上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷，共18页。

2.垂直于同一平面的两条直线的位置关系是__________.
3.如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，则原图形周长是__________.
4.已知正方体的棱长为，异面直线与之间的距离为__________.
5.已知分别为空间四边形各边的中点，若对角线，则的值是__________.
6.一个长方体全面积是，所有棱长的和是，求长方体的对角线长是__________.
7.从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是__________.
8.在长方体中，对角线与棱所成的角分别为，与平面，平面，平面所成的角分别为，则下列说法中正确的是__________.
①
②；
③；
④
9.若的三个顶点到平面的距离分别为2､3､4，则的重心到平面的距离为__________.
10.如图，某人沿山坡的直行道向上行走，直行道与坡脚（直）线成角，山坡与地平面所成二面角的大小为.若此人沿直行道向上行走了200米，那么此时离地平面的高度为__________米.
11.如下图，已知四边形均为正方形，先将矩形沿折起，使二面角的大小为，再将正方形沿折起，使二面角的大小为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为__________.
12.若空间内一点到二面角的两个半平面的距离分别为和，到棱的距离为，则此二面角的大小是__________.
二､单选题（本大题共4题，满分20分）
13.已知下列命题：（1）三点确定一个平面；（2）一条直线和一个点确定一个平面；（3）两条直线确定一个平面，其中不正确的命题个数有（）.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
14.以下命题中真命题的是（）
A.各侧面都是矩形的棱柱是长方体
B.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C.体对角线都相等的平行六面体是长方体
D.各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱
15.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（）
A.一定相等 B.一定互补
C.一定相等或互补 D.以上都不对
16.为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为
A. B.
C. D.
三､解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.在长方体中（如图），，点是棱的中点.
（1）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体是否为鳖臑？并说明理由；
（2）求直线与直线所成角的大小.
18.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，为中点.
（1）求证：平面；
（2）若分别是线段的中点，是直线上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的比值：若不存在，请说明理由.
19.某工厂承接制作各种弯管的业务，其中一类弯管由两节圆管组成，且两节圆管是形状､大小均相同的斜截圆柱，其尺寸如图所示（单位：），其中斜截面与底面所成的角为，若，底面直径为8.
（1）求其中一节圆管的体积；
（2）求这一类弯管的表面积.
20.已知矩形的长为2，宽为1.（如图所示）
（1）若为的中点，将矩形沿折起，使得平面平面，分别求到和的距离.
（2）在矩形中，点是的中点､点是的三等分点（靠近点）.沿折痕将翻折成，使平面平面.又点分别在线段上，若沿折痕将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长.
21.类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理，如图1，由射线构成的三面角，记，二面角的大小为，则.
如图2，四棱柱中，底面为菱形，，且.
（1）在图2中，用三面角余弦定理求的值；
（2）在图2中，直线与平面内任意一条直线的夹角为，证明：；
（3）在图2中，过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，求的值.
2024~2025学年华二附中高二（上）10月月考数学试卷
一､填空题
1.【答案】
2.【答案】平行
【解析】根据线面垂直的性质定理可以得到垂直于同一个平面的两条直线平行.
3.
【答案】12
【解析】如图所示，
在直观图中，设与交于点，则，
在原图形中，，
所以原图形的周长是.
4.【答案】
5.【答案】10
【解析】如图所示，由三角形中位线的性质可得：
.
所以四边形是平行四边形，
因为，
所以.
6.【答案】
【解析】设长方体的长､宽､高分别为，
由题意得，
可得，
则，
所以长方体的对角线长为.
7.【答案】
【解析】利用异面直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类：
两条棱所在直线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0；
面对角线与棱所在直线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0；
两条面对角线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0；
体对角线与棱所在直线异面时，所成角的余弦值为；
体对角线与面对角线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0；
所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是.
8.【答案】②③④
【解析】设，则
连接，由长方体性质可知，，所以，
所以，
同理可得；
所以，
所以②③正确，①错误.
连接，由长方体的性质可得为与平面所成角，即；
，
同理可得；
所以，
所以④正确.
故答案为：②③④.
9.【答案】
【解析】（1）当的三个顶点在平面的同侧时，由公式，求得重心到平面的距离为3.
（2）当的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面的异侧时，求得重心到平面的距离分别为.
综上，答案为.
10.【答案】
【解析】如图所示：过作平面，
交于点于，连接，
平面平面，故，
又因为平面，
故平面，即即为二面角的平面角，，
故，
在中，，故，
在中，，
平面即为与地平面所成的角，
则离地平面的高度.
11.【答案】
【解析】如图，作.
在平面内，由平面.
在平面内，由面.又因为与全等，
设平面为平面，平面为平面，平面为平面.
由面积射影定理知：
同理可得
所以，
故有.
12.【答案】或或或
【解析】点在二面角内，过作平面平面，垂足分别为，
不妨令，
则平面，
于是平面，令与平面交于点，
连接，则，
因此是二面角的平面角或其补角，
当不是钝角时，如图，
在中，，则，
在R中，，
因此；
在此情形下，若半平面取棱另一侧部分，
则此时二面角为；
当是钝角时，如图，
同理得，
因此二面角的平面角为，
在此情形下，若半平面取棱另一侧部分，
则此时二面角为；
所以二面角的大小是或或或.
二､单选题
13.【答案】D
【解析】对于（1），当三个点在同一直线上时，三个点不能确定一个平面，所以（1）不正确；
对于（2），当点在直线上时，不能确定一个平面，所以（2）不正确；
对于（3），当两条直线异面时，不能确定一个平面，所以（3）不正确；
故选：D
14.【答案】C
【解析】对于A：直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体，如直三棱柱，故选项A不正确；
对于B：有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱，但这两个侧面如果不相邻，就不一定是直棱柱了，故选项B不正确；
对于C：如图，对于平行六面体，
四边形是平行四边形，又，
故平行四边形为矩形，则，
由棱柱的性质，可知为长方体，故选项C不正确；
对于D：底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，但不是正四棱柱，故选项D不正确；
故选：C
15.【答案】D
【解析】当两个半平面分别垂直时，两个二面角的大小关系不确定.可以选正方体从同一个点出发的三个侧面和一对角面.
16.【答察】A
【解析】设平面上两条直线分别满足，
则相交，设交点为，且夹角为，
如图示：
过空间一点作直线，若直线与均异面，且所成角均为，
则直线与直线所成角均为，
当时，不存在这样的直线，
当时，这样的直线只有一条，
当时，这样的直线有两条，
当时，这样的直线有三条，
当时，这样的直线有四条，
当时，这样的直线只有一条，
故答案为：，故选A.
三､解答题
17.【答案】（1）是；（2）
【解析】（1）在长方体中，
，
点是棱的中点，，
平面平面，
平面平面，
平面，
四面体为鳖臑.
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，
得，
故，
直线与直线所成角的大小为.
18.【答案】（1）见解析；（2）存在点，使得平面，且.
【解析】（1）证明：连接交于，再连接，
因为四边形为平行四边形，
所以为的中点，
又为的中点，
所以在中，，
又平面平面，
所以平面.
（2）存在点，使得平面.
与的交点记为.
当为的中点时，可知，
所以，
分别是线段的中点，
所以，
又，且平面平面，
所以平面平面，又平面，
所以当为的中点时，即时，平面.
19.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意可知，其中一节圆管的体积为：
（2）由题意可知，这一类弯管的表面积为：
20.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）取中点，过作，垂足分别为，连接，
由，得，而平面平面，平面平面，
平面，则平面，又平面，即有，
又平面，于是平面，而平面，
从而，即长是点到直线的距离，
同理长是点到直线的距离，
显然，四边形是矩形，
，
又，因此，
，
所以到和的距离分别为.
（2）作于于，连接，如图，
在中，，
则，
，于是，
，
设，则，
翻折后，平面平面，平面平面，
平面，
则平面，而平面，于是，
，
由点与重合，得，
因此，整理得，解得，
所以线段的长为.
21.【答案】（1）；（2）见解析；（3）2
【解析】（1）设，连接，
由菱形可得，而，故，
而，故为等边三角形，故，
因为，故，
所以，而，故，
因为平面，故平面，
而平面，故平面平面，
故的二面角的平面角为直角，而，
由三角面公式可得：
（2）依题意可得，设平面内任一条直线为，
若过点时，记与的夹角为，
由（1）及三面角公式可得，
因为，所以，
又，所以；
若不过点时，过点作使得，记与的夹角为，
则，因为，
所以，
又，所以；
综上可得.
（3）连接，因为平面平面，
所以平面，
同理可证平面，又平面，
所以平面平面，
因为平面平面，而平面，所以平面平面，
又平面平面，又平面平面，
所以，又即，
所以四边形为平行四边形，所以，而在的延长线上，
因为，所以，
所以，即.