河北省石家庄市河北平山回舍中学2024-2025学年高一上学期数学期中模拟考试01

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（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）在中，，，所对的边为a，b，c，，，，则c等于( )
A．1B．2C．3D．4
2．（本题5分）复数 (为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为
A．B．C．D．
3．（本题5分）复数的模是（ ）
A．5B．C．3D．
4．（本题5分）设为直线l上的两点，则，我们把向量以及与它平行的向量都称为直线l的方向向量，把与直线l的方向向量垂直的向量称为直线l的法向量．若直线l经过点，则直线的一个法向量为（ ）
A．B．
C．D．
5．（本题5分）折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（ ）
①；②；③；④
A．1B．2C．3D．4
6．（本题5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，若双曲线上一点使，点为直线上的一点，且，则的值为
A．B．C．D．
7．（本题5分）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
8．（本题5分）如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形，F为线段的中点，设向量，，则
A．B．C．D．
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）已知平面向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．
10．（本题6分）在锐角三角形ABC中，若，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（本题6分）已知，为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若，则
三、填空题（共15分）
12．（本题5分）若，，，则 ．
13．（本题5分）已知，平面向量，．若，则实数的取值范围是 ．
14．（本题5分）在中，，，点在内部，，则的最小值为 ．
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）(1)求证：；
(2)求值：.
16．（本题13分）若不共线，=，且三点共线，求实数的值.
17．（本题15分）已知单位向量，为平面内一组基向量，其中，的夹角为.对于平面内任意一个向量，总存在唯一的有序实数对，使得，定义为向量的“斜坐标”表示.
(1)若非零向量，，且，求证：；
(2)若向量，，，求，的夹角；
(3)若向量，，，求，的夹角的最大值，并说明取得最大值时的取值.
18．（本题16分）已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)求在区间上的最值，并求出此时对应的的值；
(3)若在区间上有两个零点，直接写出的取值范围．
19．（本题20分）对任意一个非零复数z，定义集合．
(1)设a是方程的一个根，试用列举法表示集合．若在中任取两个数，求其和为零的概率P；
(2)设集合中只有3个元素，试写出满足条件的一个z的值，并说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】将三角形面积表示为，代入条件计算可得c
【详解】，解得．故选D．
【点睛】对于面积公式，一般考查哪个角就使用哪一个公式，与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化
2．A
【详解】分析：求出复数的代数形式，再写出在复平面内表示的点的坐标．
详解：复数，所以复数在复平面内表示的点的坐标为，选A.
点睛：本题主要考查了复数的四则运算，以及复数在复平面内所表示的点的坐标，属于容易题．
3．B
【分析】利用复数的除法运算化简，通过模长公式求解即可.
【详解】，，所以的模为.
故选：B
4．D
【分析】先计算出直线的方向向量，然后通过数量积逐项判断与是否垂直.
【详解】因为，
A．当，则，不满足，
B．当，则，不满足，
C．当，则，不满足，
D．当，则，满足，
故选：D.
5．C
【分析】根据几何关系，直接判断与是否平行，即可判断A;再根据转化向量求数量积判断B；根据几何关系，以及相等相等向量转化，判断C；根据向量转化证明数量积相等.
【详解】A.，则与不平行，故①错误；
B.设，，
，
，故②正确；
C.，故③正确；
D.，故④正确.
故选：C
6．A
【详解】试题分析：双曲线中，则，，，由得，又，所以，，设，则，即，，代入双曲线方程得（不妨取正），即，，由得，，，所以，选A．
考点：双曲线的性质，向量的数量积的坐标运算．
7．B
【分析】函数有两个不同的零点，等价于函数与函数的图象有两个交点，作出函数与的图象即可得到m的范围.
【详解】函数有两个不同的零点，等价于函数与函数的图象有两个交点，作出函数与的图象，如图所示，
由图可知，当时，函数与函数的图象有两个交点，所以实数的取值范围是 .
故选B．
【点睛】本题考查函数的零点问题，属中档题.函数零点的几种等价形式：函数的零点函数的图象与轴的交点的横坐标方程的根函数y=fx与函数y=gx的图象的交点的横坐标．
8．C
【分析】作，垂足为G，利用平面向量的线性运算用表示出，由此确定正确选项.
【详解】作，垂足为G，如下图所示，则，又，，所以.故选C.
【点睛】本题考查平面向量的线性表示，考查化归与转化的数学思想，属于基础题.
9．BC
【分析】根据向量共线的坐标表示即可判断A；
根据向量垂直的坐标表示即可判断B；
根据向量的坐标求出夹角的余弦值即可判断C；
根据向量的模的坐标表示结合二次函数的最值即可判断D.
【详解】解：，
若，则，所以，故A错误；
若，则，所以，故B正确；
若，则，故C正确；
，则，故D错误.
故选：BC.
10．ABC
【分析】利用锐角三角形条件，结合正余弦函数单调性及有界性判断A，B；利用结合辅助角公式、正余弦函数性质判断C，D作答.
【详解】锐角中，有，因此，而在上递增，在上递减，
于是得，即，，即
所以，，A，B正确；
因，即有，则，
即，于是得，C正确；
，D不正确;
故选：ABC
11．AC
【分析】对于选项A可直接利用复数的性质进行判断；对于C，通过取模运算即可判定；对于选项B和D，取特殊复数即可判定.
【详解】对于选项A，若，则和互为共轭复数，所以，故选项A正确；
对于选项B，取，此时，，满足，
但，故选项B错误；
对于选项C，若，则，所以或，可得或，故选项C正确；
对于选项D，取，，可得，故选项D错误.
故选：AC.
12．
【分析】由向量垂直可得，根据模长公式即可求解.
【详解】由知:知，
，所以.
故答案为：
13．
【分析】利用向量平行的坐标表示以及基本不等式即可求解
【详解】由，，，得，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
14．2
【分析】先利用正弦定理求得的外接圆半径，建立平面直角坐标系，利用坐标法把转化为，即可求出的最小值.
【详解】因为，，所以.
在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径），所以，解得：.
如图所示：设的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系.
设E为AC的中点，所以，.
所以点M的轨迹为：，可写出（为参数）.
因为点在内部，所以（其中满足，）.
所以
因为满足，，所以，
所以当时最小.
故答案为：2
15．（1）证明见解析；
（2）.
【分析】（1）利用二倍角正弦公式展开、切化弦，结合正弦的倍角公式，即可求解；
（2）利用两角差的正弦、余弦公式展开，结合，利用两角差的正切公式，即可求解.
【详解】（1）由三角函数的基本关系式，可得
.
所以，即等式成立.
（2）由
.
16．
【解析】根据三点共线，则可得与向量平行，据此即可求得参数.
【详解】
因为三点共线，故//
故存在实数，使得
即
又不共线，，.
故.
【点睛】本题考查平面向量共线定理，属综合基础题.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)最大值，
【分析】（1）利用向量平行的条件即可证明；
（2）根据两向量数量积即可求解；
（3）利用向量的夹角公式得出，然后根据三角函数的有界性即可求解.
【详解】（1）因为，所以存在非零常数，有
又∵，
∴
由平面向量分解定理，，，
得.
（2），
所以，的夹角为.
（3），
，，
，
因为，，所以.
最大值为，当时取到.
18．(1)最小正周期为，单调递增区间为；
(2)时最小值为；时最大值为1；
(3).
【分析】（1）由二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，根据正弦型函数性质求最小正周期和递增区间；
（2）由（1）及正弦型函数性质求最值即可；
（3）问题化为与在区间上有两个交点，数形结合求参数范围.
【详解】（1）因为，
所以最小正周期为，又增区间为，
令得：，
所以的单调递增区间为．
（2）因为，所以．
当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值1．
（3）由题意，与在区间上有两个交点，而在上图象如下：

由图知：，即.
19．(1)，
(2)，说明见解析
【分析】（1）求出方程的根，即可用列举法表示集合，从而可求概率；
（2）取，求出即可说明
【详解】（1）a是方程的一个根,
则，
当时，，
，
当时，
，
，
若在中任取两个数，共有种取法，
其中和为零的有共2种，
于是
（2）取
因为此时有，，
于是
或取也可以.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
D
C
A
B
C
BC
ABC
题号
11









答案
AC