江西省上饶骏华中学2025届高三上学期9月月考 数学试卷（含解析）

这是一份江西省上饶骏华中学2025届高三上学期9月月考 数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的部分图象如图所示，则可以为（ ）

A．B．
C．D．
3．甲乙两人玩纸牌游戏，已知甲手中有两张10与三张5，乙手中有三张9与两张4.现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，下列结论错误的是（ ）
A．的图像有对称轴B．当时，
C．有最小值D．方程在上无解
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的射线分别与椭圆和圆相交于点，过点作，垂足为为坐标原点，则（ ）
A．B．C．2D．
7．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，为的中点，若，，，则（ ）

A．B．
C．D．
8．已知函数，若对任意，有， 则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，若，则（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为
10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是的重心
B．若，则点在边的延长线上
C．若在所在的平面内，角所对的边分别是，满足以下条件，则
D．若，且，则的面积是面积的
11．已知数列满足，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．数列的前项和为D．能被3整除
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数，正数满足，则的最小值为 ．
13．已知双曲线的方程为，右焦点为，若点，是双曲线的左支上一点，则周长的最小值为
14．已知函数有且只有两个零点，则a的范围 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知集合，集合．
（1）当时，求和；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16．已知函数的最小正周期为，其图象关于点对称.
(1)令，判断函数的奇偶性；
(2)是否存在实数满足对任意，任意，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
17．如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点，
(1)求证：EF⊥平面PBC；
(2)若，，二面角的正弦值为，求BC．
18．已知椭圆的离心率为．
(1)求椭圆E的方程和短轴长；
(2)设直线与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C，证明：．
19．已知数列,
(1)求.
(2)求的通项公式；
(3)设的前项和为,若,求.
1．C
【分析】根据交集定义运算.
【详解】因为，,
所以.
故选：C.
2．A
【分析】由排除D，由奇偶性排除B，由在时的单调性即可排除C，最后验证A符合题意即可.
【详解】对于D，函数中，，所以排除D；
对于B，显然，都为奇函数，为偶函数，
且也是奇函数，理由如下：
的定义域为全体实数，且，所以是奇函数
所以，为偶函数，为奇函数，所以排除B；
对于C，当时，（由复合函数单调性可判断），同时单调递增，且同时非负，
所以在时也单调递增，所以排除C；
经检验A选项符合题意.
故选：A.
3．D
【分析】两人手中牌的点数之和是相等的，根据题意，需甲被抽取的两张牌的点数之和更小，分类讨论，结合组合数公式解决古典概型问题.
【详解】一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，则甲被抽取的两张牌的点数之和应比乙被抽取的小，
若甲被抽取的两张牌点数都为10，不合题意；
若甲被抽取的两张牌一张点数为10一张点数为5，则乙被抽取的两张牌点数都为9；
若甲被抽取的两张牌点数都为5，乙被抽取的两张牌点数都为9或一张点数为9一张点数为4.
则所求概率为.
故选：D
4．D
【分析】选项A，根据条件可得为偶函数，即可判断选项A的正误，选项B，利用偶函数的性质，先判断时，成立，分和两种情况，当时，利用三角函数的符号即可判断成立，当时，利用三角函数的定义及弧长公式，即可判断成立；选项C，利用的周期性及的奇偶性，当，得到存在最小值，则最小值只会在区间内取到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可判断出选项C的正误；选项D，利用零点存在性原理，即可判断出选项D的正误，从而得出结果.
【详解】对于选项A，易知的定义域为，关于原点对称，
又，所以为偶函数，关于轴对称，所以选项A结论正确，
对于选项B，当时，，又，，
所以，即当时，成立，
当时，如图，在单位圆中，设是角的终边，过作轴的垂线交于，过作轴的垂线交轴于，
易知，由三角函数的定义知，，
由图易知，即，
得到，所以，即有，
所以时，成立，又由选项A知，为偶函数，
当时，，所以，即，
所以选项B中结论正确，
对于选项C，因为周期函数，最小正周期为，
当时，如果存在最小值，则最小值只会在区间内取到，
当时，，令，
则在区间上恒成立，
又，，所以存在，使，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处取到最小值，即当时，存在最小值，
由选项A知，为偶函数，所以选项C的结论正确，
对于选项D，由，得到，
令，所以，，
由零点存在性原理知，在区间至少有一个零点，所以选项D的结论错误，
故选：D.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C，利用的周期性及的奇偶性，得到当时，存在最小值，则最小值只会在区间内取到，再利用导数与函数单调性间的关系来解决问题.
5．B
【分析】由倍角公式可得，即，分和两种情况，求的值，运算求解即可.
【详解】因为，
由可得，
又因为，
若，则，
可得，
所以；
若，则，
可得，
所以；
综上所述：.
故选：B.
6．C
【分析】根据题意，得到，由椭圆的定义得到，则，得到为的中点，结合中位线定理，即可求解.
【详解】由椭圆，可得，则，
又由圆可化为，可得圆心，半径，则，
根据椭圆的定义，可得，则，
因为，可得为的中点，
又因为为的中点，可得.
故选：C.
7．B
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为为与的交点，
所以，
故.
故选：B.
8．A
【解析】根据，可得x=1是的极小值点，即，可得a，b的关系，对与的作差，可得，构造，即可求得的极大值，化简整理，即可得答案.
【详解】由题意得，
因为，所以在x=1处取得最小值，即为x=1是的极小值点，
所以，即，
所以，
令，则，
令，解得，
当时，，所以为增函数，
当时，，所以为减函数，
所以，
所以，即.
故选：A
【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导函数求解函数极值，判断单调性的方法，并灵活应用，比较两式大小，常用作差法或作商法，难点在于构造并求极大值，属中档题.
9．AC
【分析】对于A和B，根据题意画出分段函数的图像，将方程的根的问题转化为与的交点即可，通过观察图象直接判断；对于C和D，可以借助二次函数的对称性，得到运用将未知数减少，转化为函数后用基本不等式可求出的范围即可解决.
【详解】
在平面直角坐标系内作出函数y=fx的图象，如图.
关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根,
等价于与有四个不同交点,则，显然正确.
令，则或，所以或，
所以，当时最小，数形结合有，故B不正确.
运用二次函数对称性，可知
，
当且仅当时取等号，故C正确.
根据图象，则无最大值，故D不正确.
故选：AC.
10．ACD
【分析】对于A，只需证明即可；对于B，我们只需证明，进而说明点并不在射线上；对于C，我们先设的内心为，然后证明和重合；对于D，我们只需求出两个三角形面积对比即可.
【详解】对于A，，即，
则，
所以点是的重心；
对于B，若，则，
所以点在边的反向延长线上，故B错误；
如图对于C，延长到，使，同理，
因为，所以，
以为邻边作平行四边形，所以，则，即，
因为，
同理，
，
所以，故C正确；
如图对于D，设为中点，
，所以，即，
由，所以，所以三点共线，
所以.故D正确.
故选：A C D.
【点睛】关键点点睛：向量之间的加减法运算和内积运算，以及内积关于加法的分配律及数形结合是解决本题的关键.
11．BCD
【分析】利用构造法得到数列是等比数列，从而求得通项，就可以判断选项，对于数列求和，可以用分组求和法，等比数列公式求和完成，对于幂的整除性问题可以转化为用二项式定理展开后，再加以证明.
【详解】由可得：，所以数列是等比数列，即，
则显然有，所以不成等比数列，故选项A是错误的；
由数列是等比数列可得：，即，故选项B是正确的；
由可得：前项和，故选项C是正确的；
由
，故选项D是正确的；
方法二：由，1024除以3余数是1，所以除以3的余数还是1，从而可得能补3整除，故选项D是正确的；
故选：BCD．
12．12
【分析】由函数奇偶性的判定得出为奇函数，有，进而得出，再根据基本不等式求解即可．
【详解】因为定义域为，又，
所以为奇函数，有，
又，所以，即，
又因为为正数，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：12．
13．
【解析】求出左右焦点的坐标，从而可求；通过分析，将周长最小转化为求的最小值.当在左支上运动到共线时取得最小值，从而可求周长的最小值.
【详解】解：双曲线的标准方程为，设双曲线的左焦点为，
由双曲线可得，，
周长为
由双曲线的定义可得，即有.
当在左支上运动到共线时，取得最小值.
则有周长的最小值为.
故答案为: .
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的几何意义.对于圆锥曲线中的三角形问题时，常根据椭圆、双曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理对三角形进行求解.本题的难点是将三角形周长最小值问题转化成两条线段之和最小.
14．
【分析】根据题意，转化为有两个根据，即或有两个解，分别令，，利用导数求得函数和hx的单调性与最值，作出函数和hx的图象，结合图象，即可求解.
【详解】由函数，令，可得，
即，因为，所以，所以，
可得或，
即或，
令，，可得，，
当时，可得，在单调递增，且；
当时，gx>0且；
当时，可得h′x0，hx在单调递增，且，
又当时，gx>0，hx