备战2025年高考数学压轴题训练专题02集合与其他知识交汇的新定义解答题(新定义，高观点，压轴题)(学生版+解析)

这是一份备战2025年高考数学压轴题训练专题02集合与其他知识交汇的新定义解答题(新定义，高观点，压轴题)(学生版+解析)，共22页。试卷主要包含了设X，Y为任意集合，映射，并称为一度量平面等内容，欢迎下载使用。
1．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组表示，一般地在维空间中点A的坐标可用n个有序数组表示，并定义n维空间中两点，间的“距离”．
(1)若，，求；
(2)设集合．元素个数为2的集合M为的子集，且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7．
2．（2024·北京·模拟预测）对给定的正整数，令，对任意的，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作．
(1)当时，直接写出下述集合的特征：；
(2)当时，设且，求中元素个数的最大值；
(3)当时，设且，求证：中的元素个数小于．
5．（2024·北京石景山·一模）已知集合，对于，，定义与之间的距离为．
(1)已知，写出所有的，使得；
(2)已知，若，并且，求的最大值；
(3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．
6．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：
①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”.
(1)若集合，求的“集”；
(2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：；
(3)若存在“集”，且，求的最大值.
7．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集，求证：；
(3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.
注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.
8．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射．
(1)试在上给出一个非单射的映射；
(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；
(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．
9．（2024·广东江门·一模）将2024表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是密集的?
(3)记，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
10．（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
专题02 集合与其他知识交汇的新定义解答题
（新定义，高观点，压轴题）
1．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组表示，一般地在维空间中点A的坐标可用n个有序数组表示，并定义n维空间中两点，间的“距离”．
(1)若，，求；
(2)设集合．元素个数为2的集合M为的子集，且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【优尖升-分析】（1）根据题，得到，结合裂项法求和，即可求解；
（2）根据新定义得到，，构造有2个元素，由为整数，得到存在为“的优集”，设，，推得，，显然矛盾，即可得证.
【详解】（1）解：因为，，，则，
所以.
（2）证明：定义：对任意，规定，
对任意，，
由于，，，容易得，
所以，得结论：，，
构造有2个元素，由为整数，
当时，则满足M为“的优集”的定义，
当时，则，满足M为“的优集”的定义，
所以存在为“的优集”，
若M中的两个点，有一个位置相同，不妨设为第一个位置，
则设，，
则取，则有，，显然矛盾，
所以M中的两个点每一个位置均不同，即，显然，
即“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是.
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
2．（2024·北京·模拟预测）对给定的正整数，令，对任意的，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作．
(1)当时，直接写出下述集合的特征：；
(2)当时，设且，求中元素个数的最大值；
(3)当时，设且，求证：中的元素个数小于．
【答案】(1)，，
(2)
(3)证明详见解析
【优尖升-分析】（1）根据与的距离的定义，直接求出的最小值即可；
（2）一方面先证明A中元素个数至多有个元素，另一方面证明存在集合中元素个数为个满足题意，进而得出A中元素个数的最大值；
（3）设，定义的邻域，先证明对任意的， 中恰有2021个元素，再利用反证法证明，于是得到中共有个元素，但中共有个元素，所以，进而证明结论．
【详解】（1）依题意可得，，．
（2）（a）一方面：对任意的，
令，
则，故，
令集合，则，
则且和的元素个数相同，
但中共有个元素，其中至多一半属于，
故中至多有个元素．
(b)另一方面：设是偶数，
则对任意的，，，
都有中的元素个数为，
易得与奇偶性相同，
故为偶数，
又，则，所以，
注意到，且它们的距离为2，
故此时满足题意，
综上，中元素个数的最大值为．
（3）当时，设且，
设，
则对任意的，定义的邻域，
（a）一方面：对任意的，中恰有2021个元素，
事实上，
①若，则，恰有一种可能；，
②若，则与，恰有一个分量不同，共2020种可能；
综上， 中恰有2021个元素，
（b）对任意的，，
事实上，若，
不妨设，，
则，这与矛盾，
由（a）和（b）可得中共有个元素，
但中共有个元素，所以，即，
注意到是正整数，但不是正整数，上述等号无法取到，
所以，集合中的元素个数小于．
【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题．
3．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．
(1)若，，写出Y，并求；
(2)若，，求所有的总和；
(3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；
（2）对1，，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解；
（3）由题意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.
【详解】（1）由题意知，，
所以．
（2）对1，，5是否属于B进行讨论：
①含1的B的个数为，此时在映射f下，；
不含1的B的个数为，此时在映射f下，；
所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的B的个数为，此时在映射f下，；
不含5的B的个数为，此时在映射f下，；
所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；
②含的B的个数为，此时在映射f下，，；
不含的B的个数为，此时在映射f下，，；
所以所有y中的总个数和的总个数均为20．
综上，所有的总和为．
（3）对于给定的，考虑在映射f下的变化．
由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个，
所以在映射f下变为；
不含的子集B共个，在映射f下变为；
所以在映射f下得到的所有的和为．
同理，在映射f下得到的所有（）的和．
所以所有的总和为．
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.
4．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．
(1)设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若，且集合具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且，q为常数且，求证：．
【答案】(1)，具有性质；
(2)；
(3)证明见解析.
【优尖升-分析】（1）根据向量集Y的定义，结合的元素，直接写出，再判断是否满足性质即可；
（2）根据性质的定义，任取，，讨论的取值，结合的范围，即可求得的取值；
（3）根据性质的定义推出为定值，结合，即可推证.
【详解】（1）根据向量集的定义可得：
，
若，则存在，使得，
同理亦可证明对任意，也满足性质，
故具有性质P．
（2）对任意a，，都存在c，，使得，
即对于，都存在，使得，其中a，b，c，，
因为集合具有性质P，
选取，，则有，
假设，则有，解得，这与矛盾，
假设，则有，解得，这与矛盾，
假设，则有，解得，这与矛盾，
假设，则有，解得，满足，故；
经检验，集合具有性质P．
（3）证明：取，设且满足，
由得，从而s，t异号，
∵－1是x中唯一的负数，
∴s，t中一个为－1，另一个为1，故．
因为，所以，
X具有性质P，取，，
设，因为，且c，d中的正数大于等于1，
所以只能，
所以，．
又X中只有个大于1的正数，
即，
且，这个大于1的正整数都属于集合X，
所以只能，，…，
即，
即．
【点睛】关键点点睛：处理本题第三问的关键是能够根据性质的定义，推出，以及为定值，进而根据X中只有个大于1的正数解决问题.
5．（2024·北京石景山·一模）已知集合，对于，，定义与之间的距离为．
(1)已知，写出所有的，使得；
(2)已知，若，并且，求的最大值；
(3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．
【答案】(1)、、、；
(2)；
(3)见解析
【优尖升-分析】
（1）根据题中定义可得的所有情形；
（2）分、两种情况，利用绝对值三角不等式可求得的最大值；
（3）表示出，结合定义，可得，即中任意两元素不相等，可得中至多有个元素，即可得证．
【详解】（1）已知，，且，
所以，的所有情形有：、、、；
（2）设，，
因为，则，
同理可得，
当时，；
当时，.
当，时，上式等号成立.
综上所述，；
（3）记，
我们证明．一方面显然有．另一方面，且，
假设他们满足．则由定义有，
与中不同元素间距离至少为相矛盾．
从而．
这表明中任意两元素不相等．从而．
又中元素有个分量，至多有个元素．
从而．
【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；
（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质.
6．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：
①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”.
(1)若集合，求的“集”；
(2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：；
(3)若存在“集”，且，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)4.
【优尖升-分析】
（1）根据定义直接求解；
（2）利用反证法推矛盾即可证明；
（3）设，结合（2）的结论推出不成立，结合定义和得即可求解.
【详解】（1）
若，由题意可得，，，，即，此时，满足题意，
假设集合中还有第四个元素为，则由题意可知：若，即，则，∴不成立；
若，则，∴或9或27，矛盾.故集合中无四个元素，所以集合.
（2）
设集合，不妨设，
假设，即，则且，
由②知，注意到，故有，即，所以，
故，即，因为集合中有4个元素，故设，
由②可得：若，则，∴，矛盾；
若，，则或或，所以或或，与集合元素的互异性矛盾，
假设错误，故.
（3）
，，不妨设，
所以，，又，故，同理可得，
若，与（2）类似得，从而必有，
对任意的，有，即，所以，即.
若，即，，故，，，，
所以，即，从而必有，
对任意的，必有，即，所以，即.
综上，得，又时，有，符合题意，
所以的最大值为4
【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是充分利用定义并分类讨论和求解第三问,并充分利用反证法推理.
7．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集，求证：；
(3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.
注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.
【答案】(1)集合是理想数集，集合不是理想数集
(2)证明见解析
(3)1024144
【优尖升-分析】（1）由理想数集的定义即可判断；
（2）为了方便说明，假定元素间一个有序关系为，从而分三种情况，，，讨论即可得证；
（3）首先通过分类讨论证明，对元理想数集，有.从而有，即，通过放缩与等差数列求和即可得解.
【详解】（1）设的随影数集分别为，
则，
所以集合是理想数集，集合不是理想数集.
（2）不妨设集合且，即.
为理想数集，，则，且，使得.
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当时，等号成立.
综上所述：.
（3）设.
为理想数集.
，且，使得.
对于，同样有.
下先证对元理想数集，有.
不妨设集合中的元素满足.即.
为理想数集，
，且，使得.
当时，，
当且仅当且时，等号成立；
当时，，当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当时，等号成立.
.
.当且仅当时，等号成立.
.
理数.
当且仅当或时，等号成立.
理数的最小值为.
【点睛】关键点点睛：关键是通过分类讨论证明，对元理想数集，有，由此即可顺利得解.
8．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射．
(1)试在上给出一个非单射的映射；
(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；
(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【优尖升-分析】
（1）结合单射的定义举出符合条件的例子即可；
（2）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可；
（3）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可.
【详解】（1）由题意不妨设，当（非0）互为相反数时，满足题意；
（2）一方面若是单射，且，则，即（否则若，有，矛盾），
另一方面，若对任意，由可以得到，
我们用反证法证明是单射，
【优尖升-分析】（1）若等于同一常数，则构成等差数列，根据等差数列下标和性质得到，推出矛盾即可得解；
（2）依题意时，即当时，，则，，即可求出，，，，中有个，个，从而得解；
（3）由方差公式得到（为方差），从而得到当方差取最小值时取最小值，从而推出是密集，即可求出的最小值.
【详解】（1）若等于同一常数，
根据等差数列的定义可得构成等差数列，所以，
解得，与矛盾，
所以不存在一组解，使得等于同一常数；
（2）因为，
依题意时，即当时，，
所以，，
设有个，则有个，由，解得，
所以，，，，中有个，个，
所以方程①的解共有组.
（3）因为平均数，
又方差，即，
所以，因为为常数，所以当方差取最小值时取最小值，
又当时，即，方程无正整数解，故舍去；
当时，即是密集时，取得最小值，
且.
【点睛】关键点点睛：对于新定义问题关键是理解题意，第三问的关键是方差公式的应用.
10．（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【优尖升-分析】（1）由交集的定义可解；
（2）结合题意，利用并集的定义证明；
（3）利用题目定义分别证明充分性和必要性.
【详解】（1）设这两个球形邻域分别为，，
为和的交集．
①若与不相交，则；
②若与相交，则
且
故或且．
（2）我们约定集合族是指以集合为元素的集合，其并运算为
表示集合族的所有集合的并集
回到原题，设这两个球形邻域分别为，，为和的交集．
①若与不相交，则，即可以看作零个球形邻域的并集；
②若与相交，则取，
令，构造球形邻域．
因为对于，有
故，这说明．
由于是中任取的一点，这说明，
继而
即可被表示为若干个球形邻域的并集．
命题得证．
（3）①先证充分性：当的一个子集可以写为若干球形邻域的并时，其必为开集．
设，由（2）可知可看作若干个球形邻域的并集，
即
则，使得，故是开集．充分性证毕．
②再证必要性：若的一个子集是开集，则其可被表示为若干个球形邻域的并集．
设是一个开集，由情况①得，使得，所以
即
故可被表示为若干个球形邻域的并集．必要性证毕．
【点睛】思路点睛：利用集合的运算和题干中的定义完成问题.