备战2025年高考数学压轴题训练专题17解三角形(解答题压轴)(学生版+解析)

这是一份备战2025年高考数学压轴题训练专题17解三角形(解答题压轴)(学生版+解析)，共52页。

\l "_Tc29064" 二、三角形角平分线问题 PAGEREF _Tc29064 \h 3
\l "_Tc5980" 三、三角形周长（边长）（定值） PAGEREF _Tc5980 \h 5
\l "_Tc21781" 四、三角形周长（边长）（最值，范围问题） PAGEREF _Tc21781 \h 8
\l "_Tc30843" 五、三角形面积（定值） PAGEREF _Tc30843 \h 10
\l "_Tc31238" 六、三角形面积（最值，范围问题） PAGEREF _Tc31238 \h 13
一、三角形中线问题
1．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）已知为的外心，，当最大时，边上的中线长为 ．
2．（23-24高一·全国·课后作业）已知向量，，，且A为的内角.
（1）求角A的大小；
（2）若中，角，，的对边分别为，，，，，求边BC上的中线AD的长.
3．（2024高三·全国·专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若的面积为，求a的最小值；
(2)若，BC边上的中线长为，且的外接圆半径为，求的周长．
4．（2024·四川）在中，角所对的边分别为，且满足
（1）求角;
（2）若外接圆的半径为，且边上的中线长为，求的面积
二、三角形角平分线问题
1．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）．
(1)若，用，表示；
(2)若点为的外心，求、的值；
(3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围．
2．（23-24高一上·湖北咸宁·自主招生）如图所示，在 中，点 在 边上，点 在线段 上．
(1)若．
①如图1，若 ，，过 作 于点 ，直接写出 的值为 ；
②如图2，若 ，求 的值．
(2)如图3，已知 为 的角平分线，，，直接写出线段 的长度．
3．（23-24高一下·河南周口·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求C；
(2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为，求OC．
4．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知的内角的对边为，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
（i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
（ii）求内角的角平分线长的最大值.
5．（23-24高一下·重庆·期末）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
三、三角形周长（边长）（定值）
1．（23-24高一下·河南漯河·期末）已知三角形的内角所对的边分别为，若，且.
(1)若，求；
(2)点在边上且平分，若，求三角形的周长.
2．（23-24高一下·福建南平·期末）已知的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，且的面积为，求的周长．
3．（23-24高二下·四川凉山·期末）在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若的面积边上的中线，求的周长．
4．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别为，的外接圆半径为，且．
(1)证明：；
(2)若，的面积为，求的周长．
5．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知在中，角所对的边分别为，，，且
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
四、三角形周长（边长）（最值，范围问题）
1．（23-24高一下·北京大兴·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)若．
（i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
（ii）求周长的取值范围．
2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知是边长为的正三角形，点在边上，且，点为线段上一点.
(1)若，求实数的值；
(2)求的最小值；
(3)求周长的取值范围.
3．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的取值范围；
(2)已知内切圆的半径等于，求周长的取值范围.
4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线AD交BC于点D．
(1)若，，求AD的长度；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
5．（23-24高一下·江苏泰州·期末）在中，角的对边分别为，，，已知.
(1)当时，求的值；
(2)当时，求周长的最大值.
6．（2024·湖南长沙·一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围．
五、三角形面积（定值）
1．（23-24高一下·山东枣庄·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，为内一点.
(1)证明：为等腰三角形；
(2)若，，，求的最小值；
(3)若，，，求的面积.
2．（23-24高一下·重庆·期末）平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)求四边形周长的取值范围；
(3)若为边上一点，且满足，，求的面积．
3．（23-24高一下·浙江温州·期末）在中，，，.
(1)求A；
(2)D为边的中点，E为边上一点，交于P.
（i）若E为的中点，求的余弦值；
（ii）当时，求的面积.
4．（23-24高三上·山东青岛·期中）在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)已知点D在AC边上，且，求的面积.
六、三角形面积（最值，范围问题）
1．（2024·四川达州·二模）在中，角、、所对的边分别为、、，.
(1)求；
(2)若，求面积的最小值.
2．（23-24高二上·云南玉溪·期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．
(1)若，求护栏的长度（的周长）；
(2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；
(3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
3．（23-24高二上·云南玉溪·期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养鸡地，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知 m， m，，﹒
(1)若 m，求护栏的长度(的周长)；
(2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求AM的长；
(3)鱼塘的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．
4．（23-24高二上·江西景德镇·期中）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A的大小；
（2）若，求面积的取值范围.
5．（2024高三上·全国·专题练习）中，的面积为.
（1）求
（2）若为的中点，分别为边上的点（不包括端点），且，求面积的最小值.
备战2025年高考数学压轴题训练（新高考版）
专题17 解三角形（解答题压轴）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc23112" 一、三角形中线问题 PAGEREF _Tc23112 \h 1
\l "_Tc29064" 二、三角形角平分线问题 PAGEREF _Tc29064 \h 5
\l "_Tc5980" 三、三角形周长（边长）（定值） PAGEREF _Tc5980 \h 13
\l "_Tc21781" 四、三角形周长（边长）（最值，范围问题） PAGEREF _Tc21781 \h 18
\l "_Tc30843" 五、三角形面积（定值） PAGEREF _Tc30843 \h 29
\l "_Tc31238" 六、三角形面积（最值，范围问题） PAGEREF _Tc31238 \h 38
一、三角形中线问题
1．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）已知O为△ABC的外心，BC=6,BO⋅AC=4，当∠C最大时，AB边上的中线长为 ．
【答案】15
【分析】作出图形，利用平面向量的运算得到a2−c2=8，再利用余弦定理与基本不等式求得∠C最大时b的值，从而得解.
【详解】取AC中点D，连接OD、BD，则DO⊥AC，
则BO⋅AC=BD+DO⋅AC=BD⋅AC=12BC+BA⋅BC−BA=4，
所以BC2−BA2=8，即a2−c2=8，又BC=6，所以a=6，c=27，
则csC=a2+b2−c22ab=b2+812b≥2b2×812b=23，
当且仅当b2=8，即b=22时取等号，此时角C最大，
同时a2=b2+c2，所以A=90°，
所以AB边上中线长为CE=AE2+AC2=7+8=15.
故答案为：15.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用面向量的运算转化BO⋅AC，得到BC2−BA2=8，从而得解.
2．（23-24高一·全国·课后作业）已知向量a=−3,sinA，b=1,csA，a//b，且A为△ABC的内角.
（1）求角A的大小；
（2）若ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=14，b=10，求边BC上的中线AD的长.
【答案】（1）A=2π3；（2）AD=19
【解析】（1）根据向量共线坐标所满足的关系可得−3csA=sinA，从而求得tanA=−3，结合三角形内角的范围，可以确定A=2π3；
（2）根据A=2π3，可以求得sinA=32，根据题中所给的三角形的边长，以及正弦定理可得sinB=bsinAa=5314，进而求得csB=1114，利用三角形内角和以及余弦差角公式，求得csC=1314，利用余弦定理求得c=6，之后应用余弦定理求得AD=19，得到结果.
【详解】（1）因为a//b，所以−3csA=sinA，所以tanA=−3.
因为0（2）因为A=2π3，所以sinA=32.又a=14，b=10，
所以在ΔABC中，由正弦定理，可得sinB=bsinAa=10×3214=5314，所以，
所以在ΔABC中，csC=csπ−A−B=csπ3−B=csπ3csB+sinπ3sinB=1314.
在ΔABC中，由余弦定理，可得c2=b2+a2−2bacsC=100+196−2×14×10×1314=36，所以c=6.
在ΔABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2−2AB×BD×csB=36+49−2×6×7×1114=19.
所以AD=19.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，正弦定理，同角三角函数关系式，余弦定理，属于较难题目.
3．（2024高三·全国·专题练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsC+3asinC−b−c=0．
(1)若△ABC的面积为，求a的最小值；
(2)若A=π3，BC边上的中线长为52，且△ABC的外接圆半径为，求△ABC的周长．
【答案】(1)1
(2)3+33．
【分析】（1）由acsC+3asinC−b−c=0和△ABC的面积为，可得A=π3，bc＝1，后由余弦定理结合基本不等式可得答案；
（2）由△ABC的外接圆半径为，结合正弦定理可得a=3.由BC的中点为E，
可得c2+b2+bc=25，后由余弦定理可得答案.
【详解】（1）acsC+3asinC−b−c=0⇒abcsC+3absinC=b2+bc
⇒a2+b2−c22+32=b2+bc⇒b2+c2−a2+2bc=3⇒bccsA+1=32，
又12bcsinA=34，则sinAcsA+1=2sinA2csA22cs2A2=tanA2=33，
又A∈0,π，则A=π3.S△ABC=12bcsinA=34⇒bc=1，
又csA=b2+c2−a22bc=12，所以b2+c2−a2=1，
则1=b2+c2−a2≥2bc−a2=2−a2，解得a≥1，当且仅当b＝c＝1时取等号，故a的最小值为1；
（2）由正弦定理得a=23sinA=3，
设BC的中点为E，则AE=12(AB+AC)，两边平方得AE2=14AB2+AC2+2AB⋅AC⋅csA，
即522=14c2+b2+bc⇒c2+b2+bc=25①
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc=9②，
①－②得bc=8，又a2=(b+c)2−3bc=9，解得b+c=33，
故△ABC的周长为．
4．（2024·四川）在△ABC中，角所对的边分别为a,b,c，且满足csC=ab−c2b
（1）求角B;
（2）若△ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为172，求△ABC的面积
【答案】（1）π3；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式即可得解；
（2）由正弦定理得b=3，利用D为中点，结合向量的加法法则得2BD=BA+BC，从而得到17=c2+a2+ac，再结合余弦定理得ac=4，进而求得三角形面积.
【详解】（1）由csC=ab−c2b，得2bcsC=2a−c.
利用正弦定理得：，
即2sinBcsC=2sinB+C−sinC，化简得.
∵C∈0,π，∴sinC≠0，∴csB=12.
又∵B∈0,π，∴B=π3.
（2）由正弦定理得bsinB=23⇒b=3.
设D为AC边上的中点，则AD=32,BD=172，
利用向量加法法则得：2BD=BA+BC
两边平方得：4BD2=BA2+BC2+2BA⋅BC，即17=c2+a2+ac
由余弦定理b2=c2+a2−2accsB，即9=c2+a2−ac，
两式相减得8=2ac，即ac=4.
由三角形面积公式得：S△ABC=12acsinB=3.
【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有csx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A+B+C=π.
二、三角形角平分线问题
1．（23-24高一下·上海·阶段练习）在△ABC中，AC=2，BC=6，∠ACB=60∘．点O为△ABC所在平面上一点，满足OC=mOA+nOB（m、n∈R且m+n≠1）．
(1)若m=n=−1，用CA，CB表示OC；
(2)若点O为△ABC的外心，求m、n的值；
(3)若点O在∠ACB的角平分线上，当−12≤n≤−14时，求OC的取值范围．
【答案】(1)OC=−13CA−13CB；
(2)m=37，n=−57；
(3)334,3
【分析】（1）OC=mOA+nOB可化简OC=m(OC+CA)+n(OC+CB)，化简后可用表示CA，CB表示OC，代入m=n=−1即可；
.（2）由点O为△ABC的外心，可得OCCA=−12CA2,OCCB=−12CB2，利用这两个关系式可求m、n的值；
（3）设CD为∠ACB的平分线，则|CA||CB|=|AD||BD|=26=13，利用平面向量基本定理和共线向量定理可得：CO=λ(34CA+14CB)，再根据平面向量基本定理可得n=λ4λ−4，求出λ的范围后利用数量积可得|CO|=332λ，从而可得的取值范围.
【详解】（1）因为OC=mOA+nOB，所以OC=m(OC+CA)+n(OC+CB)，
化简后可得(1−m−n)OC=mCA+nCB，所以OC=m1−m−nCA+n1−m−nCB，
若m=n=−1，则OC=−13CA−13CB.
（2）如图，设CA,CB的中点分别为E,F，连接，
则OE⊥AC,OF⊥BC，
又OCCA=CA(OE+EC)=CAEC=−12CA2，同理OCCB=−12CB2，
又OC·CA=CA·m1−m−nCA+n1−m−nCB=m1−m−nCA2+n1−m−nCA·CB，
即−12×4=4m1−m−n+6n1−m−n，同理−12×36=6m1−m−n+36n1−m−n，
整理得到m+2n=−12m−3n=3，解得m=37n=−57；
（3）如图，CD为∠ACB的平分线，则|CA||CB|=|AD||BD|=26=13，
所以CD=34CA+14CB，
设CO=λCD=λ34CA+14CB,(0≤λ<1)，.
故λ(34CA+14CB)=mm+n−1CA+nm+n−1CB，
因为CA,CB不共线，故mm+n−1=34λnm+n−1=14λ，所以n=λ4λ−4，
因为−12≤n≤−14，所以−12≤λ4λ−4≤−14，故12≤λ≤23.
又CO2=λ2(916CA2+116CB2+38CACB)=274λ2,
所以|CO|=332λ，所以334≤|CO|≤3.
故OC的取值范围为[334,3].
【点睛】本题考查平面向量基本定理、向量的数量积，解题时注意根据外心、角平分线等几何性质实现向量计算时的转化，本题属于难题.
2．（23-24高一上·湖北咸宁·自主招生）如图所示，在 △ABC中，点 D在 BC边上，点 E在线段 AD上．
(1)若∠BED=∠BAC=2∠CED=α．
①如图1，若 α=90∘，AB=AC，过 C作 于点 F，直接写出 BECF的值为 ；
②如图2，若 ，求 的值．
(2)如图3，已知 AD为 △ABC的角平分线，AE=DE=2，AC=5,tan∠BED=2，直接写出线段 的长度．
【答案】(1)2；13−16；
(2)EB=45
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定计算即可；构造平行，根据相似三角形的判定与性质计算即可；
（2）构造平行线利用等腰三角形的判定与性质结合已知推出AG，根据勾股定理计算FG、CG，再由平行线分线段成比例即可即可.
【详解】（1）①若 α=90∘，AB=AC，则∠BED=90∘,∠CED=45∘，
因为 ，所以∠ABE=90∘−∠BAE=∠FAC,∠BED=∠AFC，
所以△BAE≅△ACF，即BE=AF,AE=CF，
易知△EFC为等腰直角三角形，则CF=EF=AE=12AF=12BE⇒BECF=2；
②如图所示，过C作CF//BE交AD于F点，取G点满足CF=CG，
根据题意有∠ABE=∠CAE,∠F=∠BED=α=∠CGF,∠GEC=∠GCE，
所以∠AEB=∠AGC，
则△AEB∼△CGA，所以CGAE=AGBE，
又CF//BE，所以有△DEB∼△DFC，即BECF=BDDC=3⇒BE=3CF=3CG，
设CF=x,AE=y，则BE=3x,CG=x=EG,
故yx=3xx+y⇒xy+y2−3x2=0⇒yx2+yx−3=0，解方程得yx=−1±132，
又yx>0，所以yx=13−12，
故AEBE=y3x=13−16
（2）
如图过C作CF//AD交BA延长线于F，延长交FC于G，连接AG，
则∠BAD=∠F,∠CAD=∠ACF，
又AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD=∠ACF=∠F，
所以AF=AC=5，
又AE=ED，所以CG=FG，所以AG⊥CF，
因为tan∠BED=2,AE=DE=2，
所以tan∠AEG=AGAE=2⇒AG=4，
GF=AF2−AG2=3,GE=AE2+AG2=25，
因为DE//CG，所以BEBG=EDGC⇒BEBE+25=23⇒BE=45.
【点睛】思路点睛：解三角形线段比值问题，通常需要构造相似三角形来转化线段关系，本题第一问第二小问通过构造平行线借助 “X”型相似及构造倍角关系求线段比值；第二问通过构造平行线借助平行线分线段成比例及勾股定理计算线段长度.
3．（23-24高一下·河南周口·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB+bcsAc=3(a2+b2−c2)2absinC
(1)求C；
(2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为1534，求OC．
【答案】(1)
(2)OC=1537
【分析】（1）由正余弦定理及两角和的正弦公式化简可得，据此求解；
（2）由三角形面积公式及余弦定理求出，再由定理及正弦定理求解即可.
【详解】（1）由a2+b2−c22ab=csC及acsB+bcsAc=3a2+b2−c22absinC，
有acsB+bcsAc=3csCsinC，
又由正弦定理，有sinAcsB+sinBcsAsinC=3csCsinC，
有sinA+BsinC=3csCsinC，有sinCsinC=3csCsinC，有，
又由C∈0,π，可得；
（2）由，有∠OAB+∠OBA=12A+B=12π−C=12π−π3=π3，
可得∠AOB=π−π3=2π3，
在△OAB中，由△OAB的面积为1534，有12AO×OB×sin2π3=1534，
可得AO×OB=15，
又由余弦定理及AB＝7，有AO2+AO×BO+BO2=49，
有AO+BO2−AO×BO=49，
代入AO×OB=15，有AO＋BO＝8，
联立AO+BO=8,AO×OB=15,解得AO=3,BO=5,或AO=5,BO=3,
由对称性不妨设AO=3,BO=5,
在△OAB中，有cs∠OAB=32+72−522×3×7=1114，可得sin∠OAB=1−11142=5314，
又由OA为角A的角平分线，有sin∠OAC=5314，
在△OAC中，由正弦定理有OAsin∠ACO=OCsin∠CAO，有3sinπ6=OC5314，
可得OC=1537．
4．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知△ABC的内角的对边为a,b,c，且3sinA−sinBsinC=3c−2ba+b.
(1)求sinA；
(2)若△ABC的面积为432；
（i）已知E为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AE长的最小值；
（ii）求内角A的角平分线AD长的最大值.
【答案】(1)223
(2)（i）263（ii）263
【分析】（1）由正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理求出csA，进而求出sinA的值即可；
（2）由三角形的面积公式12bcsinA=432，可得bc=4，对向量AE=12AB+AC表达式两边平方，应用基本不等式即可求得AE长的最小值；
（3）由于S△ADB+S△ADC=S△ABC，可得ADc+b=2bccsA2，由csA=13求出csA2的值，应用基本不等式即可求出角平分线AD长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理，得3a−bc=3c−2ba+b，即c2+b2−a2=23bc，
故csA=c2+b2−a22bc=23bc2bc=13，因为csA>0，所以A∈0,π2，
所以sinA=1−cs2A=1−19=223；
（2）（i）由（1）知sinA=223，且△ABC的面积为432，
由三角形的面积公式得：12bcsinA=432，解得bc=4，
由于E为BC的中点，则AE=12AB+AC，两边平方可得：
AE2=14AB2+AC2+2AB⋅AC=14c2+b2+2bccsA=14c2+b2+23bc
由基本不等式可得：
14c2+b2+23bc≥142bc+23bc=14×83bc=83（当且仅当b=c时，等号取得到），
所以AE2≥83⇒AE≥263，故AE长的最小值为263；
（ii）因为AD为角A的角平分线，所以sin∠BAD=sin∠CAD=12A，
由于S△ADB+S△ADC=S△ABC，
所以12ADcsinA2+12ADbsinA2=12bcsinA=bcsinA2csA2，
由于sinA2≠0，所以ADc+b=2bccsA2，
由于csA=2cs2A2−1=13⇒cs2A2=23⇒csA2=63，
又bc=4，所以ADc+b=2bccsA2=2×4×63=863，
由于b+c≥2bc=4（当且仅当b=c时，等号取得到），
故863=ADc+b≥2bcAD=4AD，
故AD≤263，即角平分线AD长的最大值为263.
5．（23-24高一下·重庆·期末）在△ABC中，内角所对的边分别为a,b,c，且sin2A−sinAsinBcs2B−cs2C=1.
(1)求C；
(2)若c=3，a+b=6，求边AB上的角平分线CD长；
(3)若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，CF=6，求3CF−AFBF的取值范围.
【答案】(1)π3
(2)22
(3)12,1
【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）利用余弦定理求出ab，再由等面积法计算可得；
（3）延长交BC于M，延长交AC于E，设∠BCF=θ，θ∈0,π3，分别求出、，再根据三角恒等变换化一，结合正切函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为sin2A−sinAsinBcs2B−cs2C=1,cs2B=1−sin2B,cs2C=1−sin2C，
所以sin2A−sinAsinB=sin2C−sin2B，
由正弦定理得a2−ab=c2−b2，
则csC=a2+b2−c22ab=12，
因为C∈0,π，所以；
（2）因为c=3，a+b=6，c2=a2+b2−ab=a+b2−3ab，
即32=62−3ab，解得ab=1，
设边AB上的角平分线CD长为x，
则S△ABC=12absinC=12a+bxsinC2，即absinπ3=a+bxsinπ6，
即32=62x，解得x=22，即边AB上的角平分线CD长为22；
（3）延长交BC于M，延长交AC于E，
设∠BCF=θ，θ∈0,π3，所以∠ACF=π3−θ，
在Rt△CMF中MF=CFsinθ=6sinθ，
在△CEB中∠ECB=π3，∠BEC=π2，所以∠EBC=π6，
在Rt△BMF中BF=MFsinπ6=12sinθ，同理可得AF=2EF=12sinπ3−θ，
所以3CF−AFBF=63−12sinπ3−θ12sinθ=3−2sinπ3csθ−csπ3sinθ2sinθ
=3−3csθ+sinθ2sinθ
，
因为θ∈0,π3，所以θ2∈0,π6，所以tanθ2∈0,33，所以32tanθ2+12∈12,1，
即3CF−AFBF的取值范围为12,1.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
三、三角形周长（边长）（定值）
1．（23-24高一下·河南漯河·期末）已知三角形ABC的内角所对的边分别为a,b,c，若sinA+CsinA+sinC=a−cb−c，且a=2.
(1)若B=π6，求c；
(2)点D在边BC上且AD平分∠BAC，若AD=3，求三角形ABC的周长.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可求B，进而可得结果；
（2）利用面积关系可得bc=b+c，结合b2+c2−a2=bc列式求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可知asinA=bsinB=csinC，
则sinA+CsinA+sinC=sinπ−BsinA+sinC=sinBsinA+sinC=ba+c=a−cb−c.
可得bb−c=a+ca−c，整理可得b2+c2−a2=bc.
由余弦定理知csA=b2+c2−a22bc=12，
且A∈0,π，可得A=π3，
由B=π6知C=π−π3−π6=π2.
可知△ABC为直角三角形，所以c=asinA=433.
（2）点D在边BC上且AD平分∠BAC，可知S△ABC=S△ABD+S△ACD，
则12AB⋅AC⋅sinA=12AB⋅AD⋅sin∠BAD+12AC⋅AD⋅sin∠CAD，
即12bcsin60∘=12c⋅3sin30∘+12b⋅3sin30∘，可得bc=b+c.①
又因为b2+c2−a2=bc，即b2+c2−4=bc，可得(b+c)2=4+3bc.②
①代入②得到(b+c)2−3b+c−4=0，解得b+c=4或（舍去），
所以△ABC的周长为a+b+c=2+4=6.
2．（23-24高一下·福建南平·期末）已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且acsB+3asinB−c−b=0．
(1)求A；
(2)若a=3，且△ABC的面积为3164b2+c2，求△ABC的周长．
【答案】(1)A=π3
(2)3+3
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角公式即可求解；
（2）根据三角形的面积公式可得4b2−4bc+c2=0，再结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）由正弦定理可得sinAcsB+3sinAsinB−sinC−sinB=0，
所以sinAcsB+3sinAsinB−sinAcsB+csAsinB−sinB=0，
即sinB3sinA−csA−1=0，
因为0所以3sinA−csA−1=0，化简得2sinA−π6=1，即sinA−π6=12，
又由0故A−π6=π6，所以A=π3；
（2）由已知可得，S=12bcsinA=34bc=3164b2+c2，
可得4b2−4bc+c2=0，化简得，(2b−c)2=0，即2b=c，
又由余弦定理可得a2=32=b2+c2−2bccsπ3，化简得，b2+c2−bc=3，
联立解得b=1,c=2，
所以△ABC的周长为
3．（23-24高二下·四川凉山·期末）在△ABC中，角的对边分别为．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积边上的中线CD=7，求△ABC的周长．
【答案】(1)
(2)6+23
【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsC，进而结合三角恒等变换分析求解；
（2）利用面积公式可得ab=8，根据中线性质结合数量积可得a2+b2=20，进而结合余弦定理运算求解.
【详解】（1）因为，整理可得bcsC+ccsB=2acsC，
由正弦定理可得sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsC，
又因为sinBcsC+sinCcsB=sinB+C=sinA，
即sinA=2sinAcsC，且A∈0,π，则sinA≠0，可得1=2csC，
即csC=12，且C∈0,π，所以.
（2）因为△ABC的面积S=12absinC=12ab×32=23，即ab=8，
又因为CD为AB边上的中线，则2AD=AB+AC，
可得4CD2=CA+CB2=CA2+CB2+2CA⋅CB，
则28=a2+b2+2abcsC=a2+b2+8，即a2+b2=20，
可得a+b2=a2+b2+2ab=36，即a+b=6，
由余弦定理可得：c2=a2+b2−2abcsC=20−8=12，即c=23，
所以△ABC的周长为a+b+c=6+23.
4．（23-24高一下·四川成都·期末）在△ABC中，角所对的边分别为a,b,c，△ABC的外接圆半径为，且abc−2cb2=R(b2+c2−a2)．
(1)证明：A−B=π4；
(2)若B=π6，△ABC的面积为2+3，求△ABC的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2+22+26
【分析】（1）由余弦定理、正弦定理、两角差的正弦展开式得sinA−π4=sinB，可得答案；
（2）令a=6+2k,b=2k，再利用S△ABC=2+3求出k，可得答案.
【详解】（1）由abc−2cb2=Rb2+c2−a2，
可得abc−2cb22bc=R⋅b2+c2−a22bc，所以a2−2b2=RcsA，
又由正弦定理asinA=bsinB=2R，可得，
即sinA−csA=2sinA−π4=2sinB，所以sinA−π4=sinB，
可得A−π4=B或A−π4+B=π，即A=B+π4或A+B=5π4（舍去），
所以A−B=π4；
（2）因为B=π6，A−B=π4，
所以A=5π12，C=π−A−B=5π12，所以△ABC为等腰三角形，
sin5π12=sinπ4+π6=sinπ4csπ6+csπ4sinπ6
=22×32+22×12=6+24，
所以ab=sinAsinB=6+24÷12=6+22，
令a=6+2k,b=2k其中k>0，则
S△ABC=12absinC=12×6+2k×2k×6+24
=2+3k2=2+3，
解得k=1，
因此△ABC的周长为
a+b+c=(6+2)+2+(6+2)=2+22+26.
5．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知在△ABC中，角所对的边分别为a，b，c，且c−acsB=33asinB
(1)求角A的大小；
(2)若a=23，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【答案】(1)π3
(2)23+26
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得csAsinB=33sinAsinB，得到csA=33sinA，即tanA=3，即可求解；
（2）由（1）和余弦定理，得到b+c2−3bc=12，再由△ABC的面积为，求得bc=4，得到b+c=26，进而求得△ABC的周长.
【详解】（1）解：因为c−acsB=33asinB，由正弦定理得sinC−sinAcsB=33sinAsinB，
又因为C=π−(A+B)，可得，
所以csAsinB=33sinAsinB，
因为B∈(0,π)，可得sinB>0，所以csA=33sinA，即tanA=3，
又因为A∈(0,π)，所以A=π3.
（2）解：由（1）知A=π3，且a=23，
根据余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc，所以b+c2−3bc=12，
又因为△ABC的面积为，可得S△ABC=12bcsinA=34bc=3，所以bc=4，
所以b+c2=24，可得b+c=26，所以△ABC的周长为23+26.
四、三角形周长（边长）（最值，范围问题）
1．（23-24高一下·北京大兴·期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求∠B；
(2)若b=3．
（i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求△ABC的面积．
条件①：a=6；条件②：a=2c；条件③：sinC=13．
（ii）求△ABC周长的取值范围．
【答案】(1)π3
(2)答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理边化角化简得tanB=3，计算即得．
（2）（i）选择条件①利用正弦定理计算判断三角形不唯一；，选择条件②，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积；（ii）利用余弦定理及基本不等式计算即可.
【详解】（1）由可得,
因为在△ABC中，所以sinB=3csB>0，
即tanB=3，因为B∈0,π，所以∠B=π3.
（2）（i）若选条件①a=6，结合（1）∠B=π3及b=3，
由正弦定理asinA=bsinB,可得，
则满足条件的三角形不存在，故不能选条件①，
若选条件②：a=2c，结合（1）∠B=π3及b=3，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，可得，解得c=1，
易知a=2c=2，故此时满足条件的三角形唯一.
所以.
若选条件③：sinC=13，结合（1）∠B=π3及b=3，
因为sinC=13由,可得csC=223，
因为在△ABC中A+B=π−C
所以sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC=32×223+12×13=26+16.
易知满足条件的三角形唯一.
由正弦定理asinA=bsinB,可得,
所以S△ABC=12absinC=12×26+13×3×sinC=62+318.
（ii）由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
可得3=a2+c2−ac=a+c2−3ac，
结合基本不等式ac≤a+c22，可得3≥a+c2−3a+c22，
解得：a+c≤23,当且仅当a=c=3，原式取等.
又在△ABC中易得a+c>b=3.
所以△ABC周长C△ABC=a+b+c=a+c+3∈23,33.
△ABC周长的取值范围为23,33.
【点睛】方法点睛：在求解对边对角模型问题中的周长或面积范围时常见有2种方法：
（1）借助余弦定理、基本不等式及三角形的性质，进行适当放缩；
（2）利用正弦定理边化角，转化为三角函数求值域问题.
2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且3BP=BC，点Q为线段AP上一点.
(1)若AQ=λAB+113BC，求实数λ的值；
(2)求QA⋅QC的最小值；
(3)求△QPC周长的取值范围.
【答案】(1)313
(2)−47
(3)83,27+103
【分析】（1）结合图形，利用平面向量基本定理，以及向量的线性运算，即可求解；
（2）首先用基底向量AB,AC表示向量和QC，再结合数量积的运算律表示为函数求最值问题，即可求解；
（3）首先在△QPC中，设∠PCQ=α，∠PQC=β，∠QPC=θ，再根据正弦定理，利用三角函数表示△QPC的周长，结合三角函数恒等变换以及函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意BP=13BC，即AP−AB=13AC−AB，故AP=23AB+13AC，因为Q为线段AP上一点，
设AQ=mAP=23mAB+13mAC=λAB+113BC,0≤m≤1，
又∵BC=AC−AB，∴λAB+113BC=λ−113AB+113AC，
即23mAB+13mAC=λ−113AB+113AC，又AB,AC不共线，
所以23m=λ−11313m=113，解得m=313λ=313，所以；
（2）因为AB⋅AC=AB⋅ACcs60∘=2×2×12=2，
由（1）知AP=23AB+13AC，AQ=mAP=23mAB+13mAC,0≤m≤1，
QC=AC−AQ=AC−23mAB+13mAC=1−13mAC−23mAB，
所以QA⋅QC=−23mAB−13mAC⋅1−13mAC−23mAB
=−23m1−13mAB⋅AC+49m2AB2−13m1−13mAC2+29m2AB⋅AC
=−23m1−13m×2+49m2×4−13m1−13m×4+29m2×2=289m2−83m，
设fm=289m2−83m,0≤m≤1，
当m=37时，fm37289372833747min，
所以QA⋅QC的最小值为−47；
（3）在△ABP中，AP2=4+49−2×43×12=289，，
在△QPC中，设∠PCQ=α，∠PQC=β，∠QPC=θ，
在△ABP中，ABsin(π−θ)=APsinπ3，即，2sinθ=273÷32，sinθ=3327，csθ=127，
在△QPC中，PQsinα=CQsinθ=PCsinβ，即PQsinα=CQ3327=43sinβ，
∴PQ=43sinαsinβ,CQ=237sinβ，
所以△QPC​的周长l=PQ+CQ+PC=43sinα+237sinβ+43．
∵sinα=sin(β+θ)=sinβ×127+csβ×3327代入上式得：l=237csβ+1sinβ+237+43．
令f(β)=csβ+1sinβ,∠CAP<β<π−θ．
f(β)=csβ+1sinβ=2cs2β2−1+12sinβ2⋅csβ2=1tanβ2，而0<∠CAP2<β2<π−θ2=π2−θ2．
在中，，AC=2，，∠ACB=π3，
∴APsin∠ACB=PCsin∠CAP，27332=43sin∠CAP，即sin∠CAP=37，
又∵sin∠CAP=37,cs∠CAP=27．
tan∠CAP=32，设tan∠CAP2=x，则2x1−x2=32，
即3x2+4x−3=0，x>0，得x=−2+73，即tan∠CAP2=−2+73，
tanθ=33，设tanθ2=t，则2t1−t2=33，
即33t2+2t−33=0，t>0，得t=−1+2733，即tanθ2=−1+2733，
−2+73−1+2733<1tanβ2<3−2+7，
所以−1+2733因此△QPC​的周长的取值范围是83,27+103．
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的表示即运算，以及三角函数的性质和解三角形的综合应用问题，第三问是本题的难点，关键是将周长表示为关于β的三角函数.
3．（2024·云南曲靖·二模）在△ABC中，角的对边分别为a,b,c，且acsC+3csinA=b+c.
(1)求角B的取值范围；
(2)已知△ABC内切圆的半径等于32，求△ABC周长的取值范围.
【答案】(1)0,2π3
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理可得sinAcsC+3sinCsinA=sinB+sinC，利用三角恒等变换可得sinA−π6=12，可求角B的取值范围；
（2）由三角形的面积可求得a=−b−c+bc，结合余弦定理可得(bc)2−2bc(b+c)+(b+c)2=(b+c)2−3bc，计算可得b+c≤2或b+c≥6，进而可求得
△ABC的周长L=a+b+c=b2+c2−2bccsA+b+c，设△ABC与圆内切于点D,E,F，b+c=AC+AB>AD+AF=3，进而分析可得△ABC的周长的取值范围.
【详解】（1）∵acsC+3csinA=b+c
由正弦定理得：sinAcsC+3sinCsinA=sinB+sinC，
∴sinAcsC+3sinCsinA=sinB+sinC，∴sinAcsC+3sinCsinA=sin(A+C)+sinC，
∴3sinCsinA=csAsinC+sinC.
∵sinC≠0，∴3sinA=csA+1，∴sinA−π6=12.
∵−π6∴角B的取值范围是0,2π3.
（2）∵S=12bcsinA=34bc,S=12a+b+c·r=34a+b+c，
∴a+b+c=bc，即a=−b−c+bc，
由余弦定理得：a2=b2+c2−bc.
∴(bc)2−2bc(b+c)+(b+c)2=(b+c)2−3bc，
∴bc=2b+c−3. ∴(bc)2−2bc=2(b+c)−3，
∵bc≤b+c22（当且仅当b=c时取等号），
∴2(b+c)−3≤(b+c)24,∴b+c≤2或b+c≥6.
设△ABC与圆内切于点D,E,F，则AD=AF=rtan60°=32.
∴b+c=AC+AB>AD+AF=3
∴b+c≥6（当且仅当b=c=3时取等号）.
△ABC的周长L=a+b+c=b2+c2−2bccsA+b+c，
=(b+c)2−3bc+b+c≥(b+c)2−3(b+c2)2+b+c
=32(b+c)≥9（当且仅当b=c=3时两处都取等号）.
∴Lmin，
∵c=AB>DB=rtanB2=32tanB2(∴B→0时，c→+∞，L→+∞,
∴△ABC的周长的取值范围是.
4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，∠BAC的角平分线AD交BC于点D．
(1)若b=1，，求AD的长度；
(2)若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC周长的取值范围．
【答案】(1)AD=233
(2)(2+23,6]
【分析】（1）方法一：由关系S△ABC=S△ABD+S△CBD，结合面积公式列方程求解；
方法二：由角平分线性质和三角形面积公式证明ABAC=BDCD，再由向量线性运算可得AD=13AB+23AC，两边平方结合数量积的性质可求AD的长度；
（2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求C，结合正弦定理利用角A表示a+b，结合正弦型函数的性质求a+b的范围，由此可得结论.
【详解】（1）方法一：
因为AD为∠BAC的角平分线，∠BAC=60∘，
所以∠BAD=∠CAD=30∘，
因为S△ABC=S△ABD+S△CBD
所以12×2×1×sin60∘=12×2×AD⋅sin30∘+12×1×AD⋅sin30∘，
所以AD=233.
法二：设三角形△ABC的边BC上的高为，
因为AD为∠BAC的角平分线
所以S△ABDS△ACD=12AB⋅ADsin∠BAD12AC⋅ADsin∠CAD=ABAC=12BD⋅ℎ12CD⋅ℎ=BDCD=21，
所以BD=2DC， 所以AD−AB=2AC−2AD，
所以AD=13AB+23AC.
因为b=1，c=2，
所以AD2=13AB+23AC2=19AB2+49AB⋅AC+49AC2=89+89cs60∘，
所以AD=233.
（2）在△ABC中，由正弦定理得，2ab=2sinAsinB=1+tanCtanB
所以2sinAsinB=1+sinCcsCsinBcsB=1+sinCcsBsinBcsC=sinBcsC+sinCcsBsinBcsC=sin(C+B)sinBcsC，
又sin(C+B)=sin(π−A)=sinA，则2sinAsinB=sinAsinBcsC，
又sinB>0,sinA>0
所以csC=12，又C∈0,π2，则.
在△ABC中，由正弦定理得，，
所以
因为△ABC是锐角三角形，所以，于是π6所以A+π6∈π3,2π3，
所以sin(A+π6)∈32,1，从而23所以三角形△ABC周长的取值范围为2+23,6.
5．（23-24高一下·江苏泰州·期末）在△ABC中，角的对边分别为a，b，c，已知1+csAsinA=1+csBsinB+1.
(1)当C=π2时，求tanA2的值；
(2)当a=1时，求△ABC周长的最大值.
【答案】(1)tanA2=13
(2)5+2
【分析】（1）根据题意借助于倍角公式整理得，再结合两角和差公式运算求解；
（2）以内切圆为基础，设，进而可得AD=OBsinθ+csθ，结合面积公式可得l=sin2θsinθ+2csθsinθ，结合三角恒等变换分析运算.
【详解】（1）因为1+csAsinA=1+csBsinB+1，则1+2cs2A2−12sinA2csA2=1+2cs2B2−12sinB2csB2+1，
可得，
又因为C=π2，则B2=π2−A2=π4−A2，
所以1tanA2=1tanπ4−A2+1=1+tanπ4tanA2tanπ4−tanA2+1=1+tanA21−tanA2+1=21−tanA2，
解得tanA2=13.
（2）设△ABC的内切圆的圆心为O，圆O与边AB切于点D，连接OA,OB,OD，
设△ABC周长为l，∠OBD=θ∈0,π2，
可得OD=OBsinθ,BD=OBcsθ,tanA2=tan∠OAD=ODAD,tanB2=tan∠OBD=ODBD，
由（1）可知：，即1ODAD=1ODBD+1，
整理得AD=BD+OD=OBsinθ+csθ，
可得AB=AD+BD=OBsinθ+2csθ，
根据等面积法可得12l⋅OD=12AB⋅BC⋅sin∠ABC，
即12l×OB×sinθ=12OBsinθ+2csθ×1×sin2θ，
整理得l=sin2θsinθ+2csθsinθ=2sinθcsθ+4cs2θ=sin2θ+2cs2θ+2=5sin2θ+φ+2，
其中tanφ=2,φ∈0,π2，
当2θ+φ=π2，即tan2θ=tanπ2−φ=1tanφ=12时，l取到最大值5+2，
所以△ABC周长的最大值为5+2.

【点睛】关键点睛：本题注意到，故借助于内切球的性质建立边角关系，进而运算求解.
6．（2024·湖南长沙·一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinA−sinB3a−c=sinCa+b．
(1)求角B的值；
(2)若a=2，求△ABC的周长的取值范围．
【答案】(1)π6
(2)3+3,2+23
【分析】（1）根据正弦定理得到a2+c2−b2=3ac，再利用余弦定理求出B=π6；
（2）根据正弦定理得到b=1sinA,c=3sinA+csAsinA，从而得到b+c=3+1tanA+1tan2A+1，求出A∈π3,π2，得到1tanA∈0,33，b+c∈1+3,23，从而求出周长的取值范围.
【详解】（1）sinA−sinB3a−c=sinCa+b，由正弦定理得：a−b3a−c=ca+b，
即a2+c2−b2=3ac，
由余弦定理得：csB=a2+c2−b22ac=3ac2ac=32，
因为B∈0,π，
所以B=π6；
（2）锐角△ABC中，a=2，B=π6，
由正弦定理得：2sinA=bsinπ6=csinC，
故b=1sinA,c=2sinCsinA=2sinA+π6sinA=3sinA+csAsinA，
则b+c=3sinA+csA+1sinA=3+1+1csAtanA=3+1+1+tan2AtanA
=3+1tanA+1tan2A+1，
因为锐角△ABC中，B=π6，
则A∈0,π2，C=π−π6−A∈0,π2，
解得：A∈π3,π2，
故tanA∈3,+∞，1tanA∈0,33，
则1tan2A+1∈1,233,3+1tanA+1tan2A+1∈1+3,23，
故b+c∈1+3,23，a+b+c∈3+3,2+23
所以三角形周长的取值范围是3+3,2+23.
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
五、三角形面积（定值）
1．（23-24高一下·山东枣庄·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsC=ccsB，P为△ABC内一点.
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若A=60°，a=1，∠BPC=150°，求PA的最小值；
(3)若cs∠BAC=35，∠PAB=∠PBC=∠PCA，PA=52，求△PBC的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)3−1
(3)4
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式计算可得；
（2）设，0<α<π6，在△PBC中利用正弦定理表示出PC，再在中利用余弦定理表示出，利用三角恒等变换公式化为α的三角函数，结合正弦函数的性质计算可得；
（3）设∠BAC=θ，即可求出，sinθ，由余弦定理得到BC=2ABsinθ2，再由三角形相似得到PB=2PAsinθ2，PC=4PAsin2θ2，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为bcsC=ccsB，
由正弦定理可得sinBcsC=sinCcsB，即sinB−C=0，
又B,C∈0,π，所以B−C∈−π,π，所以B−C=0，即B=C，则b=c，
所以△ABC为等腰三角形
（2）依题意可得△ABC是边长为1的等边三角形，
在△PBC中，设，0<α<π6，
由正弦定理PCsin∠PBC=BCsin∠BPC，所以PC=BCsin∠PBCsin∠BPC=1×sinαsin5π6=2sinα，
在中∠PCA=π3−∠PCB=π6+α，
由余弦定理PA2=PC2+AC2−2PC⋅ACcs∠PCA
=2sinα2+12−2×2sinα×1×csπ6+α
=4sin2α+1−4sinαcsπ6csα−sinπ6sinα
=6sin2α+1−23sinαcsα
=31−cs2α+1−3sin2α=4−23sin2α+π3，
因为0<α<π6，所以π3<2α+π3<2π3，所以当2α+π3=π2，即α=π12时sin2α+π3=1，
此时PA2min3，所以PAmin4−233.
（3）设∠BAC=θ，则csθ=1−2sin2θ2=35，θ为锐角，
所以sinθ2=15，sinθ=1−cs2θ=45，
在△ABC中，由余弦定理及AB=AC可得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcsθ
=2AB21−csθ=4AB2sin2θ2，
所以BC=2ABsinθ2，
由∠ABC=∠ACB=π−θ2=π2−θ2，且∠PBC=∠PCA，
所以∠PBA=∠PCB，又∠PAB=∠PBC，
所以△PAB∽△PBC，
所以PAPB=PBPC=ABBC=12sinθ2，
所以PB=2PAsinθ2，PC=2PBsinθ2=4PAsin2θ2，
而∠BPC=π−∠PBC−∠PCB=π−∠PCA−∠PCB
=π−∠ACB=π−π2−θ2=π2+θ2，
所以S△PBC=12PB⋅PCsin∠BPC=12×2PAsinθ2×4PAsin2θ2×sinπ2+θ2
=4PA2sin3θ2csθ2=2PA2sin2θ2sinθ=2×522×15×45=4.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解答的关键是转化为α的三角函数，第三问关键是利用整体思想转化为θ2、θ的关系式.
2．（23-24高一下·重庆·期末）平面四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠ABC+∠ADC=π，∠BCD=π3．
(1)求BD；
(2)求四边形ABCD周长的取值范围；
(3)若E为边BD上一点，且满足CE=BE，S△BCE=2S△CDE，求△BCD的面积．
【答案】(1)7
(2)3+7,3+27
(3)736
【分析】（1）首先求出∠BAD，再由余弦定理计算可得；
（2）在△BCD中利用余弦定理及基本不等式求出CB⋅CD的取值范围，即可求出CB+CD的范围，即可求出四边形ABCD周长的取值范围；
（3）依题意可得BE=2ED，即可求出、CE、ED，再由余弦定理求出CB=2CD，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为∠ABC+∠ADC=π，∠BCD=π3，所以∠BAD=2π3，
在△BCD中由余弦定理BD=AB2+AD2−2AB⋅ADcs∠BAD
=12+22−2×1×2×−12=7；
（2）在△BCD中BD2=CB2+CD2−2CB⋅CDcs∠BCD，
即7=CB2+CD2−CB⋅CD，
所以CB2+CD2=7+CB⋅CD≥2CB⋅CD，所以0又CB+CD2=CB2+CD2+2CB⋅CD=7+3CB⋅CD，
则7<7+3CB⋅CD≤28，即7所以CABCD=AC+AD+CB+CD=3+CB+CD∈3+7,3+27，
即四边形ABCD周长的取值范围为3+7,3+27；
（3）因为S△BCE=2S△CDE，所以BE=2ED，又BD=7，
所以BE=23BC=273，DE=13BC=73，又CE=BE，所以CE=273，
在△BCE中由余弦定理CB2=CE2+BE2−2CE⋅BEcs∠CEB，
即CB2=569−569cs∠CEB
在△DCE中由余弦定理CD2=CE2+DE2−2CE⋅DEcs∠CED，
即CD2=359−289cs∠CED，
又∠CEB+∠CED=π，所以cs∠CEB=−cs∠CED，
所以CB2+2CD2=14，
又7=CB2+CD2−CB⋅CD，所以CB2+2CD2=2CB2+2CD2−2CB⋅CD，
即CB2=2CB⋅CD，所以CB=2CD，
所以CD2=73，所以CB⋅CD=CB2+CD2−7=143，
所以S△BCD=12CB⋅CDsin∠BCD=12×143×32=736.
.
【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是利用余弦定理得到CB2+2CD2=14，从而结合第2小问中的结论即可得解.
3．（23-24高一下·浙江温州·期末）在△ABC中，AB=4，AC=2，sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC.
(1)求A；
(2)D为边AC的中点，E为边BC上一点，AE交BD于P.
（i）若E为BC的中点，求∠DPE的余弦值；
（ii）当AE⊥BD时，求△PBC的面积.
【答案】(1)A=2π3
(2)（i）−277；（ii）637
【分析】（1）由正弦定理角化边，在结合余弦定理即可求解；
（2）（i）分解向量得AE=12AB+12AC，BD=−AB+12AC，再分别求出它们的模、数量积，结合向量夹角公式即可求解；（ii）设AE=λAB+1−λAC，由BD=−AB+12AC以及AE⊥BD，可求出λ，再结合三点共线的向量推论得出PEAE的值即可得出面积比，再结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）因为sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，所以a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，
所以csA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，
因为A∈0,π，
所以A=2π3；
（2）（i）若E为BC的中点，D为边AC的中点，
则AE=12AB+12AC，BD=12BA+12BC=12BA+12BA+AC=−AB+12AC，
从而AE=12AB+12AC2=14⋅42+12⋅4⋅2⋅−12+14⋅22=3，
BD=−AB+12AC2=42−4⋅2⋅−12+14⋅22=21，
AE⋅BD=12AB+12AC⋅−AB+12AC=−12AB2−14AB⋅AC+14AC2
=−12⋅42−14⋅4⋅2⋅−12+14⋅22=−6，
所以cs∠DPE=csAE,BD=AE⋅BDAE⋅BD=−63⋅21=−277，
所以∠DPE的余弦值为−277；
（ii）由（2）（i）可知，BD=−AB+12AC，
因为B,C,E三点共线，所以可设AE=λAB+1−λAC，
当AE⊥BD时，AE⋅BD=λAB+1−λAC−AB+12AC=−λAB2+3λ2−1AB⋅AC+1−λ2AC2
=−λ⋅42+3λ2−1⋅4⋅2⋅−12+1−λ2⋅22
=−16λ−6λ+4+2−2λ
=−24λ+6=0，
所以λ=14，
所以AE=14AB+34AC，
因为B,P,D三点共线，所以设AP=μAB+1−μAD=μAB+1−μ2AC，
因为与AP是共线向量，且AC与AB不共线，
所以3μ=1−μ2，解得μ=17，
所以AP=17AB+37AC=47AE，PE=37AE，
所以点P到BC的距离与点A到BC的距离之比为3sin∠AEB7sin∠AEB=3:7，
所以△PBC的面积为S△PBC=37S△ABC=37⋅12⋅4⋅2⋅32=637.
【点睛】关键点点睛：第二问（ii）的关键是得出PEAE的值，由此即可顺利得解.
4．（23-24高三上·山东青岛·期中）在△ABC，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csC+3sinC=a+cb
(1)求角B；
(2)已知点D在AC边上，且AD=2DC,AB=6,BD=27，求△ABC的面积.
【答案】(1)π3
(2)93
【分析】（1）由正弦定理可得sinBcsC+3sinBsinC=sinA+sinC，再利用sinA=sinB+C化简，从而求出角B；
（2）在△ABC中由余弦定理建立等式，再利用cs∠ADB+cs∠BDC=0得到另一等式，进而求出△ABC的三边，由此求出其面积．
【详解】（1）因为csC+3sinC=a+cb，
由正弦定理可得sinBcsC+3sinBsinC=sinA+sinC，
因为A=π−B−C，所以sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC，
所以3sinBsinC=csBsinC+sinC，
因为00，所以3sinB=csB+1，即3sinB−csB=1，故2sinB−π6=1，
又0（2）由题意设CD=x，AD=2x，BC=y，由（1）得B=π3，
在△ABC中由余弦定理可得，csB=AB2+BC2−AC22⋅AB⋅BC=62+y2−3x22×6×y=12①，
因为∠ADB+∠BDC=π，所以cs∠ADB+cs∠BDC=0，
即272+2x2−622×27×2x+x2+272−y22×x×27=0②，
联立①②，解得x=2y=6（负值舍去），
则AC=3x=6，BC=6，△ABC是等边三角形，
所以S△ABC=12AB⋅BCsinB=12×6×6×32=93，即△ABC的面积是93．
.
5．（2024·吉林·模拟预测）△ABC的内角的对边分别是a,b,c，且sinA−sinBsinC=a−ca+b，
(1)求角B的大小；
(2)若b=3，D为AC边上一点，，且BD为∠B的平分线，求△ABC的面积．
【答案】(1)B=π3;
(2)332.
【分析】（1）先利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理求角B即可；
（2）利用等面积法S△ABC=S△ABD+S△CBD结合余弦定理，求出的值即可求得△ABC的面积.
【详解】（1）因为sinA−sinBsinC=a−ca+b，由正弦定理得a−bc=a−ca+b，
化简得b2=a2+c2−ac，
所以由余弦定理得csB=a2+c2−b2ac=12，又因为B∈0,π，
所以B=π3.
（2）如图所示
因为S△ABC=S△ABD+S△CBD即12BA×BC×sinB=12BA×BD×sinB2+12BC×BD×sinB2，
化简得BA+BC=32BA×BC①,
又由余弦定理得AC2=BA2+BC2−2BA×BC×csB即(BA+BC)2−3BA×BC=9②，
①②联立解得BA×BC=−2（舍去）或6，
所以S△ABC=12BA×BC×sinB=332.
6．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．且2sinA−sinCsinC=a2+b2−c2a2+c2−b2．
(1)求角B的大小；
(2)求sinA+sinC的取值范围；
(3)若C=π2，BC=2，O为BC中点，P为线段AO上一点，且满足BP⋅CP=0．求AP的值，并求此时△BPC的面积S．
【答案】(1)B=π3
(2)sinA+sinC∈32,3
(3)AP=13−1，△BPC的面积S为
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理求解即可；
（2）根据（1）可得A+C=2π3，得到sinA+sinC=sinA+sin2π3−A，再根据正弦的和差角公式与辅助角公式，根据角度的范围求解即可；
（3）先根据直角三角形中的关系求解得AP=13−1，再设∠OCP=α，推导可得S=sin2α，再根据sin∠COA=sin2α=ACAO求解即可
【详解】（1）由正弦定理及2sinA−sinCsinC=a2+b2−c2a2+c2−b2，得2a−cc=a2+b2−c2a2+c2−b2，
即2ac−1=2a2−a2+b2−c2a2+c2−b2=2a2a2+c2−b2−1，化简得a2+c2−b2=ac，故csB=a2+c2−b22ac=12．
又B∈0,π，故B=π3．
（2）由（1）知，A+C=2π3，
故sinA+sinC=sinA+sin2π3−A=sinA+32csA+12sinA
=32sinA+32csA=3sinA+π6.
又0故sinA+sinC∈32,3．
（3）
∵BP⋅CP=0，∴PB⊥PC，∵BC=2，O为BC中点，∴PO=1，
∵a=2，∴AC=23，AB=4，∴AO=232+12=13，AP=13−1，
设∠OCP=α，则∠COP=π−2α，
∴sinα=PBBC=12PB，csα=PCBC=12PC，
∴S=12PB×PC=2sinαcsα=sin2α，
在直角△ACO中，sin∠COA=sinπ−2α=sin2α=ACAO=2313=23913，
∴当AP=13−1时，△BPC的面积S为．
六、三角形面积（最值，范围问题）
1．（2024·四川达州·二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，bcsB+ccsC=acsA+3acsBcsC.
(1)求tanBtanC；
(2)若bc=3，求△ABC面积S的最小值.
【答案】(1)12
(2)2
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出2sinBsinC=csBcsC，即可求得tanBtanC的值；
（2）分析可知B、C均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出tanA≤−2，求出sinA的最小值，即可求得S的最小值.
【详解】（1）解：∵bcsB+ccsC=acsA+3acsBcsC，
∴bcsC+ccsBcsA=acsBcsC+3csA.
由正弦定理得sinBcsC+csBsinCcsA=sinAcsBcsC+3csA.
∴sinB+CcsA=sinAcsBcsC+3csA.
因为00，
∵A+B+C=π，sinB+C=sinA，
则csA=−csB+C=sinBsinC−csBcsC，
所以，csA=csBcsC+3csA，即2csA+csBcsC=0，
所以，2sinBsinC−csBcsC+csBcsC=0，
∴2sinBsinC=csBcsC，即tanBtanC=12.
（2）解：由（1）得tanBtanC=12.
若tanB<0tanC<0，则B、C均为钝角，则B+C>π，矛盾，
所以，tanB>0，tanC>0，此时B、C均为锐角，合乎题意，
∴tanA=−tanB+C=tanB+tanCtanBtanC−1=−2tanB+tanC≤−4tanBtanC=−22，
当且仅当tanB=tanC=22时，等号成立，且A为钝角.
∵tanA≤−22，则tanπ−A≥22，且π−A为锐角，
由，解得sinπ−A≥223，即sinA≥223，
当且仅当tanB=tanC=22时，等号成立，
∵bc=3，∴S=12bcsinA=32sinA≥32×223=2.
因此，△ABC面积的最小值为2.
2．（23-24高二上·云南玉溪·期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC=40m，BC=403m，AC⊥BC，∠MCN=30∘．
(1)若AM=20m，求护栏的长度（△MNC的周长）；
(2)若鱼塘△MNC的面积是“民宿”的面积的倍，求∠ACM；
(3)当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？
【答案】(1)60+203
(2)15°
(3)∠ACM=15°时，△CMN的面积取最小值为1200(2−3)km2
【分析】（1）先根据题干条件得到B=30°，A=60°，利用余弦定理求出CM=203，用勾股定理逆定理得到CM⊥AB，进而求出CN，MN，求出护栏的长度；（2）设∠ACM=θ，利用△MNC和的面积关系和正弦定理得到CN的两种表达，列出方程，求出∠ACM；（3）结合第二问的求解，利用正弦定理和面积公式得到△MNC面积关于∠ACM=θ的关系式，求出最小值.
【详解】（1）∵AC=40m，BC=403m，AC⊥BC，∴tanB=ACBC=33，∴B=30°，∴A=60°，∴AB=2AC=80，
在△ACM中，由余弦定理可得：CM2=AC2+AM2−2AC⋅AM⋅csA=1600+400−2×40×20×12=1200
，则CM=203，∴AC2=AM2+CM2，∴CM⊥AB，∵∠MCN=30°，∴，∴CN=2MN=40，∴护栏的长度（△MNC的周长）为20+40+203=60+203；
（2）设∠ACM=θ（），因为鱼塘△MNC的面积是“民宿”的面积的倍，所以12CN⋅CMsin30°=3⋅12CA⋅CMsinθ，即CN=803sinθ，∠BCN=60°−θ，△BCN中，由三角形外角定理可得∠CNA=∠B+∠BCN=90°−θ，在△CAN中，由，得CN=203csθ，从而，即sin2θ=12，
由，得2θ=30°，所以θ=15°，即∠ACM=15°；
（3）设∠ACM=θ（），由（2）知CN=203csθ，∠BCM=90°−θ，
中，由外角定理可得∠CMA=∠B+∠BCM=120°−θ，又在△ACM中，由CMsin60°=CAsin120°−θ，得CM=203sin120°−θ，所以
=600sin2θ2+3cs2θ2+32=12002sin(2θ+60°)+3，所以当且仅当，
即θ=15°时，△CMN的面积取最小值为1200(2−3)km2.
3．（23-24高二上·云南玉溪·期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养鸡地，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC=40 m，BC=403 m，AC⊥BC，∠MCN=30°﹒
在△CAN中，由CNsin60°=CAsin90°−θ=40csθ，得CN=203csθ，
从而，即sin2θ=12，由0°<2θ<120°，得2θ=30°，
∴θ=15°，即．
△CAM中，∠ACM=105∘，由ACsin105°=AMsin15°得AM=40sin15°sin105°=40sin15°sin(90°+15°)=40sin15°cs15°；
（3）鱼塘△MNC的面积有最小值，理由如下：
设∠ACM=θ0°<θ<60°，由(2)知CN=203csθ，∠BCM=90°−θ，中，
由外角定理可得∠CMA=∠B+∠BCM=120°−θ，
又在△ACM中，由CMsin60°=CAsin120°−θ，得CM=203sin120°−θ，
∴
=600sin2θ2+3cs2θ2+32=12002sin2θ+60°+3，
∴当且仅当2θ+60°=90°，即θ=15°时，△CMN的面积取最小值为12002−3 m2﹒
4．（23-24高二上·江西景德镇·期中）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A的大小；
（2）若b=1，求ΔABC面积的取值范围.
【答案】（1）A=π3；（2）38,32
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式计算可得；
（2）由已知利用三角形的面积公式可得SΔABC=34c，利用正弦定理，三角形内角和定理、三角恒等变换可得c=32tanB+12，再由B的范围求出的范围，从而得到c的范围，即可求出三角形的面积的取值范围；
【详解】解：（1）因为
∴
∴
sinAcs2A+2=csAsin2A−3+3
sinAcs2A+2sinA=csAsin2A−3csA+3
3csA+2sinA=csAsin2A−sinAcs2A+3
3csA+2sinA=sin2A−A+3
3csA+sinA=3
∴2sinA+π3=3
sinA+π3=32
∵A∈0,π2
∴A+π3∈π3,5π6
∴A+π3=2π3
∴A=π3
（2）∵A=π3，b=1
∴SΔABC=12bcsinA=12×1×c×32=34c
又∵由正弦定理，可得：1sinB=csin2π3−B
c=sin2π3−BsinB=sin2π3csB−cs2π3sinBsinB=32csB+12sinBsinB
=32tanB+12
因为B、C均为锐角，∴0所以tanB∈33,+∞，可得32tanB∈0,32
∴32tanB+12∈12,2，即c∈12,2
∴SΔABC=34c∈38,32
【点睛】本题考查三角恒等变换，三角形面积公式的应用，三角函数的性质的应用，属于难题.
5．（2024高三上·全国·专题练习）ΔABC中，B=60∘,AB=2,ΔABC的面积为23.
（1）求AC
（2）若D为BC的中点，E,F分别为边AB,AC上的点（不包括端点），且∠EDF=120∘，求ΔDEF面积的最小值.
【答案】（1）23;（2）6−33
【解析】（1）利用S△ABC=12⋅AB⋅BC⋅sinB求出BC，再利用余弦定理求AC即可；
（2）设∠BDE=θ, θ∈0°,60°，在△BDE中，利用正弦定理表示出DE，在△CDF中，利用正弦定理表示出DF，再将△DEF的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值.
【详解】解：（1）因为B=60∘,AB=2,
所以S△ABC=12⋅AB⋅BC⋅sinB=12×2×32⋅BC=32BC，
又S△ABC=23，所以，
由余弦定理得：，
所以AC=23；
（2）设∠BDE=θ, θ∈0°,60°，则，
在△BDE中，由正弦定理得：，
即2sin60°+θ=DE32，所以，
在△CDF中，由正弦定理得：，
由（1）可得BC2=AC2+AB2,B=60∘,∴C=30°，
则2sin90°+θ=DF12，所以，
所以S△DEF=12⋅DE⋅DF⋅sin∠EDF=34sin60°+θ⋅csθ
，
当θ=15°时，sin2θ+60°=1, S△DEP32+33min，
故△DEF的面积的最小值为6−33.
【点睛】本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式以及三角函数性质的应用，是中档题.