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甘肃省 定西市安定区城区联考2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题
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这是一份甘肃省 定西市安定区城区联考2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数是二次函数，则等于（ ）
A．B．2C．D．6
4．把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（ ）
A．B．C．D．
5．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为B．顶点坐标为
C．函数的最大值是D．函数的最小值是
6．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．9
7．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要
使草坪的面积为540m，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止。设点的运动路程为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ）
图1 图2
A．B．C．D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．在平面直角坐标系内，若点与点关于原点对称，则的值为______．
12．已知是一元二次方程的一个根，则的值是______．
13．若是抛物线上的三点．则的大小关系为______．
14．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间______．
15．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______．
16．如图①，在中，．将沿x轴依次以点为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为______．
三、解答题（本题共11个小题，满分72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（3分）用适当的方法解方程：；
18．（6分）如图，已知的顶点的坐标分别是．
（1）作出关于原点中心对称的；
（2）将绕原点按顺时针方向旋转90°后得到，画出，并写出点的坐标为______．
19．（6分）已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一根为3，求的值及方程的另一根．
20．（6分）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．
（1）判断的形状；
（2）求证：平分．
21．（6分）已知抛物线过两点．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）求出抛物线与轴的交点坐标；
（3）当时，写出的取值范围．
22．（6分）为了积极践行新教育实验行动，公园路中学开展了课外阅读活动，计划将学生人均阅读量从七年级第一学期的70万字增加到八年级第一学期的100.8万字．
（1）如果每学期学生人均阅读量的平均增长率相同，求这个增长率；
（2）按照（1）中的阅读量增长率，学校期望八年级第二学期的人均阅读量达到120万字，请通过计算说明他们的目标能否实现．
23．（7分）如图，点是等边内的一点，，将绕点顺时针旋转得到，连接．
（1）求的度数．
（2）若，求的长．
24，（7分）某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件，经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低2元，其日销量可增加16件，设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．
（1）求y与x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量x的取值范围）．
（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？最大利润为多少元？
25．（7分）33届巴黎奥运跳水冠军全红婵在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
26．（8分）（1）如图1，在正方形中，分别是边上的点，且，把绕着点顺时针旋转得到，请直接写出图中所有的全等三角形；
（2）在四边形ABCD中，．
①如图2，若分别是边上的点，且，求证：；
②若分别是边延长线上的点，且，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
图1 图2 备用图
27．（10分）已知抛物线经过三点，直线是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
九年级数学答案
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
二、填空题（本题共6小题，每小题3分、共18分．）
11． 12． 13． 14． 15． 16．
三、解答题（本题共11个小题，满分72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（3分）用适当的方法解方程：；
此题可用配方法、公式法、因式分解法任一方法求解。
解：
．
18．（6分）解：（1）三点的坐标分别是，
三点的坐标关于原点对称的坐标是，依次连接三点，得到，如图：
就是所求的三角形．
解：（2）三点的坐标分别是，
三点的坐标绕原点按顺时针方向旋转后的坐标是
，
依次连接三点，得到，如图：
就是所求的三角形，的坐标是．
故答案为：
19．（6分）（1）证明：
无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
解：（2）当时，，
解得：，
把代入原方程：（舍去）
故的值为3，方程的另一根为1．
20．（6分）．（1）解：∵绕点A逆时针旋转，
，
为等边三角形；
（2）证明：∵绕点A逆时针旋转，
，
，
，
∵为等边三角形，
，
在和中，，
∴，
，
平分．
21．（6分）解：（1）将代入中，得
解得：
该抛物线的解析式为；
（2）将代入，得
解得：
抛物线与轴的交点坐标为和；
（3）中，，其图象大致如下
由图象可知：当时，．
22．（6分）解：（1）设每学期学生人均阅读量的平均增长率为，依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：每学期学生人均阅读量的平均增长率为；
（2）（万字）．
，
他们的目标能实现．
23．（7分）解：（1）由旋转的性质得：，
∵是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
；
（2）由旋转的性质得，，
，
，
∵为等边三角形，
，
在直角中，
24．（7分）解：（1）由题意得，商品每件降价元时单价为元，销售量为件，
则
，
即与之间的函数解析式是；
（2）：，
当时，取得最大值，此时，
销售单价为：（元），最大利润为2592元。
答：商品销售单价为98元时，通过商品所获的利润最大．最大利润为2592元。
25．（7分）解：（1）根据题意可得，拋物线过和，对称轴为直线，
设关于的函数表达式为，
，
解得：，
关于的函数表达式为；
（2）在中，令得，
解得或（舍去），
运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为米．
26．（8分）解：（1）；
（2）①如图，将绕着点顺时针旋转，使与重合，得，
，
即，
易得，
，
，
，
，
，
，
即．
②不成立
理由如下：如图，将绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得，
点H在BC上，易得
，
，
，
又，
，
，即，
①中的结论不成立．
27．（10分）解：（1）经过抛物线，
可设抛物线为．
又经过抛物线，代入，得，即．
抛物线的解析式为，即．
（2）连接，直线与直线的交点为．则此时的点，使的周长最小．
设直线的解析式为，
将代入，得：，解得：．
直线的函数关系式．
当时，，即的坐标．
（3）存在．点的坐标为．
拋物线的对称轴为：，
设．
，
．
若，则，得：，得：．
②若，则，得：，得：．
③若，则，得：，得：，
当时，三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．
综上可知，符合条件的点，且坐标为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
A
C
C
C
C
A
C
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数是二次函数，则等于（ ）
A．B．2C．D．6
4．把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（ ）
A．B．C．D．
5．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为B．顶点坐标为
C．函数的最大值是D．函数的最小值是
6．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．9
7．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要
使草坪的面积为540m，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止。设点的运动路程为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ）
图1 图2
A．B．C．D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．在平面直角坐标系内，若点与点关于原点对称，则的值为______．
12．已知是一元二次方程的一个根，则的值是______．
13．若是抛物线上的三点．则的大小关系为______．
14．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间______．
15．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______．
16．如图①，在中，．将沿x轴依次以点为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为______．
三、解答题（本题共11个小题，满分72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（3分）用适当的方法解方程：；
18．（6分）如图，已知的顶点的坐标分别是．
（1）作出关于原点中心对称的；
（2）将绕原点按顺时针方向旋转90°后得到，画出，并写出点的坐标为______．
19．（6分）已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一根为3，求的值及方程的另一根．
20．（6分）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．
（1）判断的形状；
（2）求证：平分．
21．（6分）已知抛物线过两点．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）求出抛物线与轴的交点坐标；
（3）当时，写出的取值范围．
22．（6分）为了积极践行新教育实验行动，公园路中学开展了课外阅读活动，计划将学生人均阅读量从七年级第一学期的70万字增加到八年级第一学期的100.8万字．
（1）如果每学期学生人均阅读量的平均增长率相同，求这个增长率；
（2）按照（1）中的阅读量增长率，学校期望八年级第二学期的人均阅读量达到120万字，请通过计算说明他们的目标能否实现．
23．（7分）如图，点是等边内的一点，，将绕点顺时针旋转得到，连接．
（1）求的度数．
（2）若，求的长．
24，（7分）某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件，经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低2元，其日销量可增加16件，设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．
（1）求y与x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量x的取值范围）．
（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？最大利润为多少元？
25．（7分）33届巴黎奥运跳水冠军全红婵在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
26．（8分）（1）如图1，在正方形中，分别是边上的点，且，把绕着点顺时针旋转得到，请直接写出图中所有的全等三角形；
（2）在四边形ABCD中，．
①如图2，若分别是边上的点，且，求证：；
②若分别是边延长线上的点，且，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
图1 图2 备用图
27．（10分）已知抛物线经过三点，直线是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
九年级数学答案
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
二、填空题（本题共6小题，每小题3分、共18分．）
11． 12． 13． 14． 15． 16．
三、解答题（本题共11个小题，满分72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（3分）用适当的方法解方程：；
此题可用配方法、公式法、因式分解法任一方法求解。
解：
．
18．（6分）解：（1）三点的坐标分别是，
三点的坐标关于原点对称的坐标是，依次连接三点，得到，如图：
就是所求的三角形．
解：（2）三点的坐标分别是，
三点的坐标绕原点按顺时针方向旋转后的坐标是
，
依次连接三点，得到，如图：
就是所求的三角形，的坐标是．
故答案为：
19．（6分）（1）证明：
无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
解：（2）当时，，
解得：，
把代入原方程：（舍去）
故的值为3，方程的另一根为1．
20．（6分）．（1）解：∵绕点A逆时针旋转，
，
为等边三角形；
（2）证明：∵绕点A逆时针旋转，
，
，
，
∵为等边三角形，
，
在和中，，
∴，
，
平分．
21．（6分）解：（1）将代入中，得
解得：
该抛物线的解析式为；
（2）将代入，得
解得：
抛物线与轴的交点坐标为和；
（3）中，，其图象大致如下
由图象可知：当时，．
22．（6分）解：（1）设每学期学生人均阅读量的平均增长率为，依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：每学期学生人均阅读量的平均增长率为；
（2）（万字）．
，
他们的目标能实现．
23．（7分）解：（1）由旋转的性质得：，
∵是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
；
（2）由旋转的性质得，，
，
，
∵为等边三角形，
，
在直角中，
24．（7分）解：（1）由题意得，商品每件降价元时单价为元，销售量为件，
则
，
即与之间的函数解析式是；
（2）：，
当时，取得最大值，此时，
销售单价为：（元），最大利润为2592元。
答：商品销售单价为98元时，通过商品所获的利润最大．最大利润为2592元。
25．（7分）解：（1）根据题意可得，拋物线过和，对称轴为直线，
设关于的函数表达式为，
，
解得：，
关于的函数表达式为；
（2）在中，令得，
解得或（舍去），
运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为米．
26．（8分）解：（1）；
（2）①如图，将绕着点顺时针旋转，使与重合，得，
，
即，
易得，
，
，
，
，
，
，
即．
②不成立
理由如下：如图，将绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得，
点H在BC上，易得
，
，
，
又，
，
，即，
①中的结论不成立．
27．（10分）解：（1）经过抛物线，
可设抛物线为．
又经过抛物线，代入，得，即．
抛物线的解析式为，即．
（2）连接，直线与直线的交点为．则此时的点，使的周长最小．
设直线的解析式为，
将代入，得：，解得：．
直线的函数关系式．
当时，，即的坐标．
（3）存在．点的坐标为．
拋物线的对称轴为：，
设．
，
．
若，则，得：，得：．
②若，则，得：，得：．
③若，则，得：，得：，
当时，三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．
综上可知，符合条件的点，且坐标为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
A
C
C
C
C
A
C
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