山西省吕梁市2024-2025学年高三上学期11月期中阶段性测试数学试题

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只有一项是符合题目要求的.
1.答案：D . 解：x2 < 2 ⇒− 2 < x < 2, ∴ A ∩ B = − 1,01}
2.答案：A. 解：z = (1 + i)2 = 2i ， ∴ z = 2.
3.答案：C. 解：选项 A 为偶函数；选项 B 在−∞, 0)和 0 , + ∞)上是减函数，在定义域内不
是减函数；选项 D 在定义域内是增函数.
4.答案：B. 解：若数列6an 是等比数列，则a = an−2 an+2(n ∈ N+, n ≥ 3) ,若a =
an−2 an+2(n ∈ N+, n ≥ 3) ，则数列6an 不一定是等比数列，如：1，2，3，6，9，18，27，54，
81⋯满足a = an−2 an+2 ，但数列( )an 不是等比数列.
5.答案：C. 解：如图，在ΔABC中，向量在向量上的投影向量为 , 所以
⊥ , 点 N 为 BC 边上靠近点 C 的四等分点，又因为 ⊥ , 所以∆ANC~∆BAC
设 CN=a,则 AC=2a, AN = a ，又因为 = + , 故点 M 为 BC 边上靠
近点 B 的四等分点， ∴ MN = 2a, 在Rt∆AMN中，tan ∠CMA = .
6.答案：A. 解：设AB = x, BP = m,则AP = PC = 4 − x − m ,故 ΔABP 的周长
l = 4，由勾股定理得m = ,所以 ΔABP 的面积s = x ,所以 = x ，
由 得 0 < x < 2,令 4 − x = t,则 2 < t < 4, = 3 = 3 − +
) ≤ 3 − 2 2 ,当且仅当 = 即t = 2 2时取等号.
7.答案：D. 解：由 f(x) 为奇函数且 f(x + 1) 为偶函数，得 4 为 f(x) 的周期，又因为
0 < x < 1时，f(x) = 32x + 2x − 1，知 f(x) 在 0 < x < 1上为增函数，且f ) = 32∙ + 2 ∙ 1 = 3，由f 14 ) = f 12 + 2 ) = f 2 ) = f 0 ) = 0 < 3 ,得 A 错；由f ) = f (4+43 = f ) =
f ) > f ) = 3,所以 B 错误.由 ln3 − 1 < 1 ,知f ln 3 ) > f ) = 3 ,得 C 错误；由
9 9 9
f lg 2 1 8) = f 4 + lg) = f(lg) ,而lg < ,所以f lg < f = 3 ,得 D 正确；
8.答案:B
解： y = sin(π 一 ) = sin
如图所示，画出
在
y = sin
x e[0, 2π]
的图象，
对于 f(x) = 2sin(负x 一 )(负 > 0) f(0) = 一 , f(x)max = 2
,
f(x) = 0, 得负x 一 π = kπ, 所以x = (3k + 1)π (k eZ)
由 3 3负 .
因为曲线
y = 2sin(负x 一 )(负 > 0) 与
y = sin
有4 个交点，
由图知，
10π
3负
< 2π <
13π
3负
5
3
<负<
, 解得
13
.
6
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小
题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错
的得 0 分.
9.答案：AC.
解：对于选项 A， sinθcsθ tanθ + taθ) = sinθcsθ + ) = sin2 θ + cs2 θ = 1 ，所
以 A 正确；
对于选项 B， sin40° tan10° − 3) = sin400° − 3) = sin400 ∙ sin101s100 =
sin400 ∙ 2sin600) = − 2si400 = − = − 1, 所以 B 错误；
对于选项 C，在等差数列 an }中，an = a1 + n − 1d = m, am = a1 + m − 1d = n, ∴ d = − 1, a1 = m + n − 1, ∴ am+n = a1 + m + n − 1d = m + n − 1 − m + n − 1 = 0 所以 C 正确； 对于选项 D，在等差数列 an}中，S4 ，S8 − S4 ，S12 − S8 ，S16 − S12 ，仍然成等差数列，所 以S16 = 12 ，D 错误.
10.答案：ACD
解：对于 A 选项，由 x2 + y2 一 2 = xy < . , 得x2 + y2 < 3, 所以A正确；
对于 B 选项，由 x2 + y2 = 2 + xy 之 2xy , 得xy < , 所以B错误；
对于 C 选项，由 x2 + y2 一 xy = 2 ，
得 (x + y)2 - xy = 2, 所以(x + y)2 - 2 = xy < . 2 ，得 x + y 之 - ，所以 C
正确；
2 2 2
对于 D 选项， x + y - 3 xy = 2 ,
(x + y)2 - xy = 2, 所以(y - x)2 - 2 = - xy < . 2 ，得 - < y - x < ，所以
D 正确.
法二：设 t = y - x, 则y = x + t ，
所以 x2 + (x + t)2 - x(x + t) = 2, 即 x2 + tx + (t2 - 2) = 0
由 Δ 之 0, 得 - < t < ，所以 D 正确.
11.答案：BCD
解：由函数 f(x) = -ln x的定义域为（0,1）不（1，+ 伪），
且 f,(x) = - - < 0 ，所以 f(x)的单调递减区间为（0,1）,（1，+ 伪）
对于 A 选项，令 a = , b = e ，可得 f() 所以 f() < f(e) ，所以 A 错误；
对于 B 选项，由f() = -ln =
+ 2 = 1 + > 0, f() < 0 ，所以 f(x) 在
= 1 +
e +1
1 - e
=
2
< 0, f(e) = 1 +
e +1
e - 1
> 0,
1 - e
（0,1）上有一个零点，
又 f(e) > 0, f(e2 ) = - 2 = - 1 <
B 正确；
对于 C 选项，由 f() = -ln =
x
0 ，所以 f(x) 在(1,+伪) 上有一个零点，所以
+ ln x ，所以 f() + f(x) = 0 ，
因为lg2023 2024 =
确；
所以 f(lg2023 2024) + f(lg2024 2023) = 0 ，所以 C 正
1
lg2024 2023 ，
对于 D 选项， f(a) = b 一 = b一 一 ln e一b = 一 + 一 ln e一b = f(e一b ) ，
因为b e (0, +伪) ，所以0 < e一b < 1 ，
因为a e(0, 1) ，所以a = e一b ，即aeb = 1 ，所以 D 正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.答案：1
解：由题意知+ 2 = (2 + 2m, 6) ，因为( + 2)/ / ，可得2根 6 = 3(2 + 2m) ，解得m = 1，
13. 答案： 222 一 3
解： ：an+1 + an = 3 . 2n
:an+1 一 2n+1 = 一(an 一 2n )
: + = 一 1
an 1 一 2n+1
a 一 2n
: { n 2 } 1 1
an 一 n 是以一 为首项，一 为等比的等比数列
:an 一 2n = (一 1)n , 即an = (一 1)n + 2n
:s21 = 21 + 22 + ... + 221 一 1 = 2( 一 21) 一 1 = 222 一 3
14. 答案： ( , )
因为b2 一 a2 = ac ，由余弦定理得b2 = a2 + c2 一 2ac csB ，所以ac = c2 一 2ac csB ，
即c = 2a cs B + a ，
由正弦定理得sin C = 2sin Acs B + sin A ，所以
sin A = sin(A + B) 一 2sin A cs B = sin A cs B + cs Asin B 一 2sin A cs B = cs Asin B 一 sin A cs B
= sin(B 一 A) ，
因为 ΔABC 为锐角三角形，所以 A = B 一 A ， B = 2A ， C = π 一 3A ，
( π ) ( π π ) ( π π )
由 A, B, C e|（0, 2 )| ，得 A e|（ 6 , 4 )| ， B e|（ 3 , 2 )| ，
由 < A < , 得 < csA < ，得，即 < < ，
令 t = , t e ( , ) ，
b
:令 a +
= t + = g (t ) ，
则g (t) 在t e( , ) 上单调递增，
: g(t) e ( , ) ，即 + 的范围是( , ) .
法二：
因为b2 - a2 = ac, 由正弦定理得 sin2 B - sin2 A = sin Asin C,
所以sin（A + B）sin（B - A）= sin Asin C,
所以sin（B - A）= sinA.
下同法一.
四、解答题 :本题共 6 小题,共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.答案：（1）Qmin = ；（2） .
解：f(x) = 2 sin Φx csΦx - 2 cs2 Φx + 1 = 3 sin 2Φx - cs 2Φx = 2 sin(2Φx - )
分
由T =
2π
2Φ
= π, 得Φ = 1, 故f(x) = 2 sin(2x - ) . 分
( 1) g(x) = 2 sin(2(x -Q) - ) = 2 sin(2x - 2Q - ) . 分
由g(0) = 士2, 得sin(2Q + ) = 士1, 所以2Q + = + kπ,Q = + , k eZ ， 分
即Qmin = .
分
（2）由（1）知， f(x) = 2 sin(2x - )
由f(θ) = 2 sin(2θ- ) = , 知sin(2θ- ) =
: θe 0, , :2θ- e - ,
3
5
分
:cs(2θ- ) =
4
5
分
:cs 2θ = cs((2θ- ) + ) = cs(2θ- ) cs - sin(2θ- ) sin = 13 分
=
16.答案：（1）略；（2） 一 < a < 一5 .
解：（1）令h(x) = f(x + 1) = lg(x2 + 1) 分
由h(一x) = h(x) ，得h(x) 为偶函数，所以h(x) 的图象关于 y 轴对称， 分
即f(x) 的图象关于x = 1 对称，故得证 分
（2） g(x) = x3
由g（x）= 0 得，
+ x2 一 4x + a + 2 分
一 a = x3 + x2 一 4x + 2 分
令h(x) = x3 + x2 一 4x + 2, x e [一 3,3]
所以h,(x) = 2x2 + 2x 一 4 = 2(x + 2)(x 一 1)
由h,(x) > 0, 得 一 3 < x < 一2或1 < x < 3 ，由h,(x) < 0, 得 一 2 < x < 1 分
h（ 一 3）= 5, h(一2) = , h(1) = 一 , h(3) = 17 分
：g(x)在[一 3,3]上有三个零点
26
：5 < 一a <
3
即一 < a < 一5
14 分
分
17.答案:( 1) + 4 km ;(2)：tan 经PBA = (3) km2 .
, 所 以
解 ： （ 1 ） ΔPBC中，由正弦定理，得 sinCB = sin PC
, 即经PBC = 30。，所以经PBA = 60。 分
sin 经PCB
3
sin120。
ΔPAB 中，由余弦定理，得PA 2 = PB2 + AB2 一 2PB . BA . cs经PBA
所以，PA = ， 分
即护栏长度为 + 4 km 分
(2)设经PBA = c, 则经PBC = 一 c, 经PCB
ΔPBC中，由正弦定理，得 PB = sin(c 一 )
, 所以PB = 2 sin(c 一 ) ..7 分
= c 一
3
π
6
sin120。
ΔPAB 中，由正弦定理，得 sin 一 c）=
:3sin(c 一 ) = 3 sin( 一 c)
: 3 sinc = 2 csc ，即tan c = .
: tan 经PBA = . 分
（3）设经PBC = β(0 < β < ), 则经PCB = 一 β
在 ΔPBC中，由正弦定理，得 = sin(|（B一 β ,所以PB = 2 sin( 一 β)
:SΔPBC = PB BC s in β = 3 sin( 一 β) sin β = 3 ( sin βcsβ一 sin2 β)
= 3 ( sin(2β+ ) 一 ) = sin(2β+ ) 一 13 分
由0 < β < 得， < 2β+ < .
:当2β+ = ，即β = 时，（SPBC）max =
即露营区的最大面积为 km2 分
18.答案：（1）当m 之 0时，g(x)的单调递增区间为（0，+ m）.
当m < 0时,
g(x)的单调递增区间为（0，一 1 一 4 8m ），单调递减区间为（ 一 1 一 4 8m ，+ 伪）.
（2）略.
解：（1）g(x) = ln x + mx2 + x + m ( x > 0 ) 分
g,(x) = + 2mx + 1 = 分
1。当m 之 0时 g,(x) > 0恒成立
：g(x)在（0，+ 伪 ）上单调递增 分
2。当m < 0时 由g,(x) = 0, 得x = 一 1 土4一 8m
：x1 = 一 1 +4一 8m < 0, x2 = 一 1 一 4一 8m > 0
：g(x)在（0，一 1 一 4一 8m ）上单调递增，在（ 一 1 一 4 8m ，+ 伪）上单调减 ..6 分
综上：当m 之 0时，g(x)的单调递增区间为（0，+ 伪）.
当m < 0时,
g(x)的单调递增区间为（0，一 1 一 4 8m ），单调递减区间为(
一 1 一 4 8m ，+ 伪）.
分
（2）f(x) 的定义域为(0,+伪) ，f,(x) = ln x + m + 1
由f,(x) > 0, 得x e (e一m一1 ,+伪);由f,(x) < 0, 得x e (0, e一m一1 ) 分
因为当x e (0, e一m )时，f(x) < 0 ，
所以0 < x1 < e一m一1 < x2 < e一m , 所以ln x1 + m < 一 1 < ln x2 + m < 0 分
要证 x1x2
, 即证
-2-2m
< e
ln x1 + ln x2 < -2 - 2m , 即证ln x1 + m + ln x2 + m < -2 .
由f(x1 ) = f(x2 ) 得，x1 (ln x1 + m) = x2 (ln x2 + m)
即eln x1 (ln x1 + m) = eln x2 (ln x2 + m) ，从而eln x1 +m (ln x1 + m) = eln x2 +m (ln x2 + m) 11 分
令t1 = ln x1 + m, t2 = ln x2 + m ，则有et1 t1 = et2 t2
构造函数h(t) = tet (t < 0) ，则h,(t) = (t + 1)et 12 分
h(t)在（ - 伪，- 1）上单调递减，在（ - 1，0）上单调递增 13 分
下证t1 + t2 < -2 ，只需证t1 < -2 - t2 ，由于t1 ,-2 - t2 e (-伪,- 1)
只需证h(t1 ) > h(-2 - t2 ) ，只需证h(t2 ) > h(-2 - t2 )
令Q(t) = h(t) + h(-2 - t), (- 1 < t < 0)
Q,(t) = h,(t) + h,(-2 - t) = (t + 1)(et - e-2-t ) > 0
所以Q(t) 在(- 1,0) 上递增，所以Q(t) > Q(- 1) = 0 ，
于是ln x1 + m + ln x2 + m < -2
所以x1x2 < e-2-2m
从而得证 分
17 分
19.答案：（1）数列{an }不具有M(1) 性质；数列{an }具有M(4)
性质.
（2）略（3） (m2 - 3m + 2) .
解：(1)因为an =〈|(-n ,)3, n e N* ) ，
所以数列{an }不具有M(1) 性质；
：a5 - a3 = 4, 且a5+k - a3+k = 4(k 之 1)
性质.
故数列{an }具有M(4)
a5 - a2 = 5 - 4 = 1 ，但a6 - a3 = 7 - 1 = 6 士 1 ，
分
分
(|2n (n = 1 2)
（2）证明：因为 an =〈|l2n - 5(n,> 3, n = N* )
:a1 = 2, a2 = 4为偶数 ， n > 3时，an 均为奇数 ，故由题设条件知 t 不可能为奇数
又：a3+k+n - a3+k = 2n(k > 0, n > 1)
: bn = 2n ， 7 分
令cn = = = < ， 10 分
则Sn = cn < Σi-n1 < 1+ + + … + = 2(1 - ) < 2 ； 12 分
(3)因为数列{an }具有M(0) 性质，所以一定存在一组最小的m, k ,且m > k ，满足
am - ak = 0 ，即am = ak ，
由性质M(0) 的定义可得：am+1 = ak +1 , am+2 = ak +2 , … , a2m k 1 = am-1 , a2m-k = am ,
所以数列{an }中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律：ak , ak +1 , … am-1 为一个周
期 中的各项 ，所以数列 {an } 中最多有 m - 1 个不同 的项 ，所以 T 中最多有
C -1 = (m2 - 3m + 2) 个元素. 17 分