2024-2025学年浙江省新阵地教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省新阵地教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−1≤x≤3}，B={x|x2−x−612)=0.5 B. P(X≤9)=P(X≥15) C. E(3X−1)=35 D. D(2X−1)=12
7.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PD=2,∠APD=π4,∠BAD=π3，则三棱锥P−OCD的外接球的体积为( )
A. 4 23π
B. 8 23π
C. 16 23π
D. 64 23π
8.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有ab个小球，第二层有(a+1)(b+1)个小球，第三层有(a+2)(b+2)个小球依此类推，最底层有cd个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为( )
A. 1B. 2
C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某地区5家超市销售额y(单位：万元)与广告支出x(单位：万元)有如下一组数据：
下列说法正确的是( )
参考公式：样本相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2⋅ i=1n(yi−y−)2,b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2,a =y−−b x−
A. 根据表中数据计算得到x与y之间的经验回归方程为y =b x+8.3，则b =3.1
B. x与y之间的样本相关系数r=3.1
C. 若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好
D. 若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额一定是17.6万元
10.已知F1、F2分别是双曲线C：x2−y2=2的左右焦点，点Q是圆A：(x−2)2+(y−3)2=12上的动点，下列说法正确的是( )
A. 三角形AF1F2的周长是12
B. 若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线，且双曲线E的焦距为8，则双曲线E为x2−y2=8
C. 若|QF1|+|QF2|=8，则Q的位置不唯一
D. 若P是双曲线左支上一动点，则|PF2|+|PQ|的最小值是5+32 2
11.已知增函数f(x)的定义域为正整数集，f(x)的取值也为正整数，且满足f(f(n))=2n+1，n∈N∗.下列说法正确的是( )
A. f(1)=2B. f(4)=6
C. f(2025)=2536D. 对任意正整数n，都有f(2n)=3⋅2n−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=(1−2i)(1+i)，则|z|= ______．
13.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S11=33，则3a5−a1−a8= ______．
14.甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6，7的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的首项a1=−1，且满足an+1=3an2an+1．
(1)求证：数列{1an−1}为等比数列，并求出数列{1an}的通项公式；
(2)若1a1+1a2+1a3+⋯+1an0(n∈N∗)，
∴{bn}单调递增，
当n≥13时，n−3+33n≥10+33n>10，不符合；
当n=12时，n−3+33n=9+33120，解得x0，
只需f′(x)min=f′(3)=−1e3−2a−12e3．
∴a∈(−12e3,+∞)．
(3)x−1ex≤a(2x−1)+b对任意x都成立，
而当x=1时，b+a≥0，
因此只要证明：b=−a能成立即可得出结论，即证：存在a，使得x−1ex≤a(2x−2)恒成立，
令F(x)=x−1ex−a(2x−2)，∴F(1)=0，故F′(1)=0(必要性)，
而F′(x)=2−xex−2a，由1e−2a=0，解得a=12e，
只需证：F(x)=x−1ex−12e(2x−2)≤0恒成立，
F′(x)=2−xex−1e，由(2)知，其在(−∞,3)单调递减，(3,+∞)单调递增，
∴F′(x)在(−∞,1)为正，在(1,3)为负，在(3,+∞)为负，
∴F(x)在(−∞,1)单调递增，(1,+∞)单调递减，
∴x=1时，函数F(x)取得极大值即最大值，
∴F(x)≤F(1)=0，
因此b=−a能成立．
综上可得：b+a的最小值为0．
19.解：(1)是，A={2,3,4,⋯,10}，
可拆成{10,7,3}、{9,5,4}、{8,6,2}或{10,6,4}、{9,7,2}、{8,5,3}；
(2)证明：对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数，
则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；
又因为A={1,2,3,4,⋯,18}，
所以A中所有元素和为1+2+3+4+⋯+18=19×182=171，与和为偶数矛盾，
所以集合A不是“三元可拆集”；
(3)存在，理由如下：
A={m+1,m+2,m+3,⋯,m+48}有48个元素，可以拆成16个三元子集，
将这16个三元子集中的最大的数依次记为a1，a2，a3，⋯⋯，a16，
则a1+a2+a3+⋯+a16≤(m+48)+(m+47)+(m+46)+⋯+(m+33)
=(m+48+m+33)×162=(2m+81)×162=16m+648；
另一方面，A中所有元素和为(m+1+m+48)×482=(2m+49)×482=48m+1176，
所以a1+a2+a3+⋯+a16=48m2+11762=24m+588，
所以24m+588≤16m+648，解得m≤152，
又m∈N，所以m≤7；
当m=7时，A={8,9,10,⋯,55}，
故可拆为{55,40,15}、{54,38,16}、
{53,39,14}、{52,35,17}、{51,31,20}、{50,37,13}、{49,25,24}、{48,26,22}、
{47,29,18}、{46,27,19}、{45,34,11}、{44,23,21}、{43,33,10}、{42,30,12}、
{41,32,9}，{36,28,8}(拆法不唯一)；
综上所述，m的最大值是7． 超市
A
B
C
D
E
广告支出(万元)
1
4
6
10
14
销售额(万元)
6
20
36
40
48