
故选：
把常数项5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．
本题考查了配方法，解题的关键是注意：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为1；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
11.【答案】B
【解析】解：由题意得：且，
解得且，
故选：
根据题意得且，从而直接解出答案．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
12.【答案】C
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，即，故①正确；
，
，
：：2，
：：：3，
，
，
，
；故②正确；
作于H，设，，则，，
由∽，可得，
由∽，可得，
，
，
，
，
，，
，
，
；故③正确，
设的面积为m，
，
，∽，
的面积为3m，的面积为9m，
的面积的面积，
：：12，故④错误，
故选：
①正确．证明≌，即可判断．
②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．
③正确．作于H，设，，则，，通过计算证明即可解决问题．
④错误．设的面积为m，由，推出，∽，推出的面积为3m，的面积为9m，推出的面积的面积，由此即可判断．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
13.【答案】
【解析】解：线段c是线段a和线段b的比例中项，
，
又线段，线段，
故答案为：
根据比例中项的定义得，再将，代入计算即可得出答案．
此题主要考查了比例线段，理解比例中项的定义是解决问题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：由题意知1、、3、x的平均数为2，则
，
解得：，
故答案为：
利用平均数的定义，列出方程，即可求解．
本题考查了平均数的概念．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
15.【答案】30
【解析】解：连结AB，延长OC交AB于H，如图，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：
连结AB，延长OC交AB于H，先证∽，再根据相似三角形对应边成比例进行求解．
本题考查轴对称图形，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质等，正确进行计算是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：分两种情况：
当时，
※，
，
，
或舍去；
当时，
※，
，
舍去；
综上所述：，
故答案为：
分两种情况：当时，当时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，分两种情况进行计算是解题的关键．
17.【答案】4cm
【解析】解：设正方形MNPQ的边长为x cm，则，
四边形MNPQ是正方形，
∽
又，
，，，，
，
解得
故答案为：
图中ED的长等于正方形MNPQ的边长．欲求正方形MNPQ的边长即PQ的长，已知BC和AD的长，AE可用PQ表示出来，考虑借助相似三角形的性质解题．
此题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定与性质，相似三角形的周长比、对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比、平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似．
18.【答案】
【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
故答案为：；
方程有两个实数根，
，
，
，，
，
，即，
解得：；
故答案为：
根据题意及根的判别式可进行求解参数的范围；
由题意易得，，然后可得，进而问题可求解．
本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
19.【答案】解：，
，；
，
，

【解析】根据直接开平方法可进行求解方程；
根据配方法可先等式两边加上4，则有，然后根据开平方法可进行求解．
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如图，点P即为所求．
由图可得，
，
与的位似比为，
与的面积比为
故答案为：；；
如图，即为所求．
连接，，，相交于点P，则点P即为所求．
由图可得点P坐标；由题意可知与的位似比为，根据位似三角形的性质可得答案；利用割补法求三角形的面积即可．
根据位似的性质，分别取，，的中点，，，再顺次连接即可．
本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答本题的关键．
21.【答案】证明：在中，，
，
，
，
又点P、D分别是BC、AC边上的点，且，
，
∽；
解：∽，
，，，
，
；
解：点K在内部时，CD的临界值是，设运动时间为t，
∽，
，，，
，
解得或，
点P以每秒1个单位从点B向终点C运动，
当或时，点K在内部．
【解析】由题意可得，，可证∽；
由∽，可得，代入数值即可求出CD的长；
由∽，可得，点K在内部时，CD的临界值是，代入数值求出BP的长即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】或
【解析】解：设，则原方程变为，
，
解得：，，
即或；
由方程组可变形为，
即，
关于x，y的方程组的解是，
方程组的解满足，
即或
故答案为：或
设，则原方程变为，然后根据平方差公式及开平方法可进行求解方程；
由题意易得方程组可变为，然后根据同解方程组可得，进而问题可求解．
本题主要考查一元二次方程的解法、平方差公式及完全平方公式，理解用换元法解方程的特征以及两个方程组的解之间的关系是正确解答的关键．
23.【答案】解：，，
∽，
，
，，，
，
解得：，
答：飞虹塔AB的高度是42米；
设，依据题意得：
，，
，，
∽，
，
，，
，
，
∽，
，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
；
答：飞虹塔的大致高度为
【解析】由题意易得∽，然后可根据相似三角形的性质进行求解；
设，则有，，由题意易得∽，然后根据相似三角形的性质可得，进而问题可求解．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
24.【答案】100 100 100
【解析】解：把这些数从小到大排列为：96，98，100，100，102，104，
则中位数是：；
出现了2次，出现的次数最多，
众数是100；
表中BC长度的平均数是：，
故答案为：100，100，100；
垃圾总量是：千克，
则A处的垃圾量是：千克，
补全条形图如下：
由题意得，米，
运送1千克垃圾每米的费用为元，
运垃圾所需的费用为：元，
答：运垃圾所需的费用为320元．
根据中位数和众数的定义直接求解即可；利用平均数求法进而得出答案；
根据C垃圾点的垃圾量和所占的百分比求出垃圾总量，再用总量乘以A垃圾点所占的百分比即可求出A处垃圾量，从而补全统计图；
根据AC的长可得出运垃圾所需的费用．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25.【答案】解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
【解析】设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可；
设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26.【答案】解：如图1中，
在中，，
、E分别是AC、AB的中点．
，，且
，
①时，
，，
∽，
，由题意得：，，
即，
解得；
②如图2中，当时，∽，
，
，
，
当t为或时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似．
如图3中，当点Q在线段BE上时，由，可得，
如图4中，当点Q在线段AE上时，由，可得，解得
如图5中，当点Q在线段AE上时，由，可得：：5，解得
如图6中，当点Q在线段AE上时，由，可得：：5，解得
综上所述，或3或或秒时，是等腰三角形．
假设存在时刻t，使：：29，
则此时，
，
即，
解得，舍去
当时，
，，
，，
，
此时t的值为2s，
【解析】如图①所示，当时，是直角三角形．解决问题的要点是将的三边长PE、QE、PQ用时间t表示，这需要利用相似三角形∽比例线段关系或三角函数；
分三种情形讨论，如图3中，当点Q在线段BE上时，；如图4中，当点Q在线段AE上时，；如图5中，当点Q在线段AE上时，；如图6中，当点Q在线段AE上时，分别列出方程即可解决问题．
本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻t，使：：29，则此时，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻t；点E到PQ的距离h利用的面积公式得到．
本题是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程包括一元一次方程和一元二次方程等，有一定的难度．注意题中求时刻t的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．主题
跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图
测量步骤
步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得米；
步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得米，米以上数据均为近似值
单位：
甲
乙
丙
丁
戊
己
104
98
102
96
100
100