广西壮族自治区贵百河-武鸣高中2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

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1．D
【详解】解：，
阴影部分表示的集合为或．
故选：D．
2．B
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题，
则是.
故选：B.
3．B
【详解】集合仅有1个真子集，即集合M只有一个元素，
若，方程等价于，解得，满足条件；
若，方程要满足，有，
则集合仅有1个真子集，有或，
则时满足集合M仅有1个真子集， 集合M仅有1个真子集时不一定有，
所以“”是“集合M仅有1个真子集”的充分不必要条件.
故选：B.
4．B
【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，.
故选：B
5．C
【详解】两个实数a,b之间,有且只有三种关系中的一种,所以①正确
,则,即或,所以②错误
因为,所以,即,即,所以③正确
因为,所以,所以④正确.
即正确结论的个数为3
故选：C
6．C
【详解】因为函数的定义域是，即，则；
对于函数，可知，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C.
7．B
【详解】当时，在上恒成立，在上恒成立，，
而，所以在上需恒成立，
又因为开口向上，所以或，
解得或，所以；
当时，，不恒成立，故不符合；
当时，在上恒成立，在上恒成立，，
而，所以在上需恒成立，
又因为开口向下，所以在上不恒成立，故不符合；
综上可得.
故选：B.
8．A
【详解】由得，，
所以，即，
因为，所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，，当且仅当，即时，等号成立，
故选：A．
9．AC
【详解】A：与定义域和对应法则都相同，为同一函数；
B：定义域为，而定义域为R，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数；
C：与定义域和对应法则都相同，为同一函数；
D：定义域为，而定义域为或，它们定义域不同，不为同一函数.
故选：AC
10．BCD
【详解】显然当时，，故A错误；
原式可化为：，
当且仅当即时取得等号，故B正确；
由，
所以，
当且仅当即时取得等号，故C正确；
由，
则，当且仅当时取得等号，
故D正确.
故选：BCD
11．ABD
【详解】对于A， 首先满足条件（1），
其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或，都在中，满足条件（2），
再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或，都在中，满足条件（3），故A正确；
对于B，首先满足条件（1），
其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或或，都在中，满足条件（2），
再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或或，都在中，满足条件（3），故B正确；
对于C，不妨设，则，不在中，故C错误；
对于D，由题意不妨设族为集合上的一个拓扑，
由条件（2）可知中的有限个元素取交后得到的集合都在，
且由条件（3）可知中的任意多个元素取并后得到的集合都在，
则Q={U,CUA1···,CUAn ,∅}(n≥1)， 下证：也是集合上的一个拓扑.
首先∅,U∈Q={U,CUA1···,CUAn ,∅}(n≥1) 满足条件（1），
其次，设，则Qi1∩···∩Qik=CU((CUQi1)∪···∪(CUQik)），
而CUQi1,···，CUQik∈p ，故(CUQi1)∪···∪(CUQik)∈p ，
故，同理可证，
故Q={U,CUA1···,CUAn ,∅}(n≥1) 中的有限个元素取交后得到的集合都在中，
任意多个元素取并后得到的集合都在Q={U,CUA1···,CUAn ,∅}(n≥1) 中，
满足条件（3），故D正确.
故选：ABD.
填空题：12． 13．120 14．
12．
【详解】因为集合，集合，且，
当时，则，不满足；
当时，则，满足；
所以.
故答案为：
13．120
【详解】解：设参加数学讲座的学生的集合为A, 参加音乐讲座的学生的集合为B，
则，
解得：,又，
所以,
则参加讲座的人数为120,
故答案为：120.
14．
【详解】因为对任意的，，且，都有，
不妨设，则，可得，则，
构造函数，则，，
所以函数在上为单调递减函数，
又因为为奇函数，所以，
所以函数为上的偶函数，
所以函数在为单调递增函数，
当时，即时，有，
由，可得，
所以，解得，此时无解；
当时，即时，由，可得，
所以，解得或，
综上可得，不等式的解集为.
故答案为：.
解答题
15．当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元.
【详解】设沼气池的底面长为x米，则宽为分
可知池底总造价为：分
池壁总造价为：分
沼气池盖子的造价为3000元
设沼气池总造价为y元，且分
由题可得：分分，当且仅当，即时，等号成立分
所以当沼气池的底面是边长为4的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元分
16．【详解】（1）若，满足，此时，即，分
当时，要使，则，即，即，分
综上实数的取值范围为分
（2）命题：“，使得”是真命题，等价于分
若时分
当，满足，此时，即，分
当时，，
若，则满足或，分
即或，
综上若，得或分
则当时，即实数的取值范围是分
17．【详解】（1）因为的图象过点，
所以，则分
此时,则为奇函数，理由如下：
易知的定义域为，关于原点对称，分
又，则，所，分
所以是奇函数．分
（2）取任意，分
则，分
又，，，所以，分
所以，即， 分
即在区间上是增函数分
（3）由（2）易知，当时，，
所以在上单调递减，分
在上单调递增，又是奇函数分
所以在上单调递增，在上单调递减，分
故的单调递减区间为，分
18．【详解】（1）①当，即时，原不等式化为，
解集为，不合题意；分
②当，即时，
的解集为R，即的解集为R，
则应有分
即，解得分
综上，m的取值范围是分
（2）由已知可得，
即，即
（i）当，即时，不等式化为，解得；分
（ⅱ）当时，有，
解可得，或分
①当，又可得，即时，有，
则解可得，或；分
②当，有，
解可得，．分
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．分
（3）不等式，即，
即．
恒成立，分
设，，．分
．分
，当且仅当时取等号，分
，当且仅当时取等号分
所以m的取值范围是．分
19．
【详解】（1）是：因为，，；分
不是，反例：当时，．分
（2）由题意得，对于恒成立，
等价于，即对恒成立，分
令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数分
要保证对恒成立，则，分
即， 解得，分
所以满足题意的最小正整数为9．分
（3）根据题意， 当时，，当时，，因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示：
所以， 分
（有图像得一分）分
若是R上的增长函数，则对任意的，都有，
因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示，（文字表述得一分，图像得一分分）
所以2a2-4