2022-2023学年北京市通州区高三上学期期末摸底考试数学试卷含答案

  通州区2022—2023学年高三年级摸底考试

数学试卷

2023年1月

本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 等差数列中，，，则通项为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 抛物线焦点坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知向量，满足，，则等于（    ）

A.  B. 13 C.  D. 29

5. 设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6. 中，若，，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

7. “”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 已知半径为1圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 要制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，则圆柱的高和底面半径应分别为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

10. 设点是曲线上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为（    ）

A. 最大值，最小值 B. 最大值，最小值1

C. 最大值2，最小值 D. 最大值2，最小值1

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 复数的共轭复数______.

12. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为___________.

13. 已知函数，若函数存在最大值，则的取值范围为______.

14. 齐王与田忌赛马，田忌上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分3组各进行一场比赛，胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为______；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为______.

15. 已知数列的前项和为，为数列的前项积，满足，给出下列四个结论：

①；②；③为等差数列；④.

其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知函数的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.

17. 如图，在四棱雉中，底面为矩形，平面平面，，，，分别是，的中点.

（1）求证:平面；

（2）再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.

条件①：；

条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18. 为了解两个购物平台买家的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得A平台问卷100份，B平台问卷80份.问卷中，对平台的满意度等级为：好评、中评、差评，对应分数分别为：5分、3分、1分，全科免费下载公众号《高中僧课堂》数据统计如下：

假设用频率估计概率，且买家对平台的满意度评价相互独立.

（1）估计买家对A平台的评价不是差评的概率；

（2）从所有在A平台购物的买家中随机抽取2人，从所有在B平台购物的买家中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出好评的概率；

（3）根据上述数据，你若购物，选择哪个平台？说明理由.

19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上不同于的一点，直线，与直线分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

20. 已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）当函数存在极小值时，求证：函数的极小值一定小于0.

21. 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.

（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；

（2）当时，若构成等比数列，求正整数；

（3）记，求证：.

通州区2022—2023学年高三年级摸底考试

数学试卷

2023年1月

本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

【1题答案】

【答案】B

【2题答案】

【答案】A

【3题答案】

【答案】D

【4题答案】

【答案】C

【5题答案】

【答案】B

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】A

【8题答案】

【答案】C

【9题答案】

【答案】C

【10题答案】

【答案】B

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

【11题答案】

【答案】##

【12题答案】

【答案】2

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】    ①.     ②. ##0.5

【15题答案】

【答案】①③④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

【16题答案】

【答案】（1）.   

（2），.

【17题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【18题答案】

【答案】（1）   

（2）   

（3）选择A平台，理由见解析

【19题答案】

【答案】（1）   

（2）以为直径的圆过定点，.

【20题答案】

【答案】（1）   

（2）答案见解析    （3）证明见解析

【21题答案】

【答案】（1）8.    （2）.   

（3）证明见解析.