浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期10月第一次联考数学试题

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数学试题卷
命题：天台中学 蒋永存､李明 磨题：安吉高级中学 焦晓东 湖州二中 费凡 校稿：李慧华､吕金晶
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知平面向量，则（ ）
A.2 B.10 C. D.
3.在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A.15 B. C.270 D.
4.在中，角的对边分别为.已知，则（ ）
A.1 B.2 C.1或2 D.或
5.函数与的图象的交点个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
6.若随机变量，则下列选项错误的是（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）（参考公式：）
A.1 B.2 C.3 D.4
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.某地区5家超市销售额（单位：万元）与广告支出（单位：万元）有如下一组数据：
下列说法正确的是（ ）
参考公式：样本相关系数
A.根据表中数据计算得到与之间的经验回归方程为，则
B.与之间的样本相关系数
C.若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好
D.若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额一定是17.6万元
10.已知分别是双曲线的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（ ）
A.三角形的周长是12
B.若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为8，则双曲线为
C.若，则的位置不唯一
D.若是双曲线左支上一动点，则的最小值是
11.已知增函数的定义域为正整数集，的取值也为正整数，且满足.下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.对任意正整数，都有
第Ⅱ卷
三､填空题：本题共3小题，共15分.
12.已知复数，则__________.
13.已知是等差数列的前项和，若，则__________.
14.甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）若，求满足条件的最大整数.
16.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，，
（1）若是中点，证明：；
（2）若，求平面与平面所成角的正切值.
17.平面内有一点和直线，动点满足：到点的距离与到直线的距离的比值是.点的运动轨迹是曲线，曲线上有四个动点.
（1）求曲线的方程.
（2）若在轴上方，，求直线的斜率；
（3）若都在轴上方，，直线，求四边形的面积的最大值.
18.已知函数，其中是实数.
（1）若，求的单调区间：
（2）若函数不具有单调性，求实数的取值范围；
（3）若恒成立，求的最小值.
19.正整数集，其中.将集合拆分成个三元子集，这个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合是“三元可拆集”.
（1）若，判断集合是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由.
（2）若，证明：集合不是“三元可拆集”.
（3）若，是否存在使得集合是“三元可拆集”，若存在，请求出的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.
浙江省新阵地教育联盟2025届第一次联考
数学参考答案
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
二､多选题：每题6分，共18分.部分选对得部分分，错选､不选得0分.
11题【解析】
，C错.
三､填空题：每题5分，共15分.
四､解答题：13+15+15+17+17，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（1），
，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2），
记，
单调递增
当时，，不符；
当时，
所以的最大值为12.
（单调性没证明，扣1分）
16.（1）是中点，，
平面平面平面，
平面，
又与是平面内的两条相交直线，平面
（2）
解法一：（坐标法）过作于平面平面平面，
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为
，
平面与平面所成角的角记为，
，即平面与平面所成角的正切值是
解法二：（几何法）记平面与平面的交线为，
平面平面，即直线两两平行，
又平面平面，
平面与平面所成角与二面角的平面角互余，
过作于平面平面平面，
过点作于，连接是二面角的平面角，
平面与平面所成角的正切值为
，
，即平面与平面所成角的正切值是
17.（1）由题意，
两边平方得，
化简得
（2）直线的斜率是正数，设，直线的斜率为，
设，联立，化简得
，所以，
由题意知，
代入，消，可得，
解得，所以直线的斜率是
（3）延长，交椭圆于点
，由（2）知，
所以，即
令，所以，
当且仅当时，取到最大值，此时分别在正上方.
18.（1）
令，解得，令，解得，
所以在单调递增，单调递减；
（2）函数的图象是连续的，
在定义域内有正有负（有异号零点），
在为负，为正，
在单调递减，单调递增，
存在，使得，
.
（3）对任意都成立，当时，
下证：能成立，即证：存在，使得恒成立
记（必要性），
解得，
只需证：恒成立，
，在单调递减，单调递增，
在为正，在为负，在为负，
在单调递增，单调递减，，得证；
综上，的最小值为0.
19.（1）是，，可拆成或､
；
（2）对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数，则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；而中所有元素和为，与和为偶数矛盾，
所以集合不是“三元可拆集”；
（3）有48个元素，可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为，则
另一方面，中所有元素和为，
所以，
所以，解得，即；
当时，，可拆为､
､
､
（拆法不唯一）；
综上所述，的最大值是7.超市
A
B
C
D
E
广告支出（万元）
1
4
6
10
14
销售额（万元）
6
20
36
40
48
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
A
C
C
D
B
B
题号
9
10
11
答案
AC
ACD
ABD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
3
5
6
7
9
11
12
13
14
15
17
19
21
23
24
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
25
26
27
28
29
30
31
33
35
37
39
41
43
45
47
48
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
65
题号
12
13
14
答案
3