北京市通州区2022_2023学年高三数学上学期期末摸底考试试题

这是一份北京市通州区2022_2023学年高三数学上学期期末摸底考试试题，共8页。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
2. 等差数列中，，，则通项为（）
A. B. C. D.
3. 抛物线焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，满足，，则等于（）
A. B. 13C. D. 29
5. 设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
6. 中，若，，，则等于（）
A. B. C. D.
7. “”是“”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知半径为1圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
9. 要制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，则圆柱的高和底面半径应分别为（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
10. 设点是曲线上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为（）
A. 最大值，最小值B. 最大值，最小值1
C. 最大值2，最小值D. 最大值2，最小值1
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数的共轭复数______.
12. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为___________.
13. 已知函数，若函数存在最大值，则的取值范围为______.
14. 齐王与田忌赛马，田忌上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分3组各进行一场比赛，胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为______；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为______.
15. 已知数列的前项和为，为数列的前项积，满足，给出下列四个结论：
①；②；③为等差数列；④.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.
17. 如图，在四棱雉中，底面为矩形，平面平面，，，，分别是，的中点.
（1）求证:平面；
（2）再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18. 为了解两个购物平台买家的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得A平台问卷100份，B平台问卷80份.问卷中，对平台的满意度等级为：好评、中评、差评，对应分数分别为：5分、3分、1分，全科免费下载公众号《高中僧课堂》数据统计如下：
假设用频率估计概率，且买家对平台的满意度评价相互独立.
（1）估计买家对A平台的评价不是差评的概率；
（2）从所有在A平台购物的买家中随机抽取2人，从所有在B平台购物的买家中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出好评的概率；
（3）根据上述数据，你若购物，选择哪个平台？说明理由.
19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上不同于的一点，直线，与直线分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当函数存在极小值时，求证：函数的极小值一定小于0.
21. 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
（2）当时，若构成等比数列，求正整数；
（3）记，求证：.
通州区2022—2023学年高三年级摸底考试
数学试卷
2023年1月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】B
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
【11题答案】
【答案】##
【12题答案】
【答案】2
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ①. ②. ##0.5
【15题答案】
【答案】①③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
【16题答案】
【答案】（1）.
（2），.
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）选择A平台，理由见解析
【19题答案】
【答案】（1）
（2）以为直径的圆过定点，.
【20题答案】
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【21题答案】
【答案】（1）8. （2）.
（3）证明见解析.
好评
中评
差评
A平台
75
20
5
B平台
64
8
8