山西孝义中学校2024-2025学年高三上学期学业水平质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份山西孝义中学校2024-2025学年高三上学期学业水平质量检测 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
说明：本试题考试时间120分钟，满分为150分
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集为R，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．“>0”是“3x2>0”成立的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件D．充要条件
3．若直线过点，则的最小值等于
A．2B．3C．4D．5
4．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数​，则​（ ）
A．​B．1C．​D．5
7．函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．经过点作曲线的切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列不等式中，推理正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．若，则（ ）
A．为偶函数B．为奇函数
C．的值域为D．的值域为
11．若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．1
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若，则 ．
13．的单调增区间是 .
14．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为．若，则曲线在处的曲率是
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．化简下列各式：
(1)；
(2)
16．已知函数f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
（Ⅱ）若曲线y＝f （x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
17．设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
18．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
19．已知函数.
(1)讨论函数的单调性与极值；
(2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.
1．D
【解析】由已知集合的描述，结合交、并、补运算即可判断各选项的正误
【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误.
B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误.
C中，，错误.
D中，由，则，，正确.
故选：D．
2．A
【详解】试题分析：,所以“”是“”成立的充分非必要条件
考点：充分条件与必要条件
3．C
【详解】试题分析：∵直线（，）过点，∴．则，当且仅当时取等号．故答案为C．
考点：基本不等式.
4．D
【分析】利用对数函数的性质判定,利用指数幂的运算化为同底数的幂后利用指数函数的性质可以判定，从而得到结论.
【详解】,
,
故选D.
【点睛】本题考查利用指数、对数函数的性质比较大小问题，关键是熟练掌握和运用指数、对数函数的单调性.
5．A
【分析】首先推导出，即函数的对称中心为，再根据函数的平移只需将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，则该函数关于对称，即可判断.
【详解】因为定义域为，
则，所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，
该函数的对称中心为，故函数为奇函数.
故选：A.
6．B
【分析】利用导数运算求得.
【详解】，
令得.
故选：B
7．A
【分析】根据函数在上单调递增，可得在上恒成立，然后利用分离参数法即可求解.
【详解】因为，所以.
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，即，即可
令，则
由函数单调性的性质知，g(x)在上减函数，
，即.
所以实数的取值范围为。
故选：A.
8．C
【分析】设出切点坐标，写出切线方程
把代入，研究方程根的情况即可.
【详解】因为，
设切点为，所以曲线在点处的切线方程为.
将代入，得即：或，
所以，此时，切点为；
或
因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不同的根，即经过点作曲线的切线有3条.
故选：C.
9．ACD
【分析】A选项，分，，三种情况，得到，故A正确；BCD选项，根据不等式性质进行判断.
【详解】A选项，显然均不为0，
若，此时，不合要求，
若，此时，满足要求，所以，
若，此时，不合要求，
故，A正确；
B选项，因为，所以，，
两边同时乘以，得，B错误；
C选项，，故，则，,
不等式两边同时乘以，得，C正确；
D选项，由不等式性质得到，若，则，D正确.
故选：ACD
10．BC
【分析】对A，B，先判断的定义域是否关于原点对称，再求出，即可判断函数的奇偶性；对C，D，先对利用分离常数法进行化简，再根据指数函数的值域以及不等式的性质即可求出的值域.
【详解】解：对A，由知：，
解得：，
故的定义域为：且关于原点对称，
，
即为奇函数，故A错；
对B，由A知为奇函数，故B对；
对C，，
，
或，
则或，
即或，
即或，
即或，
故的值域为，故C对；
对D，由C知的值域为，故D错.
故选：BC.
11．AD
【分析】设切点为，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，可得到，有两条切线转化为有两个不等的实根，即可求出a的取值范围，进而得到正确选项.
【详解】设切点为，，
所以切线的斜率，
则此曲线在P处的切线方程为，
又此切线过坐标原点，所以，
由此推出有两个不等的实根，所以，解得或，
故选：AD．
12．2
【分析】根据导数的概念，求出，又，求出即可得到答案.
【详解】因为，
根据导数的概念可得，，
即，所以.
又，所以.
故答案为：2.
13．
【分析】根据对数型复合函数的单调性求解方法求解.
【详解】要使函数有意义，
则，解得或，
因为二次函数在单调递减，单调递增，
所以的单调增区间是.
故答案为：.
14．1
【分析】依题意，对函数分别求f′x和f″x，再将点的横坐标代入曲率表达式计算即得.
【详解】由求导得，，再求导得，，
依题意，曲线在处的曲率为.
故答案为：1.
15．(1)
(2)
【分析】（1）借助指数幂的运算法则化简计算即可得；
（2）借助对数运算法则化简计算即可得.
【详解】（1）原式；
（2）原式
.
16．（I）；（II）.
【详解】试题分析：（I）由函数f(x)的图象过原点可求得，由在原点处的切线斜率为可得进而可求得；（II）由曲线存在两条垂直于轴的切线得有两个不同的根，即，可解得的取值范围.
试题解析：．
（Ⅰ）由题意得，解得．
（Ⅱ）∵曲线存在两条垂直于轴的切线，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，
∴即
∴
∴a的取值范围是
考点：导数的几何意义.
17．（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为0,+∞，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
18．（1）；（2）函数的增区间为、4,+∞，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、4,+∞，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
19．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案.
（2）时，，令，求函数的最小值，得到答案.
【详解】（1），.
①当时，恒成立，
在R上单调递增，无极大值也无极小值；
②当，时，，
时，，
在上单调递减，在单调递增.
函数有极小值为，无极大值.
（2）若对任意，恒成立，
则恒成立，即.
设，则，令，
解得，当时，，当时，，
在上为减函数，在上为增函数，，
，当时满足对任意，恒成立，
实数a的取值范围为.
4,+∞
增
极大值
减
极小值
增