广东省揭阳市普宁国贤学校2025届高三上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省揭阳市普宁国贤学校2025届高三上学期9月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共40分）
1．设集合，若，则（ ）
A．B．0C．2D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知是上的单调递增函数，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
5．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．函数 的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1B．3，－2
C．2，－1D．2，－2
8．若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（共18分）
9．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上的值域为
11．设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A．
B．在上单调递增
C．为奇函数
D．方程仅有5个不同实数解
三、填空题（共15分）
12．若，则 .
13．若函数，则 ．
14．已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为 ．
四、解答题（共77分）
15．已知函数
(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若，求的值．
16．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
17．已知函数.
(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为，求实数和的值；
(2)若函数无零点，求的取值范围.
18．已知向量，，函数.
(1)求函数在上的单调递增区间；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
1．C
【分析】根据给定条件，利用交集的结果列出方程求解即得.
【详解】集合，而，则，
经验证a=2符合题意，所以.
故选：C
2．B
【分析】求不等式的解集，根据集合的关系进行判断.
【详解】由，
设集合，，则为的真子集.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．B
【分析】把平方可得的值，从而求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值．
【详解】，
平方可得：
为锐角．
故选：B.
4．D
【分析】根据题意，利用分段函数的单调的判定方法，结合指数函数与一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数是上的单调递增函数，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
故选：D.
5．A
【分析】分母变为，可得正余弦齐次式，弦化切求解即可.
【详解】因为角α的终边在函数y=2x的图象上，所以，
=
故选：A.
6．B
【分析】由题意可得，再由对数函数性质和根式与指数式的互化分别得出和即可得解.
【详解】由题，
又由是增函数可知，，
∴，
故选：B.
7．D
【详解】分析：将化为，令，可得关于t的二次函数，根据t的取值范围，求二次函数的最值即可.
详解：利用同角三角函数关系化简，
设，则，
根据二次函数性质当时，y取最大值2，当时，y取最小值.
故选D.
点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为的形式，用换元法求解；
另一种是将解析式化为的形式，根据角的范围求解.
8．B
【分析】根据题意求出函数的导数并且通过导数求出原函数的单调区间，进而得到函数的极值，从而求出的范围．
【详解】由题意可得：．
令，则或，令，则，
所以函数的单调增区间为和，减区间为，
所以当时函数有极大值，当x=1时函数有极小值，
若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点，
所以实数的取值范围是．
故选：B．
9．CD
【分析】根据根式的性质化简，即可根据集合的交并补定义，结合选项逐一求解.
【详解】，，选项错误；
，选项B错误；
，选项正确；
，选项D正确.
故选：CD
10．ABD
【分析】由题意可得：，根据正弦函数周期公式判断A；代入检验，结合对称性的性质判断BC；以为整体，结合正弦函数的性质求值域.
【详解】因为，
对于选项A：因为函数的最小正周期为，故A正确；
对于选项B：因为为最大值，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于选项C：因为不为0，
所以函数的图象不关于点对称，故C错误；
对于选项D：因为，则，
可得，即，
所以函数在区间上的值域为，故D正确；
故选：ABD.
11．ACD
【分析】利用抽象函数所满足的性质，可以推出的对称中心和对称轴，进一步求出其周期，再利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数的图象，再结合图象可逐项判断解决问题.
【详解】因为fx−1为奇函数，所以，根据图象变换，则关于点成中心对称，
又因为为偶函数，所以，根据图象变换，则关于直线成轴对称，
将函数的对称中心和对称轴进行多次变换可得到如图所示的图象，
由图象可知，函数是周期为8的周期函数，所以函数的对称轴为直线，对称中心为，
对A，，故选项A正确；
对B，当，由图象可知是单调递减的函数，故选B错误；
对C，由图象知，的图象的对称中心为点，当时，其对称中心为，又将函数往右平移5个单位可得，所以的对称中心为，所以为奇函数，故选项C正确；
对D，如图所示，因为，，，又两函数均过点1,0，再根据图象，可知函数y=fx与函数有5个交点，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题求出的对称中心和对称轴，并求出其周期是关键，再利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数的图象，再利用数形结合即可结果.
12．##
【分析】利用平方和公式和三角函数的基本关系化简即可得出答案.
【详解】.
故答案为：.
13．1
【分析】求导，即可代入求解.
【详解】由可得，
故，
故答案为：1
14．
【分析】根据函数是奇函数结合得出函数的周期，再应用数形结合转化为零点是函数的交点横坐标，最后应用对称性即可求出零点和.
【详解】奇函数y=fx，对于都有，
，则，即f4+x=fx，
则函数是周期为4的周期函数．且关于直线对称，
作出函数y=fx与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为，
所以，，，，
则，故在内所有的零点之，
故答案为:．
15．(1)最小正周期为；最大值为，最小值为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换求出解析式，再求出最小正周期，运用单调性求出最值即可，（2）代入，运用同角三角函数关系，求出，再用两角差的余弦计算即可
【详解】（1）由题知：
所以函数的最小正周期为．
因为在上，，为增函数，同理在上，为减函数 ,又，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
（2）由（1）可知，又因为，
所以，由，得，
从而．
所以
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系，作差可得为等比数列，即可由等比通项求解，
（2）利用错位相减法，结合等比数列求和公式即可求解.
【详解】（1）当时，，即，
当时，①，②，
①-②得，即，所以．
因为，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列．
则，即．
（2）由（1）得，，
所以，
，
故，
所以．
17．(1)，
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，由求出，再由求出；
（2）令可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，依题意与无交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
又，则，
又曲线在点处的切线方程为，
所以，解得.
（2）令，即，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，且当时，
依题意与无交点，所以，
所以要使函数无零点，则的取值范围为.
18．(1)，.
(2).
【分析】（1）先求出的解析式并结合三角恒等变换公式化简得，再令，解出该不等式并结合即可得解.
（2）由（1）得的单调性，结合和得和 ，再结合即可得解.
【详解】（1）
，
由，得，
因为，所以或，
所以在上的单调递增区间为，.
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，，所以，
由题，，解得.
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对求导得，对分和来讨论的单调性即可；
（2）要证，只需证，结合（1）的结论得，即证恒成立. 令，利用导数求出的最大值即可得证.
【详解】（1），定义域为0,+∞，
则，
①当时，在0,+∞上单调递增；
②当时，
当时，f′x>0，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
综上，①当时，在0,+∞上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，要证，只需证，
由（1）得，，
即证恒成立.
令，则
当时，单调递增，
当时，单调递减，
的最大值为，即.
恒成立，原命题得证.