山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期9月开学考试 数学试卷（含解析）

这是一份山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期9月开学考试 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．无数个
2．“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
3．已知为等差数列，是其前项和，若，且，则当取得最小值时，（ ）
A．3B．6C．7D．8
4．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
6．若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．设，用表示不超过的最大整数.已知数列满足，，若，数列的前项和为，则（ ）
A．4956B．4965C．7000D．8022
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知正实数a，b，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
10．记为正项等比数列的前项和，则（ ）
A．是递增数列B．是等比数列
C．不是等比数列D．，，，…成等比数列
11．已知，，且，.若，，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知集合，且“，（，且）”是假命题，则实数的取值范围为 .
13．等比数列的前项和记为，若，，则 .
14．已知曲线，，若曲线，恰有一个交点，则实数的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．解关于的不等式：.
16．在数列中，，，.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设数列满足，求数列的前项和的最小值.
17．如图，一海岛O离岸边最近点B的距离是120km，在岸边距点B300km的点A处有一批药品要尽快送达海岛.已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为90km，快艇时速为60km.设海运起点C到点B的距离为.（参考数据：）

(1)写出运输时间关于的函数；
(2)当点选在何处时运输时间最短？
18．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数，求函数极值点的个数；
(3)当时，若在上恒成立，求证：.
19．已知数列的首项为2，为数列的前项和，，其中，.
(1)若是和的等差中项，求数列的通项公式；
(2)设双曲线的离心率为，且，证明：；
(3)在（1）的条件下，记集合，，若将所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，为数列的前项和，求使得成立的的最小值.
参考答案
1．【答案】B
【分析】画出两函数图象并根据交集的几何意义即可得出其中的元素个数.
【详解】根据题意可知表示的是在函数上的点的集合，且它们的纵坐标不小于横坐标；
易知的定义域为；
画出函数与的图象，如下图所示：

两函数图象横坐标较大的点的坐标为，因此在上，共有三个点坐标满足题意，
所以中有3个元素.
故选B.
2．【答案】C
【分析】根据分式不等式的求解结合充分与必要条件的性质求解即可.
【详解】由，可得，即，，解得或.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选C.
3．【答案】C
【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
【详解】因为为等差数列，若，且，
则，即，
又，即，故公差，
当取得最小值时，．
故选C．
4．【答案】D
【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得，再由基本不等式计算即可得出结论.
【详解】由不等式的解集为，
可知1和是方程的两个实数根，且，
由韦达定理可得，即可得，
所以.
当且仅当时，即时等号成立；
即可得.
故选D.
5．【答案】A
【分析】根据题意，利用导数的几何意义，求得曲线的切线方程，得到，得出，结合，即可求得函数的单调递减区间，得到答案.
【详解】由函数，可得，
所以且，
曲线在点处的切线方程，即，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，可得，
令，可得，即，解得，
所以函数在内的单调递减区间是.
故选A.
6．【答案】C
【分析】由题可知不等式的解集是解集的子集，分类讨论，利用集合的关系列不等式即得.
【详解】因为不等式的解集为或
由题可知不等式的解集是解集的子集，
不等式，即，
①当时，不等式的解集为，满足或；
②当时，不等式的解集为，
若或，则，
所以；
③当时，不等式的解集为，满足或；则，所以；
综上所述，实数a的取值范围为．
故选C．
7．【答案】B
【分析】根据题意求出函数的导数并且通过导数求出原函数的单调区间，进而得到函数的极值，从而求出的范围．
【详解】由题意可得：．
令，则或，令，则，
所以函数的单调增区间为和，减区间为，
所以当时函数有极大值，当x=1时函数有极小值，
若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点，
所以实数的取值范围是．
故选B．
8．【答案】B
【分析】根据与的关系，利用相减法求解数列的通项公式，从而可得，结合对数运算性质确定数列的前项，从而得前项的和.
【详解】数列满足，，
故当时，，
相减得：，即，
所以，故当时，，当时，，
则当时，为常数列，所以，故
又符合上式，则；
所以，则当时，；
当时，；当时，；当时，；
又数列的前项和为，则.
故选B.
9．【答案】ABD
【分析】结合指数运算利用基本不等式可判断AD的真假；利用基本不等式可判断B的真假；利用二次函数最值可判断C的真假.
【详解】因为，且，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；
，当且仅当时，等号成立；
由B选项可知，，所以，
当且仅当时，等号成立，故D正确；
，当时，有最小值，
即，故C错误.
故选ABD.
10．【答案】BCD
【分析】由题意可得，当时，数列an单调递减，从而判断A；由等比数列的性质及定义分别判断B，C，D.
【详解】由题意可得，所以等比数列an的公比
所以，
对于A，当时，易知数列an单调递减，故A错误；
对于B，令，
所以，
所以数列是等比数列，
即是等比数列，故B正确；
对于C，当时，，此时数列是等差数列；
当且时，，
因为不是常数，所以不是等比数列，故C正确；
对于D，因为，
，
所以，
所以，，，…成等比数列，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】AC
【分析】根据题意，利用导数分别求得函数fx,gx的单调性与最值，结合合理转化，转化为函数，利用hx的单调性与最值，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，
又由，可得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，当时，函数取得最大值，最大值为，
对于A中，要证，即证，
因为函数在上单调递减，所以，
因为，即证，即证，
设，可得，
令，可得，
所以φx单调递增，且，所以，即h'x<0，
所以hx在上单调减，所以，
即，所以，所以A正确；
对于C中，注意到，
又由，所以，
因为，且在上单调递减，
所以，所以，所以 C正确；
对于B中，由，可得，所以，
又由，且在上单调递增，
所以，所以，所以B不正确；
对于D中，要证，即证，因为在上单调递增，
即证，因为 ，即证，
即证，
设，可得，
令，可得，
所以φx单调递增，且，所以，即h'x>0，
所以hx在上单调增，所以，
这与hx>0矛盾，所以不成立，所以D不正确.
故选AC.
12．【答案】
【分析】利用指数函数的单调性分类讨论即可.
【详解】，故，
若则，，
此时“，（，且）”是真命题，故舍去；
若，则，，
此时“，（，且）”是假命题，符合要求；
故.
故答案为：
13．【答案】
【分析】运用等比数列的求和公式计算即可 。
【详解】等比数列an的前项和记为, ，显然.
则 ，化简得，
解得,则，.
当时,，
当时,，.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】将交点问题转化为函数零点问题，导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
【详解】曲线，，若曲线，恰有一个交点.
即的零点一个，，
当时，，所以当x∈0,1时，f'x>0，单调递增；
当x∈1,+∞时，f'x<0，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
则当时， ；即（后面备用）.
当时，，在上，f'x>0，单调递增；
在上，f'x<0，单调递减；又，
由得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，f'x>0，单调递增；
在上，f'x<0，单调递减；此时，
由得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为0,+∞.
故答案为：0,+∞.
15．【答案】答案见解析
【分析】将分式不等式整理等价转化为，对参数进行分类讨论即可得出对应的解集.
【详解】原不等式可化为，即，
也即.
当时，不等式可化为，解得.
若，则，
当时，且，解得或.
当时，且，解得.
当时，且，解得.
当时，原不等式可化为，解集为.
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通分得到，进而化简得到，最后得到，进而题目得证.
（2）通过化简得到，进而得到，利用的单调性可求得答案.
【详解】（1）证明：，，
整理得，，通分，，
.
，
，而，则，
数列是以为首项，2为公比的等比数列.
（2）解：由（1）得，则，
，，
.
数列递增，则，数列的最小值为.
17．【答案】(1)
(2)当点选在距点105.6km时运输时间最短
【分析】（1）根据题意先求出和，然后利用勾股定理以及时间距离速度，即可得到答案；
（2）对进行求导，利用导数求解函数单调性，从而得到函数的最值，即可得到答案．
【详解】（1）由题意知，，
.
（2）.
令，得，
当时，，当时，，
所以时取最小值.
所以当点选在距点105.6km时运输时间最短.
18．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；
（2）求导，分类讨论求解函数的单调区间，根据极值点的概念即可判断极值点个数；
（3）由题意在上恒成立，构造函数，分类讨论研究函数的单调性，参变分离，构造函数，利用导数法求解最值即可证明.
【详解】（1）的定义域为，，，
所以，，所以曲线在处的切线方程为.
（2），，
对于方程，，
①当时，，，此时没有极值点；
②当时，方程的两根为，，不妨设，
则，，，当或时，，
当时，，此时，是函数的两个极值点；
③当时，方程的两根为，，且，，
故，，当时，，故没有极值点；
综上，当时，函数有两个极值点；
当时，函数没有极值点.
（3）证明：由在上恒成立，
得在上恒成立，
设，，
当时，，在上单调递增，此时显然不恒成立.
当时，若，则，在上单调递增，
若，则，在上单调递减，
所以，
所以.
要证成立，因为，即证明.
因为，
令，，，令得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，所以，所以成立.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)27
【分析】（1）根据等差中项的性质，结合基本量法求解即可；
（2）代入通项公式，根据放缩法证明，再根据等比数列求和公式求解即可；
（3）分析在集合中加了几个中的1，2，3…个元素考虑，分析得出规律再判断即可.
【详解】（1）由①知，当时②，两式相减可得，
所以从第二项开始是公比为的等比数列，当时，代入可得，即，
所以是公比为的等比数列，又是和的等差中项，
所以，即，解得或（舍去），所以.
（2）证明：由双曲线的性质可知，，
由（1）知是首项为2，公比为的等比数列，故，得，
故，则，
则.
（3），，
则新数列为，
由上可得规律：
1、新数列中元素2前只有1个元素，且到之间有1个元素，到之间有2个元素，到之间有4个元素，到之间有8个元素，到之间有16个元素，依次类推，
2、数列中、、、、、……外，其它元素均来自集合B，
由上，元素之前（含），新数列共有元素个数为38个，其中32个来自B，6个来自A，
则，
元素之前（含），新数列共有元素个数为21个，其中16个来自B，5个来自A，
则，
所以成立的的最小值出现在到之间的某个位置，
其中间元素有
则，
而，
，
综上，，而，所以使得成立的的最小值为27.